4.第四章 图形的初步认识与三角形（6份打包含答案）通用版中考一轮复习

第四节 全等三角形
A 级 基础巩固
1.人八上 P38，例 2 变式 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 （ ）
A． SSS B． SAS C． AAS D． ASA
2.新考法人八上 P77，T2 变式 在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C”．
下列说法正确的是 （ ）
A． 甲、乙、丙做法都对
B． 甲、乙、丙做法都不对
C． 只有乙做法不对
D． 只有丙做法不对
3.重点 2024·广州 如图，在△ABC 中，∠A= 90° ，AB=AC=6，D 为边 BC 的中点，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，AE=CF，则四边形 AEDF 的面积为 （ ）
A． 18 B． C． 9 D．
4.人八上 P56，T11 拓展 如图，已知△ABC≌ △A′ B′ C′ ，AD，A′ D′ 分别是 △ABC，△A′B′C′的对应边上的高，则 AD______ A′D′（选填“＞”“＜”或“=”）
5.2024·临夏州 如图，在△ABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（4，1），点C 的坐标为（3，4），点 D 在第一象限（不与点 C 重 合），且△ABD与△ABC 全等，点 D 的坐标是 ________.
6.2024·云南 如图，在△ABC 和△AED 中， AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
7.冀八上 P43，T3 拓展 如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上（F，C 之间不能直接测量），点 A， D 在直线 l 的异侧，测得 AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
B 级 能力过关
8.2024·张家口二模 △ABC 如图所示，甲、乙 两个三角形中和△ABC 全等的是 （ ）
A． 只有甲 B． 只有乙
C． 甲和乙 D． 都不是
9.2024·廊坊广阳区一模 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 6 和 8，则 b 的面积为 （ ）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 14
10.难点2024·邯郸丛台区四模 在△ABC 和 △A′B′C′中，∠B=∠B′，AB=A′B′= ， AC=A′C′=5， 已知 BC 边上的高为 4，则 B′C′=
（ ）
A． 1 B． 6
C． 1 或 7 D． 1 或 4
11.2024·湖北 如图，由三个全等的三角形 （△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形 DEF 拼成一 个大等边三角形 ABC．连接 BD 并延长交 AC 于点 G．若 AE=ED=2．则（1）∠FDB 的度数是 _____；
（2）DG 的长是 _________.
12.2024·河北九地市模拟 如图，点B，F，A，D在同一直线上，BF=AD，BC∥EF，BC=EF，线段AC与线段EF交于点G（点G不与点F，E重合），连接DG，∠ABC=45°，AB=8，DE＞AB．
（1）求证：AC∥DE；
（2）当点G是EF的中点时，则点G是不是AC的中点，并说明理由；
（3）设DG=x，若对于x的一个数值，能找到两个不同位置的点G，求x的取值范围．
C 级 中考新考法
13.创新意识2024·邯郸丛台区二模 如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是 （ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
第四节 全等三角形
A 级 基础巩固
1.D
2.A 提示：甲同学作法：证明：如图，作∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，则∠BAD=∠CAD， 在△BAD 和△CAD 中，
∴△BAD≌△CAD（SAS）， ∴∠B=∠C；故甲同学作法正确； 乙同学作法： 如图，作 BC 边上的高 AD， 则∠BDA=∠CDA=90°， 在 Rt△BAD 和 Rt△CAD 中，
∴Rt△BAD≌Rt△CAD（HL）， ∴∠B=∠C；故乙同学作法正确； 丙同学作法： 证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，则 BD=CD，在△BAD 和△CAD 中，
∴△BAD≌△CAD（SSS）， ∴∠B=∠C．故丙同学作法正确.
3.C 提示：如图，连接 AD，∵∠BAC= 90°，AB=AC=6，D 为边 BC 的中点， ∴AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°， S△ABC= ×6×6=18，在△ADE 和△CDF 中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S △ADE=S △CDF，∴ 四边形 AEDF 的面积=S△ADC=S△ABC=9.
4.= 5.（1，4）
6.证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠CAE =∠CAD+∠CAE， 即∠BAC=∠EAD， 在△ABC 与△AED 中，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
7.解：（1）证明：∵BF=CE， ∴BF+FC=FC+CE，即 BC=EF， 在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）结论：AB∥DE，AC∥DF． 理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF．
B 级 能力过关
8.B 提示 ：甲的边 a，c 的夹角和 △ABC 的边 a，c 的夹角不对应，故甲三角形不与△ABC 全等；乙的角 50°，70°和边 b 与△ABC 的角 50°， 70°和边 b 对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与△ABC 全等.
9.D 提示：如图，∵a，b，c 都是正方形， ∴AC=CE，∠ACE=90°.∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC= 90°，∴∠BAC=∠DCE， ∵∠ABC=∠CDE=90°，AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE.在 Rt△ABC 中， 由勾股定理，得 AC2 =AB2 +BC2 =AB2 + DE2 ，即 Sb=Sa+Sc=6+8=14.
