期中综合评价卷（含答案） 2024-2025数学北师大版八年级下册

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　B　)
A B C D
2.若m>n,则下列不等式一定成立的是(　B　)
A.-2m+1>-2n+1 B.>
C.m+a>n+b D.-am<-an
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,BD是AC边上的高,点E在AB上,且BE=BD,则∠ADE的度数为(　B　)
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.已知关于x的不等式(1-a)x>a-1的解集为x<-1,则a的取值范围是(　B　)
A.a>0 B.a>1 C.a<0 D.a<1
5.如图,△ABC平移到△DEF的位置,有下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点E的方向;④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有(　B　)
A.①② B.①②④ C.②③ D.②④
6.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加的一个条件是(　A　)
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AE=DF
7.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为(　A　)
A.2+ B.+ C.2+ D.3
8.某种品牌自行车的进价为400元,出售时标价为500元,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则最低折扣是(　B　)
A.八折 B.八四折 C.八五折 D.八八折
9.在等腰三角形ABC中,AB=AC=,BC=3,∠BAC=120°,点D在边BC上.若△ABD是直角三角形,则AD的长度是(　B　)
A. B.或1 C.或 D.1或
10.如图,在等边三角形ABC中,点D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕着点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,有下列结论:①AE∥BC;②∠DEB=60°;③∠ADE=∠BDC;④∠AED=∠ABD.其中正确结论有( D )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②④
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.下列命题:①同旁内角互补;②如果两个实数相等,那么它们的平方相等;③等腰三角形的两底角相等.其中逆命题为真命题的是 ③ .
(请填上所有符合题意的序号)
12.在平面直角坐标系中,已知点A(2a,a-b+1)和点B(b,a+1)关于原点对称,则ab+ab的值是　-1　.
13.若关于x的不等式组的整数解共有5个,则a的取值范围是　-114.如图,已知点P是∠AOB平分线上一点,∠AOP=15°,CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6,OD=12,则△PDO的面积为　18　.
15.某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动,每辆大客车有35个乘客座位,每辆小客车有18个乘客座位,这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.由于最后参加活动的师生增加了30人,在保持租用车辆总数不变的情况下,学校决定调整租车方案,使参加活动的全部师生都有座位,则该校最后租用的小客车最多有　3　辆.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=BC=2,线段AB上有一动点D,连接DC,将线段CD绕着点C顺时针旋转120°得到线段CE,连接DE,AE,在点D运动的过程中,D,E两点到AC的距离之和为　3　.
三、解答题(共96分)
17.(8分)如图,点P在∠AOB的边OB上,用圆规和直尺按要求画图并填空:
(1)作线段OP的垂直平分线,分别交OA,OB于点M,N;
(2)过点N画NH⊥OA,垂足为点H;
(3)点M到直线NH的距离是线段　　　　的长度.
解:(1)如图,MN为所作.
(2)如图,NH为所作.
(3)MH
18.(10分)解不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1)3(x-4)-2x>-8;
(2)
解:(1)去括号,得3x-12-2x>-8,
移项,得3x-2x>-8+12,
合并同类项,得x>4.
将不等式的解集在数轴上表示如图.
(2)解不等式x+3(x-2)≥4,得x≥;
解不等式>x-1,得x<4,
∴不等式组的解集为≤x<4.
将不等式组的解集在数轴上表示如图.
19.(10分)已知:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线GD交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AF=5,BC=7,求△ABC的周长.
(1)证明:连接CD(图略).
∵点D在BC的中垂线上,∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴BE=CF.
(2)解:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°.
又∵AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE=AF=5.
由(1)可知BE=CF,
∴△ABC的周长为AC+AB+BC=AF-CF+AE+BE+BC=AF+AE+BC=5+5+7=17.
20.(10分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗 若成轴对称,画出对称轴.
(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗 若成中心对称,写出对称中心的坐标.
解:(1)△A1B1C1如图.
(2)△A2B2C2如图.
(3)成轴对称.对称轴如图.
(4)成中心对称,对称中心为线段B1B2的中点,坐标是(,).
21.(10分)又是一年春光好,江淮大地植树忙.某商家销售A,B两种果苗,每棵进价分别为70元、50元,下表是近两天的销售情况:
日期 A种果苗销售量/棵 B种果苗销售量/棵 销售收入/元
第一天 4 3 625
第二天 5 5 875
(1)求A,B两种果苗的销售单价.
(2)若该商家购进这两种果苗总计50棵,购进费用不超过2 900元,则最多购进A种果苗多少棵
(3)在(2)的条件下,该商家销售这50棵果苗的利润能否超过1 340元 若能,请给出相应的购买方案;若不能,请说明理由.
解:(1)设A种果苗销售单价为x元,B种果苗销售单价为y元.
