3.1不等式的意义 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

3.1不等式的意义湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是( )
A. B. C. D.
2.用式子表示“不小于”为( )
A. B. C. D.
3.的最小值是，的最大值是，则( )
A. B. C. D.
4.某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果斤，单价为每斤元的乙种糖果斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，为保证盈利，与要满足的关系是( )
A. B. C. D.
5.下列按条件列不等式正确的是( )
A. 若是非负数，则
B. 若的值不大于，则
C. 若与的和小于或等于，则
D. 若的值不小于，则
6.某日我市最高气温是，温差指最高气温与最低气温的差达，则当天气温的变化范围是( )
A. B. C. D.
7.下列各式中，是不等式的是( )
A. B. C. D.
8.在数学表达式：，，，，，中，不等式的个数是( )
A. B. C. D.
9.某品牌运动鞋的进价为每双元，售价为每双元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是( )
A. B.
C. D.
10.下列式子：；；；；；；其中不等式有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.下列数学表达式，是不等式的有( )；；；；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.把一些书分给几名同学，若________，若每个人分本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是 ( )
A. 每人分本，则可多分个人
B. 每人分本，则剩余本
C. 每人分本，则剩余本
D. 其中一个人分本，则其他同学每个人可分本
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.有如图所示的两种广告牌，其中图是由两个等腰直角三角形构成的，图是一个长方形．从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母，的不等式表示为 ．
14.图是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部包括边界，点，分别是正六边形的顶点．
已知正六边形的边长为，正方形边长为．
连接，的长为______；
的取值范围是______．
15.有如图所示的两种广告牌，其中图是由两个等腰直角三角形构成的，图是一个长方形．从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母，的不等式表示为 ．
16.用不等式表示“的倍小于”为__________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如表所示．设窑内温度为．
火焰色调 温度
最初赤色
最初赤色至暗赤
暗赤至樱桃红
樱桃红至鲜红
鲜红至橘黄
橘黄至黄色
黄色至浅黄色
浅黄色至白色
灰白色 以上
用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱桃红”时，窑内温度的范围；
烧制某瓷器时，窑内温度的范围是，窑内火焰的色调是怎样的？
18.本小题分
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上不包括支，可以按批发价付款；购买支以下包括支只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．
这个学校八年级的学生总数在什么范围内？
如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
19.本小题分
在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志．你知道通过该桥洞的车高的范围吗？在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．你知道通过该桥面的车重的范围吗？
20.本小题分
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素的含量单位
原料价格元
现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，试写出所需甲种原料的质量应满足的不等式；
如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过元，那么你能写出应满足的另一个不等式吗？
21.本小题分
某市地铁票收费标准如下：
不超过元；超过到含元； 超过到含元；超过到含元； 超过部分，每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围．
22.本小题分
克糖水中有克糖，则糖的质量与糖水质量的比值为 若再加克糖，则糖的质量与糖水质量的比值为 ．
生活常识告诉我们：加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式．
23.本小题分
阅读下面的材料：
材料一：和是方程的解．
；．
材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．
问题解决：
若两个不同的实数、满足，，求的值；
已知实数，，满足，且，求的最大值．
24.本小题分
对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于．
观察数轴，得到不等式的解集为：或
根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______填“大于”或“小于”，观察数轴，得到不等式的解集为______；
不等式的解集为______；
解不等式；
已知关于、的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值．
25.本小题分
解方程：；
有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，
，
，
，
，
不等号的方向改变，
所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意；
B.，
，
，
，
不等号的方向改变了，
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
C.，
，
，
，
不等号的方向改变了，
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
D.，
，
，
，
，
所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意；
故选：．
先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列不等式，属于基础知识的考查“不小于”用数学符号表示为“”，据此即可列出不等式．
【解答】
解：“不小于”用数学符号表示为，
所以“不小于”用不等式表示为．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是不等式的意义和代数式的求值根据不等式的意义确定和的值，再将其代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
最小值为，
即，
，
最大值为，
即，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】根据题意，得，，，，即故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的概念，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的式子进行比较即可得出答案．