10.C 提示：由题意知△A′B′C′的边 B′C′的高 A′D′=4，如图 1， ∵A′B′=，A′C′=5，A′D′⊥B′C′， ∴B′ D′ ==4，C′ D′ ==3，∴B′ C′ =4 +3 =7， 如图 2，∵A′B′=，A′C′=5，A′D′⊥ B′C′，∴B′D′==4， C′D′==3，∴B′C′=4- 3=1，∴B′C′=1 或 7．
11.（1）30° （2）
提示：（1）∵△ABE≌△BCF≌△CAD， ∴AD =BE =CF，AE =BF =DC，∵AE = ED=2，∴AD=BE=4， ∵△DEF 为等边三角形， ∴EF=DF=DE=2，∠EFD=∠EDF=60°， ∴BF=DF=DC=2， ∴∠FDB=∠FBD=∠EFD=30°；
（2）如图，过点 C 作 CH⊥BG 的延长 线于点 H，∵∠CDH=∠FDB=30°， ∴CH=CD×sin30°=2×=1，DH=CD×cos30°=2×=∵∠EDF+∠FDB=90°， ∴∠ADH=∠DHC=90°， ∵∠ADG=∠CHG，∠AGD=∠CGH， ∴△ADG∽△CHG，∴DG= 4 5 DH=
12.解：（1）证明：∵BC∥EF， ∴∠B=∠DFE，∵BF=AD，∴BF+AF=AD+AF，即 AB=DF， 在△ABC 与△DFE 中，
∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠BAC=∠FDE，∴AC∥DE；
（2）当点 G 是 EF 的中点时，点 G 是 AC 的中点，理由如下： 如图，连接 CE，∵BC∥EF，BC=EF， ∴ 四边形 BCEF 为平行四边形， ∴EC∥AF，∴∠CEG=∠AFG，∵∠CGE=∠AGF，FG=EG， ∴△AFG≌△CEG（ASA），∴AG=CG， ∴ 当点 G 是 EF 的中点时，点 G 是 AC 的中点；
（3）当 DG⊥EF 时，DG 最小，且点 G 只有一个位置，此时 DG=DF×sin45°= 8×，当 DG 与 DF 重合时，此时 DG=8，∴ 当＜x＜8 时，对于 x 取某一数值时，有两个不同位置表示点 G．
C 级 中考新考法
13.C 提示：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定时，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等.第四章综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
题 号 一 二 三 总分
得 分
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1.如图，下列说法错误的是 （ ）
A． BC 是线段
B． 点 D 在射线 AB 上
C． 直线 AC 经过点 A
D． 直线 AC 与射线 BD 相交于点 A
2.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于 （ ） A． 72° B． 60° C． 58° D． 50°
3.如图，x 的值可能为 （ ）
A． 10
B． 9
C． 7
D． 6
4.如图，已知 a∥b，在 Rt△ABC 中，∠A= 60°，∠C=90°．若∠1=50°，则∠2 的度数为 （ ）
A． 100° B． 110° C． 120° D． 130°
5.如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，EF⊥AB 于点F，已知 BC=16，则 BF 的长为 （ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
6.2024·石家庄四十二中模拟 判断一张纸带的两边 a，b 是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是 （ ）
A． Ⅰ可行，Ⅱ不可行
B． Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C． Ⅰ，Ⅱ都不可行
D． Ⅰ，Ⅱ都可行
7.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF 时，顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为 7 cm，此时底部边缘 A 处与 C 处间的距离 AC 为 24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF 时（D 是 B 的对应点），顶部边缘 D 处到桌面的距离 DE 为 20 cm，则底部边缘 A 处与 E 之间的距离 AE 为 （ ）
A． 15 cm
B． 18 cm
C． 21 cm
D． 24 cm
8.如图，A，B，C 是正方形网格的格点，连接 AC，AB，则 tan∠BAC 的值是 （ ）
A． B． C． D．
9.如图，在平面直角坐标系中，C（4，4）， 点 B，A 分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上，∠ACB=90°，则 OA+OB 等于 （ ）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
10.等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是 50°，则该等腰三角形顶角是：（1）甲 的结果是 100°；（2）乙的结果是40°；（3）丙 的结果是 140°．下列说法正确的是 （ ）
A． 甲、乙的结果合起来才对
B． 乙、丙的结果合起来才对
C． 甲、乙、丙的结果合起来才对
D． 甲、乙、丙的结果合起来也不对
11.如图，点 O 是△ABC 三个角平分线的交点，也是△DBC 三边中垂线的交点， 若∠A=76°，则∠D 的度数为 （ ）
A． 84° B． 76° C． 66° D． 64°
12.已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 D 为高 BF 上的一个动点，连接 AD，将 AD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到 AE，连接 EF 和 CE，则下列说法错误的是 （ ）
A． △ABC 的面积为
B． EF 的最小值为 1
C． △AEF周长的最小值为2+2
D． △CEF为直角三角形时，△ACE的面积为
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13.如图，直线l1∥l2，∠EAB=125°，∠FBA=85°，则∠1+∠2=_______.
14.如图，点D是△ABC边BC上的中点，点E是AD上一点且DE=3AE，F，G是边AB上的三等分点，若四边形FGDE的面积为14，则△ABC的面积是_____.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，射线CD与边AB交于点D，E，F分别为AD，BD的中点，设点E，F到射线CD的距离分别为m，n，则线段CD的最小值为____，m+n的最大值为_____．
16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO相交于点F，则：
（1）的值为_______；
（2）tan∠OAF=_______.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17.（6分）如图，已知AB∥CD．FG平分∠AFE，FD平分∠BFE，∠AFG=32°，求∠EDF的度数．
18.（6分）如图，点A，B，C在直线 l上，AB=m，BC=nAB，m，n满足+（n-2）2=0．
（1）求线段AC的长；
（2）P为线段BA延长线上一点，若以PA，AB，BC的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段PC的长．
19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
20.（8分）2024·苏州 图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm.
（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
21.（10分）如图1，在锐角三角形ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，DE=DB，F为AB边的中点，连接FE并延长交边AC于点G，M为BC边的中点，连接ME．
（1）若DM=1，求AE的长；
（2）如图2，若ME⊥FG，
①求证：EM=2FE；
②求证：E为FG的中点．
22.（10分）已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
（1）如图1，求证：CD=CB；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①求证：∠BCD=2∠CBE；
②若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
23.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=60°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE．
（1）当点D在线段BC上时，求∠ECF的度数；
（2）当BD=2时，求AE的长；
（3）若△ABD中最小角为26°，直接写出∠ADB的度数．
24.（12分）已知∠MAN，AP平分∠MAN，定点C在射线AP上，∠DCB与射线AN交于点B，与直线AM交于点D，且∠MAN+∠DCB=180°，当CB⊥AN时，AB的长为5．
【证明】（1）如图1，当点D在射线AM上，且CB⊥AN时．求证：①CD=CB；
②AB+AD=10；
【探究】（2）如图2，当点D在射线AM上，且CB与AN不垂直时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展】（3）如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由．
第四章综合达标检测卷
1.B 2.D 3.B
4.B 提示：如图，延长AC交直线b于T．∵a∥b，∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=∠A+∠3=60°+50°=110°.
5.D 提示：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠BAC=60°，AC=AB=BC=16，∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°-∠C=30°，∴CE=CD，∵CD =BC，∴CE =BC =AC， ∴AE =AC，∵EF ⊥AB，∴ ∠AEF = 90°-∠EAF=30°，∴AF=AE=AC=AB，∴BF=AB=×16=10
6.D 提示：方案 I：∵∠1=∠2，∴a∥ b（内错角相等，两直线平行）； 方案 II：在△AOC 和△BOD 中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠CAO=∠DBO，∴a∥b.
7.A 提示：依题意，得AC=24 cm，BC=7 cm，在Rt△ABC中，AB==25 cm，∵AB=AD=25 cm，DE=20 cm，
在Rt△ADE中，AE==15（cm）.
8.D 提示：如图，作CE⊥AB于点E，设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，∴CE=BE=，AB=∴AE= AB-BE=-
在 Rt △AEC 中 ，tan ∠EAC ==
9.A提示：在题图上，过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N，
则∠CMA=∠CNB=90°，∵C（4，4），
∴CN=CM=4，∵∠MON=∠CNO=∠CMO=90°，∴∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MCN，∴∠ACM=∠BCN.在△ACM和△BCN中，
∵∠CMA=∠CNB，CM=CN，∠ACM=∠BCN，∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN，∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8．
10.C 提示：当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为50°时，且等腰三角形为锐角三角形时如图1，AB=AC，BD⊥AC于点D，∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°；当等腰三角形为钝角三角形时如图2，AB=AC，BD⊥AC于点D，∠ABD=50°，
∴∠DAB=90°-50°=40°，∴∠BAC=180°-40°=140°．当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为50°时，
如图3，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAD=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°，
综上，该等腰三角形顶角是40°或100°或140°.
