第四章　因式分解 单元卷（含答案） 2024-2025数学北师大版八年级下册

第四章　因式分解
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.x2+4x+4=x(x+4)+4
C.ax2-4a=a(x2-4)
D.x2+3-4x=(x-1)(x-3)
2.多项式36a2bc-48ab2c+12abc各项的公因式是( )
A.24abc B.12abc C.12a2b2c2 D.6a2b2c2
3.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.2a-b2 C.-16a2+b2 D.-4a2-b2
4.下列各式分解因式正确的是( )
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
5.若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则nm的值为( )
A.-6 B.8 C.- D.
6.计算1252-50×125+252的结果为( )
A.100 B.150 C.10 000 D.22 500
7.若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为( )
A.6或-2 B.-2
C.6 D.-6或2
8.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应索,爱,我,数,学,探.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)分解因式,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱学 B.爱探索
C.我爱探索 D.探索数学
9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
10.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为( )
A.16 B.12 C.10 D.无法确定
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.因式分解:4ax2-4ay2= .
12.已知a2-6a+9与|b-1|互为相反数,计算a3b3+2a2b2+ab的结果是 .
13.如果x2+y2=10,x-y=2,那么代数式2x2-2y2的值是 .
14.把20 cm长的一根铁丝分成两段,将每一段都围成一个正方形,如果这两个正方形的面积之差是5 cm2,那么这两段铁丝的长度分别是 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)把下列各式因式分解:
(1)x3y-4xy;
(2)m2x2+2m2xy+m2y2;
(3)m4-81n4;
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
16.(10分)(1)先因式分解,再求值:2a(a+b)-(a+b)2+b(a+b),其中a=-1,b=2.
(2)已知a+b=2,ab=-3,求a3b+2a2b2+ab3的值.
17.(12分)(1)有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图①,用若干张这样的硬纸片拼成一个新的正方形,如图②.
①用两种不同的方法计算图②中正方形的面积;
②由①你可以得出的一个等式为 .
(2)有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图③.
①请你用拼图的方法表达完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,画出你的拼图;
②请你用拼图的方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的
拼图.
① ② ③
18.(12分)阅读下面的材料:常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解.如x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子,会发现前两项可用公式法,后两项可提取公因式,前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式,提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下:
x2-4y2-2x+4y
=(x2-4y2)-(2x-4y)
=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2).
像这种将一个多项式适当分组后,进行因式分解的方法叫做分组分
解法.
利用分组分解法解决下面的问题:
(1)因式分解:x2-2xy+y2-4;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.
19.(14分)(1)在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图①),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图②),根据图①、图②阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式: .
(2)在棱长为m的正方体上挖去一个棱长为n的小正方体后,余下的部分(如图③)再切割拼成一个几何体(如图④).根据它们的体积关系得到关于m,n的等式:m3-n3= .(结果写成整式的积的形式)
(3)已知x-y=4,xy=3,求x3-y3的值.
① ②
③ ④
20.(16分)先阅读材料,再解答下列问题:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.第四章　因式分解
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是(　D　)
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.x2+4x+4=x(x+4)+4
C.ax2-4a=a(x2-4)
D.x2+3-4x=(x-1)(x-3)
2.多项式36a2bc-48ab2c+12abc各项的公因式是(　B　)
A.24abc B.12abc C.12a2b2c2 D.6a2b2c2
3.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(　C　)
A.a2+b2 B.2a-b2 C.-16a2+b2 D.-4a2-b2
4.下列各式分解因式正确的是(　A　)
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
5.若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则nm的值为(　D　)
A.-6 B.8 C.- D.
6.计算1252-50×125+252的结果为(　C　)
A.100 B.150 C.10 000 D.22 500
7.若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为(　A　)
A.6或-2 B.-2
C.6 D.-6或2
8.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应索,爱,我,数,学,探.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)分解因式,结果呈现的密码信息可能是(　C　)
A.我爱学 B.爱探索
C.我爱探索 D.探索数学
9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC一定是(　A　)
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
10.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为(　A　)
A.16 B.12 C.10 D.无法确定
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.因式分解:4ax2-4ay2=　4a(x-y)(x+y)　.
