辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.学校放三天假，甲乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是( )
A. B. C. D.
5.若函数在其定义域内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.对任意，都有，且不恒为，函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知，向量，且的最小值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则( )
A. B. C. D.
10.若，记为不超过的正整数中与互质两个正整数除之外，没有其余公因数的正整数的个数，例如，则下面选项正确的是( )
A. B.
C. 若是质数，则 D.
11.在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是( )
A.
B. 若平面，则点的轨迹长等于
C.
D. 当时，四点构成的图形为直角梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为，则 ．
13.设复数满足，则 ．
14.的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，、两点分别在、上，使现将沿折起得到四棱锥，在图中．
求证：平面；
求平面与平面所成角的正切值．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若对恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，角所对的边分别是，且满足
求角的大小；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
18.本小题分
甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求和；
求证：是等比数列；
求的数学期望用表示．
19.本小题分
已知圆为坐标原点，过圆上一动点作圆的切线交圆于两点，直线交圆于两点．
四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；
对平面上所有点进行如下变换即：原坐标在这个变换下的新坐标为，圆、圆、直线分别变换成，点变换成．
写出的方程，与是否相切，证明你的结论；
四边形的面积是否是定值，请说明理由．
参考答案
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15.在图的中，，
所以，，且，，
因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图的中，，，，
满足，所以，，
因为，，，、平面，所以，平面．
解法一：因为平面，，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
设平面一个的法向量，则
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，
则，
所以，，．
因此，平面与平面所成角的正切值为；
解法二：过在平面内作，垂足为点，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
由知平面，因为平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
所以，为平面与平面所成的角，设．
在中，，，，，
所以，，，
在中，，，，，
所以，，则，
在中，，
所以，平面与平面所成角的正切值为．
16.解：由函数，其中，
可得，
当时，令，解得，所以的单调递增区间为；
当时，令，解得或，
所以的单调递增区间为及；
当时，恒成立，所以的单调递增区间为；
当时，令，解得或，
所以的单调递增区间为及．
综上可得：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为及；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为及．
解：由知，当，在单调递增，所以，
令，可得，所以；
当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以，
令，可得，
令，可得，所以为单调递减，
所以，所以，所以在上单调递减，
因为且，所以，
综上可得：实数的取值范围为．
17.由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以．
由余弦定理得：
，代入得：，
根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，
的面积为：，故面积的最大值为．
令，则，
所以可化为：
因为
由二次函数的图像性质得到，
当时，原式大于，
当时，原式取得最大值，
故的取值范围为
18.依题意，，，
，
．
设表示次取球后甲口袋有个黑球，表示次取球后甲口袋有个黑球，
表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，
表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列．
依题意，的分布列为
期望，由得，
所以．
19.由与垂直，四边形的面积，
四边形对角线互相垂直，且对角线长不变，所以四边形的面积为定值．
由已知得的方程分别为为
若的斜率不存在时，的方程为，此时显然与相切
若的斜率存在时，设的方程为与相切得，
即
的方程为，代入，
得，
此时
所以只有一个交点，显然与相切
设，联立
消得
将代入得，到的距离为，
所以
显然所以
所以四边形的面积
当直线的斜率不存在时，的斜率也不存在，此时
或
此时四边形的面积
所以四边形的面积是定值
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