第5章　对函数的再探索　综合评价卷(含答案) 2024-2025数学青岛版九年级下册

第5章　对函数的再探索
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(云南中考)反比例函数y=的图象分别位于( )
A.第一、第三象限 B.第一、第四象限
C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
2.(2023青海)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响,实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示,下列说法正确的是( )
A.酒精浓度越大,心率越高
B.酒精对这种鱼类的心率没有影响
C.当酒精浓度是10%时,心率是168次/分
D.心率与酒精浓度是反比例函数关系
3.要将抛物线y=x2+2x+3平移得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
4.(贺州中考)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=-kx+b与y=的图象为( )
A B C D
5.(2024济南期末)下列各点,一定在反比例函数y=图象上的是( )
A.(-2,3) B.(-2,-3) C.(-3,2) D.(3,3)
6.如图所示,某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,其拱形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2 m用5根立柱加固,拱高OC为0.36 m,则立柱EF的长为( )
A.0.4 m B.0.16 m C.0.2 m D.0.24 m
7.二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象经过A(-3,y1),B(-1,y2),
C(2,y3),D(4,y4)四个点,若y2y4<0,则下列结论正确的是( )
A.y1y3>0 B.y1y3≥0 C.y1y3<0 D.y1y3≤0
8.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是( )
A.bc<0 B.a+b+c>0 C.2a+b=0 D.4ac>b2
9.如图所示是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,则水面宽度增加( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
10.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1A.2≤t<11 B.t≥2 C.611.(2023德州)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),D是OA的中点,AC,BD交于点E,函数y=的图象过点B,E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,则该反比例函数的表达式( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
12.(2023邵阳)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数,a≠0)上的点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点(0,3)在抛物线上;③若x1>x2>-2,则y1>y2;④若y1=y2,则x1+x2=-2,其中,正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2024成武期末)若关于x的函数y=-7x的图象是抛物线,则a的值是 .
14.函数y=+中自变量x的取值范围是 .
15.(舟山中考)如图所示,在直角坐标系中,△ABC的顶点C与原点O重合,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点B的坐标为(4,3),AB与y轴平行,若AB=BC,则k= .
16.(2023齐齐哈尔)如图所示,点A在反比例函数y=(k≠0)图象的一支上,点B在反比例函数y=-图象的一支上,点C,D在x轴上,若四边形ABCD是面积为9的正方形,则实数k的值为 .
17.(2023临沂)小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x2+的性质,得到如下结论:
①当x<-1时,x越小,函数值越小;
②当-1③当0④当x>1时,x越大,函数值越大.
其中正确的是 (只填写序号).
三、解答题(共69分)
18.(8分)(2023青海)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象如图所示.
(1)求一次函数的表达式;
(2)当x>0时,直接写出不等式kx+1>的解集.
19.(9分)已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0).
(1)求a,h的值;
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新抛物线,求出新抛物线的表达式.
20.(10分)如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C,与反比例函数y=-的图象在第二象限相交于点A(-1,m),过点A作AD⊥x轴,垂足为D,AD=CD.
(1)求一次函数的表达式;
(2)已知点E(a,0)满足CE=AC,求a的值.
21.(12分)如图所示,用长为24 m的篱笆,围成矩形花圃,且花圃的长可借用一段墙体.(墙体的最大可用长度为12 m)
(1)如果围成的花圃的面积为54 m2,试求AB的长.
(2)按照题目的设计要求,能围成面积比54 m2更大的花圃吗 如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
22.(14分)(2023河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图所示,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
23.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2mx+3m,点A(3,0).
(1)如图所示,当抛物线过点A时,求抛物线的表达式.
(2)证明:无论m为何值,抛物线必过定点D,并求出点D的坐标.
(3)在(1)的条件下,抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上位于第一象限的点,连接AB,PD交于点M,PD与y轴交于点N.设S=S△PAM-S△BMN,是否存在这样的点P,使得S有最大值 若存在,请求出点P的坐标,并求出S的最大值;若不存在,请说明理由.第5章　对函数的再探索
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(云南中考)反比例函数y=的图象分别位于(A)
A.第一、第三象限 B.第一、第四象限
C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
2.(2023青海)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响,实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示,下列说法正确的是(C)
A.酒精浓度越大,心率越高
B.酒精对这种鱼类的心率没有影响
C.当酒精浓度是10%时,心率是168次/分
D.心率与酒精浓度是反比例函数关系
3.要将抛物线y=x2+2x+3平移得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是(D)
A.向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
4.(贺州中考)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=-kx+b与y=的图象为(A)
A B C D
5.(2024济南期末)下列各点,一定在反比例函数y=图象上的是(B)
A.(-2,3) B.(-2,-3) C.(-3,2) D.(3,3)
6.如图所示,某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,其拱形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2 m用5根立柱加固,拱高OC为0.36 m,则立柱EF的长为(C)
A.0.4 m B.0.16 m C.0.2 m D.0.24 m
7.二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象经过A(-3,y1),B(-1,y2),
C(2,y3),D(4,y4)四个点,若y2y4<0,则下列结论正确的是(C)
A.y1y3>0 B.y1y3≥0 C.y1y3<0 D.y1y3≤0
8.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是(C)
A.bc<0 B.a+b+c>0 C.2a+b=0 D.4ac>b2
9.如图所示是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,则水面宽度增加(B)
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
10.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1A.2≤t<11 B.t≥2 C.611.(2023德州)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),D是OA的中点,AC,BD交于点E,函数y=的图象过点B,E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,则该反比例函数的表达式(D)
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
12.(2023邵阳)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数,a≠0)上的点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点(0,3)在抛物线上;③若x1>x2>-2,则y1>y2;④若y1=y2,则x1+x2=-2,其中,正确结论的个数为(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2024成武期末)若关于x的函数y=-7x的图象是抛物线,则a的值是　±1　.