根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的式子进行比较即可得出答案．
【解答】
解：、若是非负数，则，故选项A正确；
B、若的值不大于，则，故选项B错误；
C、若与的和小于或等于，则，故选项C错误；
D、若的值不小于，则，故选项D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：某日我市最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故选：．
根据最高气温和最低气温得出答案即可．
本题考查了不等式的定义，能理解题意是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式有关知识，利用不等式的概念进行判断．
【解答】
解：不是不等式，不符合题意
B.不是不等式，不符合题意
C.不是不等式，不符合题意
D.是不等式，符合题意．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键．不等式是指用不等号连接的式子叫不等式，解答此题根据不等式的定义进行判断即可．
【解答】
解：是不等式，是不等式，不是不等式，不是不等式，是不等式，是不等式．
不等式共有个，
故选C．
9.【答案】
【解析】解：如果将这种运动鞋打折销售，根据题意得，
故选：．
根据题意，列出不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据利润售价进价，可列不等式求解．
10.【答案】
【解析】解：不等式有：四个，
故选：．
根据不等式的定义求解．
本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，．
运用不等式的定义进行判断．
【解答】
解：不等式有；；；，共个．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的相关概念，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】
解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分本，则剩余本；若每人分本，则不够；
故选：．
13.【答案】
【解析】题图的面积为，题图的面积为由题图可知，所以．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，，
则，，
是正六边形的一条对角线，
，
在中，，，
，
，
故答案为：；
如图，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长的值最小，是正方形的对角线，
，
，
如图，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线，
设时，正方形的边长最大，
，
，
设直线的解析式为，，，
，
，
直线的解析式为，
将代入得，
此时，取最大值，
，
正方形边长的取值范围是：．
故答案为：．
正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部包括边界，点，分别是正六边形的顶点．
当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查列不等式直接利用的倍即为，进而小于得出不等式．
【解答】
解：“的倍小于”写成不等式为．
故答案为．
17.【答案】【小题】
解：．
【小题】
黄色至浅黄色．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】【小题】
解：这个学校八年级的学生总数．
【小题】
设这个学校八年级学生有人，
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
因此这个学校八年级学生有人．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】解：由题图知；
由题图知．

【解析】略
20.【答案】【小题】
解：由题意，得．
【小题】
．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：．
【解析】略
22.【答案】解：根据题意，得
克糖水中有克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
若再加克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
根据加的糖完全溶解后，糖水会更甜，得．
【解析】本题考查了列代数式及不等式的概念，难点在于需掌握浓度溶质溶液，而溶液是溶质和水的结合．
根据加入糖后，糖水也将增加加进去的糖的质量；随着糖的增加，糖占糖水的比例也将越来越大解题即可．
23.【答案】解：，实数、满足，，
、可看作方程的两根，
，，
；
，，
，可看作是方程的两根，
，
而，
，
，
解得，
的最大值为．
【解析】把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
由于，，则可把，看作是方程的两根，利用根的判别式的意义得到，再解不等式得到，从而得到的最大值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，构建一元二次方程，利用根的判别式的意义得到关于的不等式是解决问题的关键．
24.【答案】小于 或
【解析】解：不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离小于，
不等式的解集为：，
表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于，
得到不等式的解集为：或，即或，
，
，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离大于，
得到不等式的解集为：或，即：或，
，
，即：，
，
，即，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离小于，
不等式的解集为：，
是整数，
的最小值为．
根据绝对值的几何意义，即可求解，
根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解，
根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解，
根据绝对值的几何意义，得到，结合是整数，即可求解．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、二元一次方程组的解、绝对值、解二元一次方程组、不等式的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．
25.【答案】解：去分母，得：，
解得：，
检验：把代入
是原方程的解．
第一种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得
原不等式组的解集是；
第二种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组无解；
第三种组合：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组无解．
【解析】将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可；
两两组合，构成一元一次不等式组，根据解不等式的步骤，求出不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程是关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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