∴甲、乙、丙的结果合起来才对.
11.D 提示：如图，连接OB，OC，OD，∵点O是△ABC三个角平分线的交点，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵ ∠A =76° ，∴ ∠OBC + ∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=52°，∵点O是△DBC三边中垂线的交点，∴OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC，∠OBD=∠ODB，
∵∠BCD+∠CDB+∠DBC=180°，
∴∠OCB+∠OCD+∠ODC+∠ODB+∠OBD+∠OBC=2∠OBC+2∠ODC+2∠ODB=180°，∴2∠OBC+2∠BDC=
180°，∴∠BDC=×（180°-2∠OBC）=64°.
12.D 13.30°
14.48 提示：如图，连接GE，
设S△AEF=x，∵F，G是边AB上的三等分点，∴S△AEF=S△GEF=x，∴S△AEG=2x，
∵DE=3AE，∴S△DEG=3S△AEG=6x，
∴四边形FGDE的面积为S△FEG+S△DEG=7x=14，∴x=2，∵F，G是边AB上的三等分点，∴S△ABD=S△ADG=（6x+2x）=12x， ∵ 点 D 是△ABC 边 BC 上的中点， ∴S△ABC=2S△ABD=24x=48.
15.2.4 2.5 提示：如图，连接CE，CF，过点E作CD的垂线，垂足为点M，过点F作CD的垂线，垂足为点N，即EM=m，FN=n，则S△CDF=CD×n，S△CDE=CD×m，∵E，F分别为AD，BD中点，∴S△CDE=S△CDA，S△CDF=S△CDB，∴S△CEF=S△CDE+S△CDF=(S△CDA+S△CDB）=S△ABC，∵S△CEF=S△CDF+S△CDE=CD（m+n），∵S△AB×3×4=6，∴CD（m+n）=3，∴CD（m+n）=6，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，设 AB 上的高为 h，∴AB·h=6，∴h=2.4，当 CD 最小时，即 CD⊥AB，此时 CD=h=2.4 时，m+n 最大，∴m+n==2.5， ∴m+n 最大值为 2.5．
16.（1） （2）提示：（1）分别取AF，CF的中点M，N，
连接MN，OM，EN，OE，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，
∵CO⊥AB，∴OA=OB，△ACO为等腰直角三角形，∴OA=OC=OB，∵AE为△ABC的中线，∴CE =BE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE=AC，∵AF，CF的中点为M，N，∴MN为△AFC的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC，∴OE∥MN，
OE=MN，∴四边形OMNE为平行四边形，∴EF=MF=AM，∴AF=2EF，
∴=；
（2）由（1）可知，OF=FN=CN， ∴OA=OC=3OF，在 Rt△AOF 中， tan∠OAF=
17.解：∵FG平分∠AFE，
∴∠AFE=2∠AFG=64°，
∴∠BFE=180°-∠AFE=116°，∵FD平分∠BFE，
∴∠BFD=∠BFE=58°，
∵AB∥CD，∴∠BFD=∠EDF=58°，
∴∠EDF的度数为58°．
18.解：（1）∵
又∵∴m=3，n=2，
∵AB=m，BC=nAB，∴AB=3，BC=6，∴AC=AB+BC=3+6=9；
（2）∵AB=3，BC=6，以PA，AB，BC的长为边长的三角形为等腰三角形，当PA=3时，3+3=6，不符合题意，舍去.当PA=6时，3+6＞6，符合题意.
∴PC=PA+AC=6+9=15.
19.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
20.解：（1）如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵∠A=∠B=∠CEA=90°，
∴四边形ABCE为矩形，
∴AB=CE=10 cm，BC=AE=20 cm，∵AD=50 cm，
∴ED=AD-AE=50-20=30（cm），在Rt△CED中，CD==（cm），∴ 可伸缩 支撑杆 CD 的长度为cm；
（2）如图 2，过点 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于点 F，交 AD′于点 G， 易证四边形 ABFG 为矩形，AB=FG= 10 cm，AG=BF，∠AGD=90°， 在 Rt△ADG 中，tanα=,∴设 DG=3x cm，则 AG=4x cm， ∴AD== 5x（cm），∵AD=50 cm，∴5x=50，解得 x=10，∴AG=40 cm，DG=30 cm， ∴DF=DG+FG=30+10=40（cm），∴BF= AG=40 cm，∵BC =20 cm，∴CF =BF - BC=40-20=20（cm）， 在 Rt △CFD 中 ，CD ==（cm）
此时可伸缩支撑杆 CD 的长度为cm.
21.解：（1）设DB=a，∴DE=DB=a，
∵DM=1，∴BM=BD+DM=a+1，
∵M为BC边的中点，
∴CM=BM=a+1，∴CD=CM+DM=a+1+1=a+2，∵∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=a+2，
∴AE=AD-DE=a+2-a=2；
（1）①证明：连接CE，如图1，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠CDE=∠ADB=90°，由（1）可知，△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=AD，
在△CDE和△ADB中，
∴△CDE≌△ADB（SAS），∴CE=AB，∠DCE=∠BAD，∵点F为AB边的中点，∴AB=2AF，即=2，
∵AD⊥BC，ME⊥FG，
∴∠DEM+∠EMD=90°，∠FED+∠DEM=90°，
∴∠EMD=∠FED，
∵∠EMD+∠CME=180°，∠FED+∠AEF=180°，
∴∠CME=∠AEF，
又∵∠DCE=∠BAD，
∴△CME∽△AEF，
∴=2，∴EM=2FE；
②证明：连接FM交AD于N，连接CE，如图2，设DM=k，则BM=CM=DB+k，∴CD=AD=DB+2k，∵DE=DB，∴AE=AD-DE=DB+2k-DB=2k，
∵△CME∽△AEF，∴=2，∴CM=2AE=4k，∴BM=CM=4k，∴AD= CD =CM +DM =4k +k =5k，DE =BD = BM-DM=4k-k=3k，
又 ∵ 点 F 为 AB 边的中点，点 M 为 BC 边的中点，
∴FM 是△ABC 的中位线，
∴FM∥AC，∴∠FMB=∠ACB=45°，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM=k，∴NE=ED-DN=3k-k=2k，∴AE=NE，∵FM∥AC，∴∠EFN =∠EGA，∠ENF=∠EAG，
在△EFN和△EGA中，
∴△EFN≌△EGA（AAS），∴EF=EG，∴E为FG的中点．
22.解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．∴CD=CB；
（2）①证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-（90°-α）-（90°-α）=2α，∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，设∠CBE=α，∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，分三种情况：当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3α，∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，∴90°-α=3α，∴α=22.5°，∴∠A=∠BCD=2α=45°；当DB=DF时，∴∠DBE=∠BFD=3α，∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α，∴90°-2α=3α，∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB=FD，综上所述，若△BDF是等腰
三角形，则∠A的度数为45°或36°．23.解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠DAC+∠BAD=60°，∴∠ABC=∠ACB=60°，由旋转的性质可知AD=AE，
∠DAE=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴ ∠ACE = ∠ABD =60° ，∴ ∠ECF =180°-∠ACB-∠ACE=60°；
（2）如图1，当点D在线段BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，
则BG=BC=3，∴DG=BG-BD=1，AG=
∴AD=∴AE=AD=，如图2，点D在线段CB的延长线上，DG=BD+BG=2+3=5，则AD==∴AE=AD=
综上所述，AE的长为或；
（3）∠ADB的度数为26°或34°或94°.
