模型综合练三 全等三角形 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型综合练三 全等三角形
基础过关
1. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在△ABC的三条边上,且∠B=∠EDF,BD=CF.若CF=1,BE=2,则BC的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.如图,在边长为6 的正方形 ABCD 中,点 E是 BC的中点,点 F 是 CD 上一点,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°,则下列结论:①∠BAE=30°,②BE+DF=EF,③tan∠AFE=3,④S△CEF=6,其中正确的是 ( )
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①②③④
3. 一题多解 如图,在△ABC中,AD 是BC边上的中线，E是AD 上一点，连接 BE 并延长交AC于点 F,若AF=EF=2,BF=7,则AC的长为 .
4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE 于点 D,若AD=8,DE=5,则BC= .
5. 如图,在菱形ABCD 中,E、F分别是AB,AD上的点,且∠B=∠FAC,BE=AF,若AB=5,DF=3,则
6. 如图,在 ABCD中,BC=2AB,过点A 作AE⊥CD 于点 E,F 为 BC 的中点,连接 EF,若∠B=70°,则∠BFE= .
能力提升
7. 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4，点E，F在以 BC为边的等边三角形上，且∠EAF=60°,则△EFD的周长为 .
8.如图，抛物线 与x轴交于A(-4,0),B两点,与y轴交于点C(0,4),点D为x轴上方抛物线上的动点，将射线 OD 绕点 O逆时针旋转45°得到射线 OP，OP 交直线AC于点 F,连接 DF.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 D 在第二象限且△ODF 为直角三角形时，求点 D 的坐标.
9. 如图,已知在四边形ABCD 中,∠A+∠C= ,DB平分∠ADC.
(1)求证:
(2)如图②,点 E,F分别是AB,BC上的点,连接CE,AF交于点 M,连接EF,若 求AE 的长.
挑战压轴
10. 如图①,在 中， ,点 D 是 AB 上一点,连接 CD,过点 B作 ,交 CD 的延长线于点E,与 CA的延长线交于点 F，连接AE，过点 A作AG 交CD于点 G.
(1)求证:(
(2)如图②,若点 D 是AB 的中点.
①求证：
②当 时,求AE 的长.

1. C 2. C 3. 5 4. 5. 6. 165° 7. 8
8. 解:(1)将点A(-4,0),C(0,4)代入. bx+c,
解得
(2)设直线AC 的解析式为y= mx+n,把A(-4,0),C(0,4)代入,得 解得
∴ 直线AC 的解析式为y=x+4,设1F(t,t+4),当∠FDO = 90°时,如解图①,过点 D 作MN⊥y 轴,交 y轴于点 N,过点 F 作 FM⊥MN交于点 M,
∵∠DOF=45°,
∴DF=DO,
∵∠MDF+∠NDO=90°,∠MDF+∠MFD=90°,
∴∠NDO=∠MFD,
∴△MDF≌△NOD(AAS),
∴DM=ON,MF=ND,
∴DN+ON=-t,DN=ON+(-t-4),
∴ON=2,DN=-t-2,
∴D点纵坐标为2，
解得 (正值舍去)或 ∴ D 点坐标为
当∠DFO=90°时,如解图②,过点 F 作 KL⊥x轴,交x轴于点 L,过点 D 作 DK⊥KL交于点K,
∵∠KFD+∠LFO=90°,∠KFD+∠KDF=90°,
∴∠LFO=∠KDF,
∵DF=FO,
∴△KDF≌△LFO(AAS),
∴KD=LF,KF=LO,
∴KL=t+4-t=4,
∴D 点纵坐标为4，
解得x=0(舍去)或x=-3,
∴D(-3,4).
综上所述：D点坐标为 或(-3,4).
9. 解:(1)如解图①,过点 B 作 BF⊥DC 于点F,过点 B 作 BE⊥DA,交 DA 延长线于点 E,则∠BEA=∠BFC=90°,
∵ DB 平分∠ADC,
∴BE=BF,
又∵ ∠BAD + ∠C =
∠BAD+∠BAE=180°,
∴∠C=∠BAE,
在△BEA 和△BFC中,
∴△BEA≌△BFC(AAS),
∴AB=BC;
(2)如解图②,作 FG⊥AB 于点 G,EH⊥AF于点H,CN⊥AD 交AD 的延长线于点 N,连接AC.
∵∠ADB=60°,BD平分∠CDA,
∴在Rt△CDN中,∠CDN=60°,CD=8,
∴∠DCN=30°,
∴AN=AD+DN=11,
∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=CB=AB=13,∠CAB=60°,
∵∠CMF=∠ACM+∠MAC=60°,
∠MAE+∠MAC=60°,
∴∠ACE=∠BAF,
∵∠CAE=∠ABC,
∴△ACE≌△BAF(ASA),
∴AE=BF,设AE=BF=x,
则
在 Rt△EFG中,
解得x=5或x=8,
当x=8时,AE=BF=8,
∵AB=BC=13,
∴CF=BE=5,
此时CF∴AE=BF=5.
10. (1)证明:∵∠BAC=90°,
∴∠BAF=∠BAC=90°,
∴∠F+∠ABF=90°,
∵BF⊥CD,∴∠F+∠ECF=90°,
∴∠ABF=∠ECF,
∵AB=AC,
∴△ABF≌△ACD,
∴CD=BF;
(2)①证明:如解图,过点 A 作 AM⊥CD 于点M,
∵∠BAC=90°,AG⊥AE,
∴ ∠BAE + ∠DAG =∠DAG+∠CAG=90°,
∴ ∠BAE=∠CAG,
∵ AB =AC,且由(1)知,∠ABF=∠ECF,
∴△ABE≌△ACG,
∴AE=AG,△AEG是等腰直角三角形,
∵AM⊥CD,∴AM=EM=GM,
∵BF⊥CD,AM⊥CD,
∴∠BED=∠AMD=90°,
∵D是AB的中点,∴BD=AD,
∵ ∠BDE=∠ADM,
∴ △BDE≌△ADM,
∴DE=DM,BE=AM,
∵DG=DM+MG,∴DG=DE+BE;
②解:∵AB=2,AB=AC,点D 是AB 的中点,
∴AC=AB=2,AD=BD=1,
∴在 Rt△ACD中,
∵∠CAD=∠BED=90°,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC∽△EDB,
由(2)的①得△AEG为等腰直角三角形，