14.函数y=+中自变量x的取值范围是　x≤2且x≠-3　.
15.(舟山中考)如图所示,在直角坐标系中,△ABC的顶点C与原点O重合,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点B的坐标为(4,3),AB与y轴平行,若AB=BC,则k=　32　.
16.(2023齐齐哈尔)如图所示,点A在反比例函数y=(k≠0)图象的一支上,点B在反比例函数y=-图象的一支上,点C,D在x轴上,若四边形ABCD是面积为9的正方形,则实数k的值为　-6　.
17.(2023临沂)小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x2+的性质,得到如下结论:
①当x<-1时,x越小,函数值越小;
②当-1③当0④当x>1时,x越大,函数值越大.
其中正确的是　②③④　(只填写序号).
三、解答题(共69分)
18.(8分)(2023青海)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象如图所示.
(1)求一次函数的表达式;
(2)当x>0时,直接写出不等式kx+1>的解集.
解:(1)由图象知,一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1,且反比例函数表达式为y=,则交点的纵坐标为2.将(1,2)代入y=kx+1,得k=1,∴一次函数的表达式为y=x+1.
(2)当x>0,即图象在y轴的右侧时,
观察图象发现:当图象在直线x=1的右侧时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,∴不等式kx+1>的解集为x>1.
19.(9分)已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0).
(1)求a,h的值;
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新抛物线,求出新抛物线的表达式.
解:(1)将(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得解得
∴a=1,h=-4.
(2)由(1)知原抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到的新抛物线的表达式为y=(x-2)2-2.
20.(10分)如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C,与反比例函数y=-的图象在第二象限相交于点A(-1,m),过点A作AD⊥x轴,垂足为D,AD=CD.
(1)求一次函数的表达式;
(2)已知点E(a,0)满足CE=AC,求a的值.
解:(1)∵点A(-1,m)在反比例函数y=-的图象上,∴m=-,解得m=2,∴A(-1,2).
∵AD⊥x轴,∴AD=2,OD=1,∴CD=AD=2,
∴OC=CD-OD=1,∴C(1,0).
将A(-1,2),C(1,0)代入y=kx+b中,得解得
∴一次函数的表达式为y=-x+1.
(2)在Rt△ADC中,AC==2,∴CE=AC=2.
当点E在点C的左侧时,a=1-2;当点E在点C的右侧时,a=1+2.
∴a的值为1±2.
21.(12分)如图所示,用长为24 m的篱笆,围成矩形花圃,且花圃的长可借用一段墙体.(墙体的最大可用长度为12 m)
(1)如果围成的花圃的面积为54 m2,试求AB的长.
(2)按照题目的设计要求,能围成面积比54 m2更大的花圃吗 如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
解:(1)设AB的长为x m,根据题意列方程,得x(24-2x)=54,解得x1=9,x2=3,
当x=3时,BC=24-2×3=18(m),不合题意,舍去;
当x=9时,BC=24-2×9=6(m).
答:AB的长是9 m.
(2)能.设AB的长为x m,花圃的面积为S m2,
由题意,可得S=x(24-2x)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72.
∵墙体的最大可用长度为12 m,∴0<24-2x≤12,∴6≤x<12.
∵抛物线S=-2(x-6)2+72的对称轴为直线x=6,且开口向下,
∴当x=6时,花圃面积最大,为72 m2,此时AB的长为6 m,BC的长为12 m.
22.(14分)(2023河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图所示,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,∴C1的最高点坐标为(3,2),
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,∴1=a(6-3)2+2,∴a=-,∴抛物线C1:y=-(x-3)2+2,当x=0时,c=1.
(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,∴此时,接到沙包的位置坐标范围是(5,1)～(7,1),当经过(5,1)时,1=-×25+×5+1+1,解得n=,当经过(7,1)时,1=-×49+×7+1+1,解得n=,∴≤n≤.∵n为整数,∴符合条件的n的整数值为4和5.
23.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2mx+3m,点A(3,0).
(1)如图所示,当抛物线过点A时,求抛物线的表达式.
(2)证明:无论m为何值,抛物线必过定点D,并求出点D的坐标.
(3)在(1)的条件下,抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上位于第一象限的点,连接AB,PD交于点M,PD与y轴交于点N.设S=S△PAM-S△BMN,是否存在这样的点P,使得S有最大值 若存在,请求出点P的坐标,并求出S的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)解:把x=3,y=0代入y=-x2+2mx+3m,得-9+6m+3m=0,
∴m=1,
∴y=-x2+2x+3.
(2)证明:∵y=-x2+m(2x+3),
当2x+3=0,即x=-时,y=-,
∴无论m为何值,抛物线必过定点D,且点D的坐标为(-,-).
(3)解:存在.
如图所示,连接OP.
设P(n,-n2+2n+3),PD的表达式为y=kx+b.
由得
∴ON=-n+3.
∵S=S△PAM-S△BMN,
∴S=(S△PAM+S四边形AONM)-(S四边形AONM+S△BMN)=S四边形AONP-S△AOB.
∵S四边形AONP=S△AOP+S△PON=OA·yP+ON·xP=×3·(-n2+2n+3)+n·(-n+3)
=-n2+n+,
S△AOB=×32=,
∴S=-n2+n=-(n-1)2+,
∴当n=1时,S最大=,
当n=1时,-n2+2n+3=-12+2×1+3=4,
∴P(1,4).