提示：当点D在点B左侧时，分两种情况，①∠ADB=26°，②∠BAD=26°，此时，∠ADB=∠ABC-∠BAD=60°-26°=34°，当点D在点B右侧时，分两种情况，①∠ADB=26°，
②∠BAD=26°，
此时，∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-60°-26°=94°，
综上所述，∠ADB的度数为26°或
34°或94°．
24.解：（1）①证明：在四边形ABCD中，∠MAN+∠DCB=180°，∴∠CDA+∠CBA=360°-180°=180°，
∵CB⊥AN，∴∠CBA=90°，∴∠CDA=180°-90°=90°，∴CD⊥AM，∵AP平分∠MAN，定点C在射线AP上，
∴AC平分∠MAN，∴CD=CB；
②在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
∴AD=AB=5，∴AB+AD=5+5=10；
（2）（1）中的结论②仍然成立，证明如下：如图1，过点C分别作AM与AN的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠CED=∠CFB=90°，同（1）得CE=CF，AF=AE=5，∵∠MAN+∠ECF=180°，∠MAN+∠DCB=180°，
∴∠ECF=∠DCB，∴∠ECF-∠DCF=
∠DCB-∠DCF，即∠ECD=∠FCB，在△CED和△CFB中，
∴△CED≌△CFB（ASA），∴DE=BF，∴AB+AD=AF+BF+AD=AF+DE+AD=AF+AE=5+5=10；
（3）（1）中结论②不成立，AB-AD=10，理由如下：如图2，过点C分别作AM与AN的垂线，垂足分别为E，F，∴∠CED=∠CFB=90°，同（1）得，CE=CF，AF=AE=5，
∵∠MAN+∠ECF=180°，∠MAN+∠DCB=180°，∴∠ECF=∠DCB，
∴∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF，即∠ECD=∠FCB，
在△CED和△CFB中，
∴△CED≌△CFB（ASA）， ∴DE =BF，∴AB -AD =AF +BF -（DE - AE）=AF+BF-DE+AE=AF+BF-BF+ AE=AF+AE=10．第四章 图形的初步认识与三角形
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
A 级 基础巩固
1.2024·邯郸二模 借助圆规，可得图中最长的线段是
（ ）
A． BA B． CA C． DA D． EA
2.2024·保定竞秀区模拟 如图中四条线段a，b，c，d 和线段 e 在同一条直线上的是 （ ）
A． a B． b C． c D． d
3.易错 冀七上 P72，练习 T1 改编 如图，某市汽车站 A 到高铁站 P 有 4 条不同的路线，其中路程最短的是 （ ）
A． 从点 A 经过曲线 BEF 到点 P
B． 从点 A 经过线段 BF 到点 P
C． 从点 A 经过折线 BCF 到点 P
D． 从点 A 经过折线 BCDF 到点 P
4.冀七下 P61，T2 改编 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设 （ ）
A． 三个内角都是锐角
B． 三个内角都是钝角
C． 三个内角都不是锐角
D． 三个内角都不是钝角
5.重点 冀七下 P52，BT1 高仿 如图，a∥b，则下列结论中，不一定正确的是 （ ）
A． ∠4=∠5 B． ∠1+∠2=180°
C． ∠2+∠3=180° D． ∠2+∠4=180°
6.2024·秦皇岛模拟 如图，OA 是北偏西 60°方向的一条射线，若∠AOB=90°，射线OB 的方向是 （ ）
A． 南偏西 30°
B． 南偏西 60°
C． 北偏东 30°
D． 北偏东 60°
7.冀七下 P61，AT1 拓展 把命题“负数的偶次幂是正数”改写成“如果……那么……”的形式：___________________________．
8.重点 冀七上 P83，做一做改编如图，O 是直线 AB 上 一 点 ，CO 垂 直 OD，OE 平 分 ∠BOC，∠AOC=40°，则∠DOE 的度数为 ______.
9.难点冀七上 P77，BT6 改编某风景区 A，B，C，D 四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：km）．
（1）求景点 C，D 之间的距离；（用含 m的代数式表示）
（2）若景点 C 到景点 A 的距离与景点 C到景点 D 的距离相等，求景点 B，D 之间的距离.
B 级 能力过关
10.新考法 2024·秦皇岛模拟 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 （ ）
A． 同位角相等，两直线平行
B． 内错角相等，两直线平行
C． 同旁内角互补，两直线平行
D． 两直线平行，内错角相等
11.２０２４·日照 如图，直线 AB，CD 相交于点 O．若∠1=40°，∠2=120°，则∠COM 的度数为 （ ）
A． 70° B． 80° C． 90° D．100°
12.2024·沧州模拟 如图，将两块三角板的直角∠AOB 与∠COD 的顶点 O 重合在一起，绕点 O 转动三角板 AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD=3∠BOD， 则∠AOC 的度数为 （ ）
A． 30°
B． 45°
C． 60°
D． 75°
13.2024·唐山丰南区模拟 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则下列回答错误的是 （ ）
A. ※代表∠GEB B. ■代表∠CEF
C. ◆代表 90° D. ▲代表 36°
14.新考法 2024·石家庄模拟 有公共端点 P的两条线段 MP，NP 组成一条折线 MP-N，若该折线 M-P-N 上一点 Q 把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点 Q 叫做这条折线的“折中点”．已知点D 是折线 A-C-B 的“折中点”，点 E 为线段 AC 的中点，CD=3，CE=4，则线段BC 的长是 （ ）
A． 2 B． 4
C． 2 或 14 D． 4 或 14
15.难点 2024·山西 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 α=25°，则摩擦力 F2 与重力G 方向的夹角 β 的度数为 （ ）
A． 155° B． 125° C． 115° D． 65°
C 级 中考新考法
16.跨学科 2024·河北九地市三模通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点 F 是凸透镜的焦点，BD∥CE∥OF，若∠BDF=150° ， ∠CEF =161°，则 ∠DFE 的度数是 （ ）
A． 10° B． 11° C． 12° D． 13°
第四章 图形的初步认识与三角形
第一节 图形初步认识、相交线与平行线
A 级 基础巩固
1.C 2.B 3.B 4.C
5.D 提示：∵a∥b，∴∠4=∠5，故 A 正确，不符合题意；∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，故 C 正确，不符合题意； ∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=180°，故 B 正确，不符合题意；由 a∥b，推不出∠2+∠4=180°，故 D 错误，符合题意.
