第二十一章 一元二次方程 学情评估卷（含答案）2024-2025人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 学情评估卷
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2．方程的解为（ ）
A. B.
C. D. ，
3．已知是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
6．利用公式法解一元二次方程，方程的两根分别为，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7．若，是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
8．在“双减政策”的推动下，某中学的课后作业时长明显减少.经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟.设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，为矩形的对角线上一点，，，则方程的正数解是（ ）
（第9题）
A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长
10．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程，即为例说明，图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，解得.小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积和的值分别为（ ）
（第10题）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）
11．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为_ _ _ _ _ _ .
12．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则_ _ _ _ _ _ .
13．某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为的矩形场地.若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为的入口和出口（如图）.则根据方案计算出矩形场地平行于墙的一边的长为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（本小题满分16分）用给定的方法解方程：
（1） （直接开方法）；
（2） （公式法）；
（3） （配方法）；
（4） （因式分解法）.
15．（本小题满分10分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值.
16．（本小题满分10分）某商店以20元/的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量与销售单价元/之间存在一次函数关系，对应数值如表所示.
销售单价（元/） 25 35
销售量 50 30
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 现要求尽快销售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元；
（3） 销售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
17．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，,动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向终点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，连接，，问：
（1） 当时，四边形的面积是多少？
（2） 当为何值时，的长是？
（3） 当为何值时，是等腰三角形？
第二十一章 学情评估卷
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．方程的解为（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】D
3．已知是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026
【答案】B
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
【答案】C
6．利用公式法解一元二次方程，方程的两根分别为，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．若，是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8．在“双减政策”的推动下，某中学的课后作业时长明显减少.经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟.设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
9．如图，为矩形的对角线上一点，，，则方程的正数解是（ ）
（第9题）
A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长
【答案】C
10．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程，即为例说明，图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，解得.小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积和的值分别为（ ）
（第10题）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）
11．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为的矩形场地.若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为的入口和出口（如图）.则根据方案计算出矩形场地平行于墙的一边的长为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】30或32
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（本小题满分16分）用给定的方法解方程：
（1） （直接开方法）；
（2） （公式法）；
（3） （配方法）；
（4） （因式分解法）.
【答案】（1） 解：，.
（2） ，.
（3） ，.
（4） ，.
15．（本小题满分10分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值.
【答案】
（1） 证明： 一元二次方程，
.
，.
该方程总有两个实数根.
（2） 解：解一元二次方程，得，，.
该方程的两个实数根的差为3，
.
16．（本小题满分10分）某商店以20元/的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量与销售单价元/之间存在一次函数关系，对应数值如表所示.
销售单价（元/） 25 35
销售量 50 30
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 现要求尽快销售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元；
（3） 销售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
【答案】
（1） 解：设，
把代入，
得
解得.
（2） 根据题意，得，整理，得，
解得，，
要尽快销售完，
销售单价应定为30元/.
（3） 不能.理由如下：
根据题意，得，整理，得，
，
此方程无解， 销售利润不能达到500元.
17．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，,动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向终点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，连接，，问：
（1） 当时，四边形的面积是多少？
（2） 当为何值时，的长是？
（3） 当为何值时，是等腰三角形？
【答案】
（1） 解： 四边形是矩形，
,, .
当时， ,,
，
四边形的面积.
（2） 如图①，当时，作于点，
.
，
四边形是矩形，
,.
，
.
在中，由勾股定理，得,
解得.
，.
如图②，当时，作于点, .
，
四边形是矩形，
,.
，
.
在中，由勾股定理，
得，解得.
，.
综上所述，或.
（3） 如图③，当时，作于点, .
，
四边形是矩形，
,.
，，.
，.
在中,由勾股定理，得,
解得.
如图④，当时，作于点,
， .
，
四边形是矩形，
，.
，,
，解得.
如图⑤，当时，
，，
，
.
在中，由勾股定理，得，解得，（舍去）.
综上所述,或或或.
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