安徽省安庆市部分示范高中2024-2025高一下学期第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试卷
试题范围：三角函数、平面向量及其应用、复数
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
2．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图，在中，，，，则（ ）

A．2 B． C． D．4
4．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
已知，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 与的图象关于直线对称
B. 与的图象关于点对称
C. 当时，
D. 当时，与的图象恰有4个交点
11．在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 .
14．如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(13分).已知复数．
(1)若，求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
16．(15分).在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
17．(15分).在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
18．(17分).在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．(17分).如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，
(1)请用来表示平行四边形的面积；
(2)若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B A C D A BD ACD
题号 11 12 13 14
答案 AB -2
15．（1）
（2）依题意向量于是有
为与的夹角，
，
16.由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.(2)
.由可得：，，则，.
即的取值范围是.
17．（1）由余弦定理，得，即整理得， 所以，又，所以．
（2）因为，所以．
因为，即．故面积的最小值为．
18．（1）因为，由正弦定理可得，
，，则，，又，；（2），，，
又为锐角三角形，，，，，，，故周长的取值范围为．
19．（1）过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，
所以，所以
（2）①若，由题意可得，由（1）知：
故平行四边形的面积
由于，故，故当时，即时，取得最大值为.②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即
又，则
因，即，则，，
解得：，，，
由点是弧上一动点，则，则，所以即.