6.A 提示：由方向角的定义可知，∠AON=60°，∵∠AOB=90°， ∴∠SOB=180°-90°-60°=30°， 即射线 OB 的方向为南偏西 30°.
7.如果一个数是负数，那么它的偶次幂是正数
8.20°
9.解：（1）9+2m-（6-m）=9+2m-6+m=3+3m.
答：景点 C，D 之间的距离为（3+3m） km；
（2）由题意得 5+（6-m）=3+3m，
解得 m=2，∴BD=9+2m=13.
答：景点 B，D 之间的距离是 13 km.
B 级 能力过关
10.B 11.B
12.B 提示 ： 由题意得∠AOB =∠AOD-∠BOD=2∠BOD，∵∠AOB= 90°，∴2∠BOD=90°，∠BOD=45°. ∴ ∠BOC =∠COD - ∠BOD =45°， 即∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°. 13.A
14.C 提示：①如图 1，点 D 在线段AC 上时，∵ 点 E 为线段 AC 的中点，∴CE= 1 2 AC，∵CE=4，CD=3，∴AC=8，AD=AC-CD=5，∵ 点 D 是折线 AC-B 的“折中点”，∴AD=CD+BC， ∴BC=2；②如图 2，点 D 在线段 BC 上时，∵ 点 E 为线段 AC 的中点， ∴CE= 1 2 AC，∵CE=4，CD=3，∴AC=8， AC+CD=11，∵ 点 D 是折线 A-C-B 的“折 中 点 ” ，∴BD =AC + CD = 11 ， ∵BC=BD+CD，∴BC=14. 综上，线段 BC 的长是 2 或 14.
15.C 提示：如图，∵ 支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2 的方向与斜面平行，∴∠3=90°，∵ 重力 G 的方向竖直向下，∴∠α+∠1=90°，∴∠2=∠1=90°-∠α=90°-25°=65°，∵ 摩擦力 F2 的方向与斜面平行，∴∠β+∠2=180°，∴∠β=180°-∠2=180°-65°=115°.
C 级 中考新考法
16.B 提示：∵BD∥CE∥OF，∴∠DFO= 180°-∠BDF=180°-150°=30°，∠EFO =180° - ∠CEF =180° -161° =19°，∴∠DFE=∠DFO-∠EFO=30°-19°=11°.第三节 特殊三角形
A 级 基础巩固
1.人八上 P8，T7 改编 已知一个等腰三角形的两边长分别是 4 和 8，则该等腰三角形的周长为 （ ）
A． 16 或 20 B． 16
C． 20 D． 12 或 24
2.冀八上 P149，AT3 拓展 如图，在△ABC 中， AB =AC， ∠C =30° ，AB ⊥AD，AD =4， 则 BC 的长为 （ ）
A． 4
B． 8
C． 12
D． 16
3.易错 2024·邯郸模拟 如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为 （ ）
A． 直角三角形
B． 钝角三角形
C． 等腰三角形
D． 等边三角形
4.人八上 P77，T1 改编 如图，根据所标数据，下面说法正确的是 （ ）
A． ①是等腰三角形
B． ②是等腰三角形
C． ①和②都是等腰三角形
D． ①和②都不是等腰三角形
5.冀八上 P143，AT4 高仿 如图，在△ABC 中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，则∠C= ______°.
6.人八上 P93，T13 改编 在△ABC 中，BA= BC，在射线BC 上取点 D，E，且 BD＜BE， 作△ADE，使 DA=DE．
（1）如图，当点 D 在线段 BC 上时，且∠BAD=30°． ①若∠B=40°，求∠EAC 的度数； ②若∠B≠40°，求∠EAC 的度数；
（2）当点 D 在 BC 延长线上时，猜想∠BAD 与∠EAC 的数量关系并说明理由.
B 级 能力过关
7.重点 2024·邯郸模拟 如图，△ABC 为等边三角形，△ACD 为等腰直角三角形， AC=CD，则直线 BC 与直线 AD 的夹角为 （ ）
A． 10°
B． 15°
C． 20°
D． 30°
8.高频考点 2024·邯郸育华中学五模 如图，直线 m∥n，△ABC 是等边三角形，顶点 B 在直线 n 上，直线 m 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，若∠1=140°，则∠2 的度数是 （ ）
A． 110° B． 105° C． 100° D． 95°
9.新考法2024·南通 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 m，n（m＞n）．若小正方形面积为 5，（m+n）2 = 21，则大正方形面积为 （ ）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 15
10.2024·唐山二模 如图，在 Rt△ABC 中，AB= 8，AC=6，∠BAC=90° ，D，E 分别为AB， AC 的 中 点 ，P 为 DE 上 一 点 ， 且满足 ∠EAP=∠ABP，则 PE=________.
11.2024·石家庄模拟 如图，点 C，D 在线段 AB 上（点 C 在点 A，D 之间），分别以 AD，BC 为边向同侧作等边三角形 ADE 与等边三角形 CBF，边长分别为 a，b，CF 与 DE 交于点 H，延长 AE，BF 交于点 G， AG 长为 c.
（1）若四边形 EHFG 的周长与△CDH 的周长相等，则 a，b，c 之间的等量关系为 __________；
（2）若四边形 EHFG 的面积与△CDH 的面积相等，则 a，b，c 之间的等量关系为 __________.
12.2024·唐山路南区二模 等边三角形 ABC 的边长为 2，P 为△ABC 内一点，连接 BP，PC，延长 PC 到点 D，使 CD=PC．
（1）如图 1，延长 BC 到点 E，使 CE=BC， 连接 AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②∠BAE=____°；若 BP⊥AC，求∠AED 的度数；
（2）如图 2，连接 AD，若 BP⊥AD，BP=1， 则 AD 的长为 ________．
C 级 中考新考法
13.创新意识 2024·邯郸模拟 一张直径为 10 cm 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个等腰三角形，在两种裁剪方案（如图 1 和图 2，单位：cm）中，下列说法正确的是 （ ）
A． 只有方案Ⅰ的数据合理
B． 只有方案Ⅱ的数据合理
C． 方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理
D． 方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理
第三节 特殊三角形
A 级 基础巩固
1.C 提示：当腰长为 4 时，4+4=8， ∴4，4，8 不能组成三角形；当腰长为 8 时，4+8=12＞8， ∴4，8，8 能组成三角形，该等腰三角形的周长为 4+8+8=20.
