2024-2025八年级（下）期中数学试卷3（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
…
)
2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷3
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，在 中，平分且交于点，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
4.将一个直角三角形的三边长同时扩大倍，得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
5.实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点到的距离等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，是的中点，且当时，等于( )
A. B. C. D.
8.在直角三角形中，两条直角边分别是和，则斜边上的中线长为( )
A. B. C. D.
9.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图所示，人只要移至该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图所示，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，则的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处；把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若两个最简二次根式和是同类二次根式，则______．
12.实数在数轴上的位置如图所示，化简等于______．
13.如图，在 中，再添加一个条件______写出一个即可， 是矩形图形中不再添加辅助线
14.在中，，已知，，则 ______．
15.成立，那么______．
16.如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为______．
17.如图，在 中，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为 ．
18.如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
．
20.本小题分
已知，求代数式的值．
21.本小题分
如图所示，甲、乙两人分别从正方形花坛的顶点，两点同时出发，甲由向运动，乙由向运动，甲的速度为米分，乙的速度为米分若正方形花坛的周长为米，问几分钟后，两人相距米？
22.本小题分
如图，在平行四边形中，．
作的平分线交于；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
按作图所示，若，，求的长．
23.本小题分
如图，在 中，是对角线，，，垂足分别为点，，求证：．
24.本小题分
如图，在梯形中，，点在上，且，
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，，
求的度数；
当时，求四边形的面积结果精确到
25.本小题分
如图，中，点、分别是边、的中点，过点作交线段的延长线相交于点，取的中点，如果．
求证：四边形是菱形；
．
26.本小题分
请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
【材料】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
问题探究：写出的一个有理化因式：______；
计算：；
将式子分母有理化．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式加减与二次根式乘除的运算法则．
根据相关法则一一计算，即可解答．
【解答】
解：． ，不能合并，故错误；
B. ；故错误；
C. ；故正确；
D.；故错误；
故选C．
2.【答案】
【解析】解：、，，不是整数，不是勾股数；
B、，、、是勾股数；
C、，，，不是勾股数；
D、，，均不是整数，，，不是勾股数；
故选：．
利用勾股数的定义进行分析即可．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
平分，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质和外角性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，设直角三角形的三边的长是、、，则，
，
即，
将一个直角三角形的三边长同时扩大倍，得到的三角形是直角三角形，
故选：．
根据勾股定理得出，推出，得出，根据勾股定理的逆定理得出即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】
【解析】【分析】
直接利用数轴上，点位置得出，的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【解答】
解：由数轴可得：，，
则，
故原式
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：过点作于，
由网格特征和勾股定理可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
即，
，
故选：．
根据网格特征和勾股定理求出的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．
本题考查勾股定理，分母有理化，掌握网格特征和勾股定理是正确解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：矩形中，是的中点，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由矩形中，是的中点，易得≌，又由，可证得，是等腰直角三角形，即可得．
此题考查了矩形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：直角三角形中，两直角边分别是和，
斜边为，
斜边上中线长为．
故选：．
先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知．，，，
由勾股定理得，
故离门米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
，，，
矩形的面积，
故选：．
由折叠的性质得，，设，则，得，，再在中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，
解得，，，
当时，，不是最简二次根式，
，
故答案为：．
根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出，根据最简二次根式的概念判断，得到答案．
本题考查的是同类二次根式的概念、最简二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由图可知，，
，
故答案为．
由图可知，，再化简即可．
本题考查实数与数轴，能从数轴中确定的取值范围是解题的关键．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加的条件是，
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一
根据矩形的判定定理对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
14.【答案】
【解析】解：在中，，已知，，
，
故答案为：．
根据勾股定理可以计算出的长．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式组确定的值，从而求得的值，然后代入计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数为非负数，即是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：设，则．
由翻折的性质可知：．
点是的中点，
．
在中，由勾股定理可知：，
即，
解得：，
．
故答案为：．
设，则，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质和勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图及角平分线的定义、平行四边形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定平分．
根据平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：在 中，，
，，，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，，
，
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式即可；
首先化简二次根式进而合并同类二次根式即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
20.【答案】解：当时，
原式
．
【解析】把的值代入原式计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：正方形花坛的周长为米，
米，
设分钟后，两人相距 米，
如图，此时甲运动到点，乙运动到点，
则米，米，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：分钟后，两人相距米．
【解析】设分钟后，两人相距 米，则米，米，在中，根据勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：线段即为所求；
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，，
，
的长是．
【解析】根据角平分线的作法作出图形即可；
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据平行四边形的性质得到，，求得．
本题考查作图基本作图，菱形的判定，直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法．
23.【答案】证明：如图，
四边形是平行四边形，
，，
．
又，，
．
在与中，
，
得≌，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
由全等三角形的判定定理证得≌，则对应边相等：．
24.【答案】解：，，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是等腰梯形
，
，
作于点，
则，
在中，根据勾股定理，得：，
四边形的面积．
【解析】本题考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰梯形，勾股定理．
根据对边互相平行的四边形是平行四边形即可作出判断．
根据题意可先确定是等边三角形、梯形是等腰梯形，然后即可得出答案；先求出的长，即可得出答案．
25.【答案】证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线三角形中位线的定义，
，三角形中位线性质分
，
四边形是平行四边形平行四边形定义分
，，
分
四边形是菱形．分
四边形是菱形，
菱形的四条边都相等．
，
分
是的中点．
，
分
≌，分
，
，
分
【解析】首先根据三角形的中位线定理，得，结合，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
根据菱形的性质可以进一步得到≌，则，即可证明结论．
此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
26.【答案】答案不唯一；
；
．
【解析】解：写出的一个有理化因式：，
故答案为：答案不唯一；
；
．
根据互为有理化因式的定义，即可解答；
利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
根据材料的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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