2025年春季（人教版）八年级（下）期中数学模拟试卷02 含解析

2025年春季（人教版）八年级（下）期中数学模拟试卷02
（考查范围：第16~18章）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠A＝38°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（　　）
A．71° B．61° C．51° D．41°
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．4
4．如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为4，则DE的长是（　　）
A．2 B．1.5 C．1.2 D．3
5．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．下列四边形中，对角线垂直且相等的是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
7．如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为OB的直角三角形，点A在点O右边的数轴上，且OA＝OB，则点A表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
8．已知，，则x2+y2的值为（　　）
A． B． C． D．6
9．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　）
A．4cm B．8cm C． D．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是CE，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C．2 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知，则的值为 　 　．
12．如图， ABCD的对角线交于点O，AB＝5，△OCD的周长为25，则AC+BD的值是 　 　．
13．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，按如下步骤作图：
（1）分别以A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
（2）经过MN作直线，分别交AB，AC于点D，O；
（3）过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．
则下列结论：
①MN垂直平分AC；
②AD＝CE；
③DC平分∠BDE；
④四边形ADCE是菱形；
⑤四边形BDEC是菱形．
其中一定正确的是 　 　（填序号）．
14．如图，一垂直地面的木杆，在离地面12米处折断，木杆顶端落在离木杆底端5米处，则木杆折断之前的高度为 　 　米．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为 　 　．
16．在矩形ABCD中，AD＝4，点E为射线BC上一点，将△ABE沿着AE翻折，使得点B的对应点F落在射线AD上，若线段AD＝2DF，连接AC，则AC的值为 　 　．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各题．
（1）；
（2）（2）（2）．
18．（8分）已知，如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△ABE≌△CDF．
（2）四边形AECF是平行四边形．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．
20．（8分）阅读以下材料：
通过列表描点我们可以画出y＝|x|的图象如图1所示：
观察图象可以得出以下结论：
x＝0时，函数|x|有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是x＞0，若y随x的增大而减少，x的取值范围是x＜0．
提出问题：当x＞0时如何求函数y＝x的最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图象探索函数y＝x（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写如表，并用描点法画出函数y＝x（x＞0）的图象（图2）：
x … 1 2 3 4 …
y …
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
（2）观察猜想：观察该函数的图象，当x＝　 　时，函数y＝x（x＞0）有最 　 　值（填“大”或“小”），是 　 　．若y随x的增大而增大，x的取值范围是 　 　，若y随x的增大而减少，x的取值范围是 　 　．
（3）知识能力运用：直接写出函数y＝﹣x（x＞0）当x＝　 　时，该函数有最 　 　值（填“大”或“小”），是 　 　．
21．（8分）如图，在菱形AMCN中，对角线AC、MN交于点O，作AD⊥NC于D，交MN于E，
作CB⊥AM于B．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AC＝6，MN＝12，则AE的长为 　 　．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接CE，且满足CE＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：AE＝EF．证明：（过程如下，请补充完整）
∵四边形ABCD是矩形， ∴①　 　，AD＝BC，∠D＝90°， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵CE＝BC， ∴CE＝②　 　， .∵BF⊥CE， ∴③　 　． ∴∠D＝∠CFB， 在△DCE和△FBC中， ∴△DCE≌△FBC（AAS）， ⑤　 　， ∴AD﹣DE＝CE﹣CF， 即AE＝EF．
23．（10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，过点P作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，过点P作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，猜想EF+GH+MN的值是多少．其值是否随点P位置的改变而改变？并说明理由．
24．（12分）【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【材料理解】（1）如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．请证明小高的发现．
【深入探究】（2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，试探索线段CD，BD，AD之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】（3）①如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，∠A与∠BED的数量关系为：　 　（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝3，CD＝1，则AD的长为 　 　（直接写出答案，不需要说明理由）．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CB方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC交AC于点F，连接DE、EF．
（1）用t表示CF＝　 　，AF＝　 　，DF＝　 　．
（2）是否存在某一时刻使四边形AEDF成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF面积为3？请说明理由．