2.C 提示：∵AB=AC，∠C=30°， ∴∠B=30°，∴∠BAC=120°， 又 ∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°， ∴∠ADB=60°， ∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C， ∴AD=DC=4，∵AD=4，∠B=30°， ∠BAD=90°，∴BD=8， ∴BC=BD+DC=8+4=12．
3.D
4.B 提示：提示：题图①，三角形的第三边的长不确定，故①不一定是等腰三角形；题图②，三角形的第三个角的度数是 180°-50°-80°=50°，三角形中有两个角都是 50°，故②是等腰三角形．
5.52 提示：∵AB=AC，AD=BD， ∴∠B=∠C，∠B=∠BAD， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+ ∠BAD， ∴180°-2∠C=∠C+24°，∴∠C=52°.
6.解：（1）①∵∠BAD=30°，∠B=40°， ∴∠ADE=70°，∵DA=DE， ∴∠DEA=×（180°-70°）=55°， ∵∠B=40°，BA=BC，∴∠BCA=×（180°-40°）=70°， ∴∠EAC=∠BCA-∠DEA=15°； ②∠B≠40°时，设∠B=α， ∵∠BAD=30°，∴∠ADE=30°+α， ∵DA=DE，∴∠DEA==，∵∠B=α，BA=BC， ∴∠BCA=， ∴∠EAC=∠BCA-∠DEA=-=15°；
（2）∠BAD=2∠EAC， 理由如下：作图如图所示，设∠B=α， ∠BAD=β， ∴∠ADE=α+β，∵DA=DE，∴∠DEA=， ∵∠B=α，BA=BC，∴∠BCA=， ∴∠EAC=∠BCA-∠DEA=-=，∴∠BAD=2∠EAC.
B 级 能力过关
7.B 提示：如图，延长 AD 与 BC 交于 点 E，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°， 又 ∵△ACD 为等腰直角三角形 ， AC =CD，∴ ∠CAD =45° ，∴ ∠BAD = ∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°， ∴∠E=180°-（∠ABC+∠BAD）=180°- （60°+105°）=15°．即直线 BC 与直线 AD 的夹角为 15°．
8.C 提示：如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1 是△AEF 的一个外角，∠1 =140° ，∴∠1 =∠A+ ∠AEF，∴ ∠AEF = ∠1 - ∠A =140° - ∠A =140° -60° =80° ，∴ ∠DEB = ∠AEF=80°，∵ 直线 m∥n， ∴ ∠DEB + ∠2 =180° ，∴ ∠2 =180° - ∠DEB=180°-80°=100°．
9.B 提示：由题意可知，中间小正方形的边长为 m-n，∴（m-n）2=5，即 m2 +n2 -2mn=5①， ∵（m+n）2 =21，∴m2 +n2 +2mn=21②，①+ ②得 2（m2 +n2 ）=26，∴ 大正方形的面积为 m2 +n2 =13.
10.1 提示：在 Rt△ABC 中，AB=8， AC=6，由勾股定理，得 BC==10， ∵D，E 分别为 AB，AC 的中点， ∴DE=BC=5，∵∠BAC=90°， ∴ ∠BAP + ∠EAP =90° ，∵ ∠EAP = ∠ABP，∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°，∵D 为 AB 的中点， ∴PD= AB=4，∴PE=DE-DP=1.
11.（1）5a+5b=7c （2）c2 =a2 +b2
提示：（1）∵△ADE 和△CBF 是等边 三 角 形 ，∴ ∠A = ∠ADE = ∠B = ∠BCF =60° ，∴ △CDH 和 △ABG 是 等边三角形，DE∥BG，CF∥AG， ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形， ∴AB=AG=BG=c，CH=DH=CD=AD+ BC-AB=a+b-c，∴EG=AG-AE=c-a， GF=BG-BF=c-b，∵ 四边形 EHFG 的 周长与△CDH 的周长相等，∴2［（c-a）+（c-b）］=3（a+b-c），整理得 5a+ 5b=7c；
（2）∵S 四 边 形 EHFG=S △ABG-S △BCF -S △ADE+ S△CDH，四边形 EHFG 的面积与△CDH 的面积相等，∴S △ABG -S △BCF -S △ADE + S△CDH=S△CDH，∴S△ABG=S△BCF+S△ADE， ∵△ABG，△ADE 和△CBF 是等边三角形，∴， ∴c2 =a2 +b2 .
12.解：（1）①证明：在△PCB 和△DCE 中，
∴△PCB≌△DCE（SAS）， ∴∠PBC=∠DEC，∴BP∥DE； ②90 如图 1，分别延长 AC，ED 交于点 F， ∵BP∥DE，且 BP⊥AC，∴ED⊥AC， ∴∠F=90°．∵∠FAE=∠BAE-∠BAC=30°， ∴∠AED=60°；
提示：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACE=120°，又 ∵BC=CE，∴AC=CE，∴∠CAE=∠AEC= 1 2 ×（180°-120°）= 30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+ 30°=90°；
（2）提示：如图 2，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，连接 AE，DE． 由（1）②得∠BAE=90°， 又 ∵△ABC 是等边三角形，AB=2， ∴CE=BC=2，即 BE=4， 由勾股定理得，AE=2． ∵△PCB≌△DCE， ∴PB=DE=1，∠PBC=∠DEC， ∴PB∥ED．又 ∵BP⊥AD，∴ED⊥AD， 即∠ADE=90°，∴AD=
C 级 中考新考法
13.A 提示：∵ 半圆的直径为 10 cm， 若直径所对的角的顶点在圆周上，则符合勾股定理，方案Ⅰ和Ⅱ中的直径所对的角的顶 点在圆的内部，∴ 图中数据的平方和小于 100， 62 +62 =72＜100，82 +82 =128＞100， ∴ 只有方案Ⅰ的数据合理.第五节 解直角三角形
A 级 基础巩固
1.冀九上P108，AT1高仿4sin260°的值为 （ ）
A．3 B．1 C． D．
2.2024·张家口宣化区一模 梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是 （ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C． tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
3.重点冀九上P124，AT3变式 在△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为____.
4.冀九上P116，AT3拓展 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约______ m.（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
5.冀九上P123，AT1拓展 如图，已知∠α的边OP⊥AB，直线AB的解析式为y=-x+则 cosα 等于__________.