12.已知a2-6a+9与|b-1|互为相反数,计算a3b3+2a2b2+ab的结果是　48　.
13.如果x2+y2=10,x-y=2,那么代数式2x2-2y2的值是　±16　.
14.把20 cm长的一根铁丝分成两段,将每一段都围成一个正方形,如果这两个正方形的面积之差是5 cm2,那么这两段铁丝的长度分别是　12 cm和8 cm　.
三、解答题(共74分)
15.(10分)把下列各式因式分解:
(1)x3y-4xy;
(2)m2x2+2m2xy+m2y2;
(3)m4-81n4;
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
解:(1)x3y-4xy
=xy(x2-4)
=xy(x+2)(x-2).
(2)m2x2+2m2xy+m2y2
=m2(x2+2xy+y2)
=m2(x+y)2.
(3)m4-81n4
=(m2)2-(9n2)2
=(m2+9n2)(m2-9n2)
=(m2+9n2)(m+3n)(m-3n).
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
16.(10分)(1)先因式分解,再求值:2a(a+b)-(a+b)2+b(a+b),其中a=-1,b=2.
(2)已知a+b=2,ab=-3,求a3b+2a2b2+ab3的值.
解:(1)原式=(a+b)
=(a+b)(2a-a-b+b)
=a(a+b).
当a=-1,b=2时,
原式=-1×(-1+2)=-1.
(2)原式=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2.
当a+b=2,ab=-3时,
原式=×22=-12.
17.(12分)(1)有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图①,用若干张这样的硬纸片拼成一个新的正方形,如图②.
①用两种不同的方法计算图②中正方形的面积;
②由①你可以得出的一个等式为　　　　　　.
(2)有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图③.
①请你用拼图的方法表达完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,画出你的拼图;
②请你用拼图的方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的
拼图.
① ② ③
解:(1)①方法一:正方形的面积=a2+2a+1,方法二:正方形的面积=(a+1)2.
②a2+2a+1=(a+1)2
(2)①如图①,可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2.
②如图②,可推导出2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
① ②
18.(12分)阅读下面的材料:常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解.如x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子,会发现前两项可用公式法,后两项可提取公因式,前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式,提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下:
x2-4y2-2x+4y
=(x2-4y2)-(2x-4y)
=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2).
像这种将一个多项式适当分组后,进行因式分解的方法叫做分组分
解法.
利用分组分解法解决下面的问题:
(1)因式分解:x2-2xy+y2-4;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.
解:(1)x2-2xy+y2-4=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2).
(2)△ABC是等腰三角形.
理由如下:
∵a2-ab-ac+bc=0,
∴a(a-b)-c(a-b)=0,
∴(a-b)(a-c)=0,
∴a-b=0或a-c=0,
∴a=b或a=c,
∴△ABC是等腰三角形.
19.(14分)(1)在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图①),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图②),根据图①、图②阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式:　 .
(2)在棱长为m的正方体上挖去一个棱长为n的小正方体后,余下的部分(如图③)再切割拼成一个几何体(如图④).根据它们的体积关系得到关于m,n的等式:m3-n3=　　　　　　　　　　.(结果写成整式的积的形式)
(3)已知x-y=4,xy=3,求x3-y3的值.
① ②
③ ④
解:(1)a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)(m-n)(m2+mn+n2)
(3)∵x-y=4,xy=3,
∴x2+y2=(x-y)2+2xy=16+6=22,
∴x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)=4×(22+3)=100.
20.(16分)先阅读材料,再解答下列问题:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将x+y看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,再将A还原,得到原式=(x+y+1)2.
请根据上面的方法解答下面的问题:
(1)因式分解:(x-y)2+2(x-y)+1=　　　　;
(2)因式分解:(a+b)(a+b-2)+1;
(3)证明:若n为正整数,则式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方.
(1)解:(x-y+1)2
(2)解:将a+b看成整体,令a+b=B,
则原式=B(B-2)+1=B2-2B+1=(B-1)2,
再将B还原,得到原式=(a+b-1)2.
(3)证明:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1,
将n2+3n看成整体,令n2+3n=C,
则原式=C2+2C+1=(C+1)2,
再将C还原,得到原式=(n2+3n+1)2.
∵n为正整数,∴n2+3n+1为整数,
故式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方.