2025年春季（人教版）八年级（下）期中数学模拟试卷02
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数10中不含开的尽方的因数，是最简二次根式，故本选项正确；
C、被开方数8＝2×22中含开的尽方的因数22，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、利用分母有理化，原式可化为，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠A＝38°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（　　）
A．71° B．61° C．51° D．41°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝38°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作 BCDE，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣38°）÷2＝71°，
∴∠E＝∠C＝71°．
故选：A．
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．4
【分析】由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OAAC，OBBD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴BC，
故选：D．
4．如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为4，则DE的长是（　　）
A．2 B．1.5 C．1.2 D．3
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC的长为4，
∴DEBC＝2，
故选：A．
5．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC．证明△AB′D是等腰直角三角形，得出∠B′AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC．
∵AB′2＝12+32＝10，B′D2＝12+32＝10，AD2＝42+22＝20，
∴AB′＝B′D，AB′2+B′D2＝AD2，
∴△AB′D是等腰直角三角形，
∴∠B′AD＝45°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′AC+∠DAC＝∠B′AD＝45°．
故选：B．
6．下列四边形中，对角线垂直且相等的是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
【分析】利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．
【解答】解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选：D．
7．如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为OB的直角三角形，点A在点O右边的数轴上，且OA＝OB，则点A表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
【分析】根据勾股定理，求出OA＝OB，即可得出结果．
【解答】解：∵两直角边长分别是1和3，斜边为OB的直角三角形，OA＝OB，
∴OA＝OB，
∴点A表示的实数为，
故选：D．
8．已知，，则x2+y2的值为（　　）
A． B． C． D．6
【分析】由题意可得x+y，xy，把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵，，
∴x+y，
xy，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（）2﹣2
＝7﹣1
＝6．
故选：D．
9．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　）
A．4cm B．8cm C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，由等腰三角形的性质可求AB＝4cm，即可求解．
【解答】解：连接CO，交AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠AOB＝120°，
∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，
∴∠BAO＝30°，
∴OHAO＝2cm，AHOH＝2cm，
∴AB＝2AH＝4cm，
∴橡皮筋再次被拉长了（8﹣4）cm，
故选：C．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是CE，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF，
∴AP＝AD﹣PD，
∴PE，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GHEP＝1．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知，则的值为 　　．
【分析】先根据二次根式有意义得出x≥0，再运用二次根式的性质化简，得出，得出x的值，再代入，即可作答．
【解答】解：∵，
∴0，即x＞0，
∴原式化简为，
整理得出，
解得，
∴，
故答案为：．
12．如图， ABCD的对角线交于点O，AB＝5，△OCD的周长为25，则AC+BD的值是 　40　．
【分析】由平行四边形的性质得出CD＝AB＝5，OA＝OCAC，OB＝ODBD，再由△OCD的周长为25求出OC+OD＝25﹣CD＝20，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∵△OCD的周长为25，
∴OC+OD+CD＝25，
∴OC+OD＝25﹣CD＝25﹣5＝20，
∴AC+BD＝2（OC+OD）＝40；
故答案为：40．
13．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，按如下步骤作图：
（1）分别以A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
（2）经过MN作直线，分别交AB，AC于点D，O；
（3）过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．
则下列结论：
①MN垂直平分AC；
②AD＝CE；
③DC平分∠BDE；
④四边形ADCE是菱形；
⑤四边形BDEC是菱形．
其中一定正确的是 　①②④　（填序号）．
【分析】由作图知，MN垂直平分AC，可判断①正确；证明△COD≌△COE（AAS），可得CD＝CE＝AD，判断②正确；可证四边形ADCE是菱形，判断④正确；不能证明DC平分∠BDE，判断③不正确；不能证明四边形BDEC是菱形，判断⑤不正确．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AC，故①正确；
∵MN垂直平分AC，CE∥AD，
∴AD＝CD，∠CEO＝∠ADO＝∠CDO，∠COD＝∠COE＝90°，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴CD＝CE，
∴AD＝CE，故②正确；
∵CE∥AD，AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，故④正确；
不能证明DC平分∠BDE，故③不正确；
∵BC与BD不一定相等，
∴不能证明四边形BDEC是菱形，故⑤不正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