6.2024·浙江 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
7.重点2024·石家庄模拟 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是 （ ）
A． 1 B． C． D．
8.新考法2024·河北九地市模拟 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，在比例尺为1∶500 00的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6 cm，则山顶P的海拔高度为（取≈1.732，结果精确到1m）
（ ）
A．1 732 m B．1 982 m
C．3 000 m D．3 250 m
9.2024·张家口一模 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（结果精确到0.1 cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （ ）
A．2.5 cm
B．2.6 cm
C．2.7 cm
D．2.8 cm
10.难点2024·深圳 如图，在△ABC中，AB=BC，tanB=．D为BC上一点，且满足，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则=________.
11.新考法2024·邯郸丛台区四模 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则：
（1）tanB=__________；
（2）BC=________.
12.高频考点2024·秦皇岛北戴河区一模 如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH⊥MN于点H），在B，C处与篮板连接（BC⊥MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD=BC，DH=208 cm；测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，使得点C离地面的高度升高16 cm，判断∠GAE增大还是减小了？增大（或减小）了多少度？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
13.模型观念2024·邯郸模拟 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160 cm，识别的最远水平距离OB=150 cm.
（1）如图2，张亮站在摄像头前水平距离100 cm的点G处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线AD上），求张亮的身高约是多少厘米；
（2）夕夕身高（不包括头部）136 cm，头部高度为18 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，此时夕夕能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
第五节 解直角三角形
A 级 基础巩固
1.A 2.A 3.
4.21 提示：∵CA=CB，CD⊥AB，∴AD=BD=AB，在 Rt△ACD 中， ∠CAD=37°，CD=3 m， ∴AC==5（m）， AD==4（m）， ∴CA=CB=5 m，AB=2AD=8 m，共需钢约AC+CB+AB+CD=5+ 5+8+3=21（m）.
5. 提示：∵ 直线 AB 的解析式为 y=-，令 y=0，则 x=1， 令 x=0，则 y=，则点 A 坐标为（1，0），点 B 坐标为 （0，），AO=1，BO=；∴AB=cos∠ABO=，∵∠AOB=90°， 即 α+∠BOP=90°， 且∠ABO+∠BOP=90°， ∴∠α=∠ABO，∴cosα=cos∠ABO=
6.解：（1）∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，∴BD==8；∵tan∠ACB=1，∴CD=AD=6，∴BC=BD+CD=8+6=14；
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=7，∴DE=CE-CD=7-6=1，∵AD⊥BC，∴AE== ∴sin∠DAE==
B 级 能力过关
7.D 提示：在题图上，过点B作AC的垂线，垂足为D，令小正方形的边长为1，则AB==5．在Rt△ABD中，sin∠BAC=．
8.B 提示：∵两点的图上距离为6 cm，例尺为1∶500 00，∴两点间的实际距离为6÷=300 000（cm）=3 000（m），
∵从M点测量山顶P的仰角为30°，∴山顶P的海拔高度为=3 000×tan30°+250 =3 000×+250 =1 982（m）.
9.C 提示：如图，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2 cm，∴CE=BD=2 cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=
37°，∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7 cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm．
10. 提示：如图，过点A作AH⊥CB于点H，过点C作CM⊥AD于点M，∵AB=BC， ，∴设BD=8a，则CD=5a，∴BC=AB=BD+CD=13a，∵tanB= ，∴AH=5a，BH=12a，∴DH=BH-BD=4a，CH=a，
在Rt△ACH中，AC== a，在Rt△ADH中，
AD== a，∴cos∠ADC=
∴DM=CD·cos∠ADC=a∴AM=AD-DM=a
∴
11.（1）（2）8 提示：（1）依题意， 得 FH∥BC，EH=1，FH=2，如图， ∴ ∠B = ∠EFH，∴tanB =tan ∠EFH =
（2）依题意，得 DE∥FH，DE=2，CD= 3，∴∠EFH=∠AED， ∴tan∠EFH=tan∠AED=∴AD=1∴AC=AD+CD=1+3=4， ∵tanB=，∴BC=2AC=8．
12.解：∠GAE 减小，减小 6°．理由：如图，当∠GAE=60°时，延长 BC 与地 面交于点 K，过点 D 作 DQ⊥CK 于点 Q， ∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH， ∵AD=BC，∴ 四边形 ABCD 是平行四 边形，∴AB∥CD，∴∠QCD=∠ADC= ∠GAE=60°，∵ 点 C 离地面的高度为 288 cm，DH=208 cm，∴CQ=288- 208=80（cm）． 在 Rt△CDQ 中，CD== 160（cm）．如图，点 C 离地面的高度升高 16 cm 时， ∴CQ=80+16=96（cm）．∴cos∠QCD==0.6． ∴∠QCD≈54°． ∴ 此时∠GAE=∠ADC=∠QCD=54°．∴60°-54°=6°． ∴∠GAE 减小了，减小了 6°．
C 级 中考新考法
13.解：（1）如图 1，过点 G 作 OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点 M，N， 交水平线于点 F，在 Rt△AMF 中， tan∠MAF=，∴MF=AF·tan15°≈ 100×0.27=27（cm）， 由题意，知∠AOB=∠OAF=∠FGO= 90°，∴ 四边形 AOGF 是矩形， ∴GF=OA=160 cm， ∴GM=GF+MF=160+27=187（cm），∴ 张亮的身高约是 187 cm；
（2）此时夕夕能被识别.理由：如图 2，过点 B 垂直于 OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点 M，N，交水平线于点 P，则 AP=OB=150 cm，∴PN=AP· tan15°≈150×0.27=40.5（cm）， ∴BN=160-40.5=119.5（cm）. 夕夕头顶超出点 N 的高度为 136+ 3+18-119.5=19.5（cm）. 19.5>18， ∴ 此时夕夕能被识别．第二节 三角形的基本性质
A 级 基础巩固
1.人八上 P9，T10 改编 用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是 （ ）
A． 3 根 B． 4 根 C． 5 根 D． 6 根
2.人八上 P16，T1 高仿 如图，根据图中的数据，可得 x+y 的值为 （ ）
A． 180 B． 110 C． 100 D． 70
3.易错 2024·石家庄长安区一模 若使用如图所示的 a，b 两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是 （ ）
A． a，b 都可以 B． a，b 都不可以
C． 只有 a 可以 D． 只有 b 可以
4.2024·长沙 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则∠1 的度数为 （ ）
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
5.重点 2024·廊坊广阳区二模 数学课上，同学们用△ABC 纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程，线段 AD 是 △ABC 中线的是 （ ）
6.难点 人八上 P29，T7 变式 两直线 a，b 与△ABC 相交的情形如图所示，其中 a，b 分别与 BC，AB 平行．根据图中标示的角度，回答下列问题．
（1）a 与 b 所夹锐角的度数为 _____°；
（2）∠B 的度数为 ______°.