由题意,得解得
故A种果苗销售单价为100元,B种果苗销售单价为75元.
(2)设购进A种果苗a棵,则购进B种果苗(50-a)棵.
由题意,得70a+50(50-a)≤2 900,解得a≤20.
故最多购进A种果苗20棵.
(3)能.由题意,得(100-70)a+(75-50)(50-a)>1 340,解得a>18.
又∵a≤20,且a为正整数,∴a=19或a=20.
故购买方案为购进A种果苗19棵,购进B种果苗31棵或购进A种果苗20棵,购进B种果苗30棵.
22.(10分)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OA,OB,OC,AD,
AE.
(1)若△ADE的周长为8 cm,△OBC的周长为20 cm.
①求线段BC的长;
②求线段OA的长.
(2)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.
解:(1)①∵直线l1是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵直线l2是AC边的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵DA+DE+EA=8 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8 cm.
②∵直线l1是AB边的垂直平分线,
∴OA=OB.
∵直线l2是AC边的垂直平分线,
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=20 cm,BC=8 cm,
∴OA=OB=OC=6 cm.
(2)∵∠BAC=120°,
∴∠ABC+∠ACB=60°.
∵DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=∠BAC-(∠ABC+∠ACB)=120°-60°=
60°.
23.(12分)为方便社区人员随时到阅览室学习,某社区决定购进一批桌椅.已知某一种桌椅有甲和乙两个商家销售,其中甲商家售价为300元/套,乙商家售价为280元/套.
(1)接近年末,商家进行促销,其中甲商家推出每满400元优惠50元的活动;乙商家推出每满700元优惠60元的活动.如果社区准备购买20套桌椅,那么选择哪个商家更合算
(2)经过协商,甲商家同意所买的桌椅按照销售总价的八折销售,但需要另付300元运费;乙商家同意按照销售总价的九折销售,免运费.若购买x(x为正整数)套桌椅,则选择哪个商家更合算
解:(1)在甲商家购买需要300×20-×50=5 250(元);
在乙商家购买需要280×20-×60=5 120(元).
∵5 250>5 120,
∴选择乙商家更合算.
(2)当在甲商家购买桌椅的总费用等于在乙商家购买桌椅的总费
用时,
由题意,得300x×0.8+300=280x×0.9,
解得x=25.
当在甲商家购买桌椅的总费用大于在乙商家购买桌椅的总费用时,
由题意,得300x×0.8+300>280x×0.9,
解得x<25.
当在甲商家购买桌椅的总费用小于在乙商家购买桌椅的总费用时,
由题意,得300x×0.8+300<280x×0.9,
解得x>25.
综上所述,当x=25时,选择甲、乙两商家购买桌椅花费一样;当025时,选择甲商家购买桌椅合算.
24.(12分)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,同时停止.
(1)P,Q出发4 s后,求PQ的长.
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形
(3)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△CQB是直角三角形
备用图
解:(1)∵运动时间为4 s,
∴BQ=2×4=8(cm),BP=AB-AP=16-1×4=12(cm).
在Rt△PQB中,根据勾股定理,得
PQ===4(cm).
(2)设运动时间为t s,则BQ=2t cm,BP=(16-t)cm.
根据题意,得2t=16-t,
解得t=,
即出发 s后,△PQB是等腰三角形.
(3)当点Q在CA边上,且△CQB是直角三角形时,过点B作CA的垂线,垂足即为点Q,如图.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC===
20(cm).
根据三角形面积公式可得BQ===(cm).
在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得CQ===(cm),
÷2=9.6(s).
当点Q运动到点A的位置时,△CQB即△ABC也是直角三角形,此时点P运动到点B的位置,(12+20)÷2=16(s).
∴当点Q在边CA上运动时,出发9.6 s或16 s后,△CQB是直角三
角形.
25.(14分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点P是AC上一点,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ,连接PQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP∶PC=1∶3时,求PQ的长度;
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合),探索PA2,PB2,PC2之间的数量关系,并加以证明.
解:(1)∵在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,
∴AB=BC,∠A=∠ACB=45°.
∵将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ,
∴△ABP≌△CBQ,∠PBQ=90°,
∴∠A=∠BCQ=45°,∠ABP=∠CBQ,AP=CQ,PB=BQ,
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°.
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=2AB2=2×42=32,
∴AC=4.
∵AP∶PC=1∶3,
∴AP=AC=,PC=AC=3,
∴CQ=AP=.
在Rt△PCQ中,PQ===2.
(3)2PB2=PA2+PC2.证明如下:
在Rt△BPQ中,BP=BQ,∠PBQ=90°,
∴PQ2=PB2+BQ2=2PB2.