14．如图，一垂直地面的木杆，在离地面12米处折断，木杆顶端落在离木杆底端5米处，则木杆折断之前的高度为 　25　米．
【分析】根据勾股定理求出AC的长即可推出结果．
【解答】解：如图，由题意可知，AB＝12米，BC＝5米，
∴AC（米），
∴木杆折断之前的高度为AC+AB＝13+12＝25（米），
故答案为：25．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为 　1　．
【分析】连接CG，根据正方形的性质易证△ADE≌△CDG（SAS），进一步可得∠DCG＝∠DAC＝45°，可知点G的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出GH的最小值．
【解答】解：连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAC＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
∵AB＝2，H是CD的中点，
∴HC，
当HG⊥CG时，GH最小，最小值＝CH sin45°1，
故答案为：1．
16．在矩形ABCD中，AD＝4，点E为射线BC上一点，将△ABE沿着AE翻折，使得点B的对应点F落在射线AD上，若线段AD＝2DF，连接AC，则AC的值为 　2或2　．
【分析】分两种情况：①如图1所示，点F落在线段AD上，②如图2所示，点F落在射线 AD上，证明四边形ABEF为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案．
【解答】解：①如图1所示，点F落在线段AD上，
∵AD＝2DF，AD＝4，
∴AF＝2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，
由折叠的性质得AB＝AF＝2，∠AFE＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AB＝AF＝2．
在Rt△ABC中，
AC2；
②如图2所示，点F落在射线 AD上，
∵AD＝2DF，AD＝4，
∴DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，
由①可知四边形ABEF为正方形，
∴AB＝AF＝BE＝6．
在Rt△ABC中，
AC2．
综上所述，AC的值为2或2．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算下列各题．
（1）；
（2）（2）（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝22
3；
（2）（2）（2）
＝（2）2﹣（）2
＝12﹣6
＝6．
18．（8分）已知，如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△ABE≌△CDF．
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，∠B＝∠D，AB＝CD，因为E，F分别是AB，CD的中点，则DF＝BE，即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，可证得BE＝DF，继而可得AF＝CE，则可利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB＝CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．
【分析】根据分式的加减运算法则进行化简，在把x＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式
；
把x＝2代入上式，
原式4．
20．（8分）阅读以下材料：
通过列表描点我们可以画出y＝|x|的图象如图1所示：
观察图象可以得出以下结论：
x＝0时，函数|x|有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是x＞0，若y随x的增大而减少，x的取值范围是x＜0．
提出问题：当x＞0时如何求函数y＝x的最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图象探索函数y＝x（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写如表，并用描点法画出函数y＝x（x＞0）的图象（图2）：
x … 1 2 3 4 …
y …
　　
　　
　　
　2　
　　
　　
　　
…
（2）观察猜想：观察该函数的图象，当x＝　1　时，函数y＝x（x＞0）有最 　小　值（填“大”或“小”），是 　2　．若y随x的增大而增大，x的取值范围是 　x＞1　，若y随x的增大而减少，x的取值范围是 　0＜x＜1　．
（3）知识能力运用：直接写出函数y＝﹣x（x＞0）当x＝　2　时，该函数有最 　大　值（填“大”或“小”），是 　﹣4　．
【分析】（1）将x的值分别代数函数y＝x之中求出y的值，并填在相应的表格中，再描点、画出函数图象即可．
（2）观察函数y＝x（x＞0）的图象即可得出答案．
（3）画出函数y＝﹣x（x＞0）的图象，观察所画函数图象即可得出答案．
【解答】解：（1）当x时，y．
当x时，y．
当x时，y．
当x＝1时，y＝1+1＝2．
当x＝2时，y．
当x＝3时，y．
当x＝4时，y．
将上述的对应值填入表格如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 2 …
将表格中x，y 的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出各点，再按照横坐标由小到大用一条光滑的曲线连接起来，就得到函数y＝x（x＞0）的图象如图所示，
（2）观察该函数的图象，当x＝1时，函数y＝x（x＞0）有最小值，最小值是2，
若y随x的增大而增大，x的取值范围是x＞1，若y随x的增大而减少，x的取值范围是0＜x＜1．
故答案为：1，小，2，x＞1，0＜x＜1；
（3）画出函数y＝﹣x（x＞0）的图象如图所示：，
观察函数的图象得：当x＝2时，该函数有最大值，最大值是﹣4．
故答案为：2，大，﹣4．
21．（8分）如图，在菱形AMCN中，对角线AC、MN交于点O，作AD⊥NC于D，交MN于E，
作CB⊥AM于B．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AC＝6，MN＝12，则AE的长为 　　．
【分析】（1）证△ADN≌△CBM（AAS），得AD＝CB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得CN＝3，再由三角形面积得AD，然后证△AOE∽△ADC，得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形AMCN是菱形，
∴AN＝CM，∠AND＝∠CMB，AM∥NC，
∵AD⊥NC，CB⊥AM，
∴AD∥CB，∠ADC＝∠ADN＝∠CBM＝90°，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形AMCN是菱形，AC＝6，MN＝12，
∴OA＝OC＝3，OM＝ON＝6，AC⊥MN，S菱形AMCNAC MN6×12＝36，
∴∠AOE＝∠CON＝90°，
∴CN3，
∵S△ACNCN ADS菱形AMCN，
∴3AD36，
解得：AD，
∵∠AOE＝∠ADC＝90°，∠OAE＝∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴，
即，
解得：AE，
故答案为：．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接CE，且满足CE＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：AE＝EF．证明：（过程如下，请补充完整）
