陕西省西安市临潼区2025届高三二模数学试卷（含答案）

陕西省西安市临潼区2025届高三二模数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若为虚数单位是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，或，，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，；命题：，则( )
A. 和都是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 和都是假命题
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.若甲组样本数据数据各不相同的平均数为，乙组样本数据的平均数为，则下列说法错误的是( )
A.
B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的倍
C. 两组样本数据的中位数可能相等
D. 两组样本数据的极差可能相等
6.甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的，两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则关于的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 是的最大值
C. 图象关于点对称
D. 把图象向左平移个单位长度得到的图象
10.设，若为函数的极大值点，则下列说法正确的是( )
A. 当时，，使得函数在区间上单调递增
B. 当时，有
C. 当时，，使得函数在区间上单调递增
D. 当时，有
11.如图，以，，，，，为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 当时，二面角的正弦值为
D. 当时，此六面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量满足，，且，则与的夹角为 ．
13.若点在直线上，且，则的最小值为 ．
14.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知数列满足．
求数列的通项公式；
令，记数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过食品安全抽样检验管理办法，自年月日起实施某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
(ⅰ)若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率
(ⅱ)对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望
已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于约为，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，求的单调区间；
当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为？若能，求的值，若不能，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点其中点在轴上方，的周长为．
求椭圆的标准方程；
如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直．
若，求异面直线和所成角的余弦值；
是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.在中，由及正弦定理，得，
化简得，由余弦定理得，而，
所以．
由，得，
由，得，则，即，
，
由及正弦定理，得，
所以的面积．

16.当时，，
当时，，，
故．
时，上式亦成立．
所以数列的通项公式为：
因为，
所以，
所以
两式相减得：，
所以：．

17.解：设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，
则；
根据题意可知的取值可能为，，，，
则，，
，
，
则的分布列为：
所以．
设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，
则
，，
因为，所以在单调递增，
注意到，所以，
故的最小值为．
18.当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为．
当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，
所以的单调减区间为，无增区间．
由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，
即方程有唯一实根，所以．
所以曲线在点处的切线斜率能为，此时．

19.解：由椭圆的定义得：
，，
的周长，，
椭圆的离心率，，，
由椭圆焦点在轴上，得椭圆的标准方程为．
由知，点，倾斜角为，故直线设为：，
由直线：与可得：，联立求得，因为点在轴上方以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
记异面直线和所成角为，则；
设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，
由，，得，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系，原轴仍然为轴，原轴正半轴所在直线为轴，原轴负半轴所在直线为轴，如图，
则，，
将直线方程与椭圆方程联立，得：
，整理得，
，，
，，
，
，
，，
由得，
，
，
即，
，
解得，
，，
存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为，．
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