在Rt△CPQ中,由勾股定理,得
PQ2=PC2+CQ2=PC2+PA2,
∴2PB2=PA2+PC2.一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A B C D
2.若m>n,则下列不等式一定成立的是( )
A.-2m+1>-2n+1 B.>
C.m+a>n+b D.-am<-an
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,BD是AC边上的高,点E在AB上,且BE=BD,则∠ADE的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.已知关于x的不等式(1-a)x>a-1的解集为x<-1,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1 C.a<0 D.a<1
5.如图,△ABC平移到△DEF的位置,有下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点E的方向;④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有( )
A.①② B.①②④ C.②③ D.②④
6.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加的一个条件是( )
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AE=DF
7.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为( )
A.2+ B.+ C.2+ D.3
8.某种品牌自行车的进价为400元,出售时标价为500元,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则最低折扣是( )
A.八折 B.八四折 C.八五折 D.八八折
9.在等腰三角形ABC中,AB=AC=,BC=3,∠BAC=120°,点D在边BC上.若△ABD是直角三角形,则AD的长度是( )
A. B.或1 C.或 D.1或
10.如图,在等边三角形ABC中,点D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕着点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,有下列结论:①AE∥BC;②∠DEB=60°;③∠ADE=∠BDC;④∠AED=∠ABD.其中正确结论有( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②④
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.下列命题:①同旁内角互补;②如果两个实数相等,那么它们的平方相等;③等腰三角形的两底角相等.其中逆命题为真命题的是 .
(请填上所有符合题意的序号)
12.在平面直角坐标系中,已知点A(2a,a-b+1)和点B(b,a+1)关于原点对称,则ab+ab的值是 .
13.若关于x的不等式组的整数解共有5个,则a的取值范围是 .
14.如图,已知点P是∠AOB平分线上一点,∠AOP=15°,CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6,OD=12,则△PDO的面积为 .
15.某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动,每辆大客车有35个乘客座位,每辆小客车有18个乘客座位,这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.由于最后参加活动的师生增加了30人,在保持租用车辆总数不变的情况下,学校决定调整租车方案,使参加活动的全部师生都有座位,则该校最后租用的小客车最多有 辆.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=BC=2,线段AB上有一动点D,连接DC,将线段CD绕着点C顺时针旋转120°得到线段CE,连接DE,AE,在点D运动的过程中,D,E两点到AC的距离之和为 .
三、解答题(共96分)
17.(8分)如图,点P在∠AOB的边OB上,用圆规和直尺按要求画图并填空:
(1)作线段OP的垂直平分线,分别交OA,OB于点M,N;
(2)过点N画NH⊥OA,垂足为点H;
(3)点M到直线NH的距离是线段 的长度.
18.(10分)解不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1)3(x-4)-2x>-8;
(2)
19.(10分)已知:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线GD交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AF=5,BC=7,求△ABC的周长.
20.(10分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗 若成轴对称,画出对称轴.
(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗 若成中心对称,写出对称中心的坐标.
21.(10分)又是一年春光好,江淮大地植树忙.某商家销售A,B两种果苗,每棵进价分别为70元、50元,下表是近两天的销售情况:
日期 A种果苗销售量/棵 B种果苗销售量/棵 销售收入/元
第一天 4 3 625
第二天 5 5 875
(1)求A,B两种果苗的销售单价.
(2)若该商家购进这两种果苗总计50棵,购进费用不超过2 900元,则最多购进A种果苗多少棵
(3)在(2)的条件下,该商家销售这50棵果苗的利润能否超过1 340元 若能,请给出相应的购买方案;若不能,请说明理由.
22.(10分)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OA,OB,OC,AD,
AE.
(1)若△ADE的周长为8 cm,△OBC的周长为20 cm.
①求线段BC的长;
②求线段OA的长.
(2)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.
23.(12分)为方便社区人员随时到阅览室学习,某社区决定购进一批桌椅.已知某一种桌椅有甲和乙两个商家销售,其中甲商家售价为300元/套,乙商家售价为280元/套.
(1)接近年末,商家进行促销,其中甲商家推出每满400元优惠50元的活动;乙商家推出每满700元优惠60元的活动.如果社区准备购买20套桌椅,那么选择哪个商家更合算
(2)经过协商,甲商家同意所买的桌椅按照销售总价的八折销售,但需要另付300元运费;乙商家同意按照销售总价的九折销售,免运费.若购买x(x为正整数)套桌椅,则选择哪个商家更合算
24.(12分)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,同时停止.
(1)P,Q出发4 s后,求PQ的长.
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形
(3)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△CQB是直角三角形
备用图
25.(14分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点P是AC上一点,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ,连接PQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP∶PC=1∶3时,求PQ的长度;
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合),探索PA2,PB2,PC2之间的数量关系,并加以证明.