∵四边形ABCD是矩形， ∴①　AD∥BC　，AD＝BC，∠D＝90°， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵CE＝BC， ∴CE＝②　AD　， .∵BF⊥CE， ∴③　∠CFB＝90°　． ∴∠D＝∠CFB， 在△DCE和△FBC中， ∴△DCE≌△FBC（AAS）， ⑤　DE＝FC　， ∴AD﹣DE＝CE﹣CF， 即AE＝EF．
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图画图；
（2）先证明△BCF≌△ECD，再利用线段的和差证明．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠D＝90°，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE＝BC，
∴CE＝AD，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠D＝∠CFB，
在△DCE和△FBC中，
，
∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴DE＝FC，
∴AD﹣DE＝CE﹣CF，
即AE＝EF．
故答案为：①AD∥BC；②AD；③∠CFB＝90°；④CE＝AD；⑤DE＝FC．
23．（10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，过点P作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，过点P作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，猜想EF+GH+MN的值是多少．其值是否随点P位置的改变而改变？并说明理由．
【分析】根据题意判定四边形AMPE是平行四边形，则根据平行四边形的性质和等边△AGH的性质将EF+GH+MN转化为AM+GB+AM+MG+MG+GB＝2（AM+MG+GB）＝2AB＝2a．
【解答】解：EF+GH+MN＝2a，EF+GH+MN的值不随点P位置的改变而改变．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵GH∥BC，
∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C＝60°．
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AM+MG．①
同理△BMN是等边三角形，
∴MN＝MB＝MG+GB．②
∵MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE＝AM．
同理可证四边形BFPG是平行四边形，
∴PF＝GB．
∴EF＝PE+PF＝AM+GB．③
由①②③，得EF+GH+MN＝（AM+GB）+（AM+MG）+（MG+GB）＝2（AM+MG+GB）＝2AB＝2a．
24．（12分）【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【材料理解】（1）如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．请证明小高的发现．
【深入探究】（2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，试探索线段CD，BD，AD之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】（3）①如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，∠A与∠BED的数量关系为：　∠A+∠BED＝180°　（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝3，CD＝1，则AD的长为 　2　（直接写出答案，不需要说明理由）．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）结论：BD2+CD2＝DE2．由△BAD≌△CAE，推出BD＝CE，∠ACE＝∠B，可得∠DCE＝90°，利用勾股定理即可解决问题；
（3）①先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论；
②作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE．由△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝CE＝3，由∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，可得∠EDC＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：结论：BD2+CD2＝2AD2．
理由：如图2中，连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2．
又∵AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
∴BD2+CD2＝2AD2．
（3）解：①∠A+∠BED＝180°．
证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BEC＝∠A，
∵∠BED+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠BED＝180°．
故答案为：∠A+∠BED＝180°；
②如图4中，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE．
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝3，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE2，
∵∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴AD2＝4，
∵AD＞0，
∴AD＝2．
故答案为：2．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CB方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC交AC于点F，连接DE、EF．
（1）用t表示CF＝　2t　，AF＝　10﹣2t　，DF＝　t　．
（2）是否存在某一时刻使四边形AEDF成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF面积为3？请说明理由．
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先证四边形AEFD为平行四边形，再由菱形的判定得出AE＝AF，求出t的值即可；
（3）由平行四边形的性质和三角形面积关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∵∠C＝30°，CDt，
∴DFCD＝t，CF＝2DF＝2，
∵∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣2t，
故答案为：2t，10﹣2t，t；
（2）存在某一时刻使四边形AEFD能够成为菱形，理由如下：
由（1）可知，DF＝t，
由题意得：AE＝t，
∴DF＝AE，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AF，
即t＝10﹣2t，
解得：t，
即当t时，四边形AEFD为菱形．
（3）由（2）可知，四边形AEFD为平行四边形，
∴S平行四边形AEFD＝2S△DEF＝2×36，
由题意得：AE＝t，
∴BE＝5﹣t，
由（1）可知，AC＝10，
∵∠B＝90°，
∴BC5，
∵S△ABC﹣S△CDF﹣S△BDE＝S平行四边形AEFD，
∴55t t（5t） （5﹣t）＝6，
解得：t＝2或t＝3，
即t为2或3时，△DEF面积为3．