7.人八上 P9，T8 改编 如图，在△ABC 中，AD，AF 分别为△ABC的中线和高，BE为 △ABD 的角平分线．
（1）若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF 的大小；
（2）若△ABC 的面积为 40，BD=5，求 AF 的长．
B 级 能力过关
8.新考法2024·石家庄模拟 如图，在锐角三角形 ABC 中，∠B=45°，要作△ABC 的高线 CD，下列说法正确的是 （ ）
A． 只有甲对 B． 只有乙和丙对
C． 只有甲和丙对 D． 甲，乙，丙都对
9.2024·广安 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AC，BC 的中点，若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C 的度数为 （ ）
A． 45°
B． 50°
C． 60°
D． 65°
10.易错 2024·河北九地市模拟 如图，将△ABC 折叠，使 AC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕AD，再将△ABC 折叠，使 BC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕 BE，若 AD 与 BE 的交点为 O，则点 O 是 （ ）
A． △ABC 的外心 B． △ABC 的内心
C． △ABC 的重心 D． △ABC 的中心
11.2023·唐山模拟如图，在△ABC 中，∠ABC= 90°，EF，BG 分别是△ABC 的中位线和 中线，则下列说法不正确的是 （ ）
A． AG=EF B． BG=EF
C． CG=BG D． AE=CF
12.2024·邯郸二模 将分别含有 30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图 1．若保持含 45°角的三角板固定不动，将含 30°角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转 15°，如图2，此时 α 的度数 _______（选填“增大”或“减小”）了 ________ 度．
13.2024·绥化 已知：△ABC．
（1）尺规作图：画出△ABC 的重心 G；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接 AG，BG．已知△ABG 的面积等于 5 cm2 ，求△ABC的面积．
C 级 中考新考法
14.几何直观2024·沧州模拟 题目：如图，△ABC 的三边均不相等，在此三角形内找一点 O，使得△OAB，△OBC，△OCA 的面积均相等．甲、乙两人的做法如下， 判断正确的是 （ ）
A． 甲、乙皆正确 B． 甲、乙皆错误
C． 甲错误，乙正确 D． 甲正确，乙错误
第二节 三角形的基本性质
A 级 基础巩固
1.C 2.B 3.C
4.C 提示：∵∠BAC=60°，∠B=50°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°- 50°=70°，∵AD∥BC，∴∠1=∠C=70°.
5.C 提示：A.沿 AD 折叠，点 C 落在 BC 边上的点 E 处，则 D 是 CE 的中 点，∴AD 不是△ABC 的中线，故 A 选 项不符合题意；B.沿 AD 折叠，点 C 落 在 AB 边 上 的 点 E 处 ，∴ED = CD，不能得到 CD=BD，故 B 选项不 符合题意；C.沿 DE 折叠使点 C 与 点 B 重合，∴BD=CD，∴D 是 BC 的 中点，∴AD 是△ABC 的中线，故 C 选项符合题意；D.沿 AD 折叠，点 C 落在三角形外的点 E 处，∴CD=DE， 不能得到 CD=BD，∴D 选项不符合 题意.
6.（1）55 （2）55 提示：（1）如图， 设直线 a，b 交于点 D，由图可得∠DFE= 180°-120°=60°，∠DEF=180°-115°= 65°，∴∠FDE=180°-60°-65°=55°， ∴a 与 b 所夹锐角的度数为 55°；
（2）∵a，b 分别与 BC，AB 平行， ∴∠A=180°-115°=65° ，∠C=180° - 120° =60° ，∴∠B =180° -∠A-∠C = 180°-65°-60°=55°．
7.解：（1）∵∠BED=∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE=60°-40°=20°，∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=40°， ∵AF 为△ABC 的高，∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°； （2）∵AD 为△ABC 的中线， ∴BC=2BD=10， ∵S△ABC= 1 2 AF·BC=40， ∴AF==8．
B 级 能力过关
8.D 提示：甲的作法：由作图痕迹可知是 BC 的垂直平分线，∴BD=CD， ∴∠B=∠BCD，∵∠B=45°，∴∠BCD= 45° ，∴∠BDC =180° -45° -45° =90° ， 即 CD 是 AB 边上的高，故甲正确； 乙的作法：由作图痕迹可知是 AC 的 垂直平分线，AC 为圆的直径， ∴∠ADC=90°，即 CD 是 AB 上的高， 故乙正确； 丙的作法：由作图痕迹可知∠BCD= ∠B，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°， ∴∠BDC=180°-45°-45°=90°，即 CD 是 AB 上的高，故丙正确.
9.D 提示：∵ 点 D，E 分别是 AC，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥AB，∴∠B=∠CED=70°， ∴∠C=180° -∠A-∠B =180° -45° - 70°=65°.
10.B
11.D 提示：在△ABC 中，∠ABC = 90°，EF，BG 分别是△ABC 的中位线和中线，∴BG= 1 2 AC，EF= 1 2 AC， AG=GC= 1 2 AC， ∴AG=EF，BG=EF，CG=BG， ∴ 选项 A，B，C 说法正确，不符合题意；∵BA 和 BC 不一定相等， ∴AE 和 CF 不一定相等， ∴ 选项 D 说法错误，符合题意．
12.减小 15 提示：如图 1，∵∠1=∠A+ ∠2，∴∠2=60°-45°=15°，∴ 旋转前 α1=180°-15°=165°，如图 2，∵∠4+ ∠B + ∠3 =180° ，∴ ∠4 = ∠5 =180° - 15°-60°=105° ，∵ 旋转后 α2=∠A+ ∠5，∴ 旋转后 α2=45°+105°=150° ， ∴α1-α2=15°，∴ 度数减小了 15°.
13.解：（1）分别作出 AB 边和 BC 边的垂直平分线，与 AB 和 BC 边分别交于点 N 和点 M，连接 AM 和 CN，如图所示，点 G 即为所求作的点；
（2）∵ 点 G 是△ABC 的重心， ∴AG =2MG，∵ △ABG的面积等于 5 cm2 ，∴△BMG 的面积等于 2.5 cm2 ， ∴△ABM 的面积等于 7.5 cm2 ． 又 ∵AM 是△ABC 的中线， ∴△ABC 的面积等于 15 cm2 ．
C 级 中考新考法
14.C 提示：甲作法中点 O 为△ABC的内心，到各边距离相等，但各边长不相等 ， 故 △ OAB ， △ OBC ， △ OCA的面积均不相等；乙作法中点 O 为△ABC 重心，AO∶OD=2∶1，S△OBC=·S△ABC．同理可得 S△OAB=S△OCA=S△ABC．∴△OAB，△OBC，△OCA 的面积均相等.