2025年黑龙江省-哈尔滨市哈尔滨第三中学高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含答案）

哈三中 2025 年高三学年第二次模拟考试
数学试卷
考试说明：本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分，满分 150分．
考试时间为 120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹
签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I卷 (选择题, 共 58分)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A x x2 4x 0 ， B x 3 x 4 ，则 ( RA) B （ ）
A． x 3 x 0 B． x 3 x 4 C． x 3 x 0 D． x x 4
2. 已知平面向量a (1, 2),b ( 1, x 1) ，且a / /(b a)，则 b （ ）
A．5 B． 5 C．37 D． 37
3. 已知m,n是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ）
A．若 n , n ,则 B．若m n,n ,则m
C．若 , ,则 D．若m ,m ,则
4. 复数 z1 ， z2 在复平面内对应的点关于直线 y x对称，且 z1 1 i （其中 i 为虚数
z1
单位），则复数 z =（ ）2
A. 1 B．1 C． i D． i

5． 对于锐角 ，满足3sin 4(1 cos )，则 sin =（ ）
2
4 3 3
A. B 7． C． D．
5 5 4 4
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3 2
6. 正项等差数列{an}中, a4 1,则 a 的最小值为 （ ）2 a7
9
A. B. 5 C.
2 5 2
D. 6
7. 已知函数 f x logax a 0,a 1 . 若存在 x使得 2 f ax f x 1 f x 2 3
成立，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1
A．0 a B． a 1 C．0 a 1 D． a 1
2 2
8. f (x) 3 1 1
1 19
已知函数 sin xcos x sin2 x ，记方程 f (x) 在 x , 上的
2 2 4 6 6 8
根从小到大依次为 x1, x2 , xn ，则 x1 2x2 2x3 2x n 1 x n 的值为（ ）
29 32 34 37
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取
所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于 40 至100之间；
为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则
下列结论正确的是（ ）
A． a 0.010
B．样本中得分不低于80分的同学有15名
C．估计样本的 40% 分位数为66 分
D．该组数据的平均数大于众数
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2 2
10. 已知 P(x x y0 , y0 ) 为双曲线C： 1上一点，F、F4 12 1 2
为双曲线C的左、右焦点，G
和 I 分别为△PF1F2 的重心和内心．若GI x轴，则（ ）
A. x0 6 B. △PF1F2 的面积为12 6
C. PF1 14 D. △PF1F2 内切圆的半径 r 6
11. 如图，已知侧棱长为 2 的直三棱柱 ABC A1B1C

1中， BAC ， BC3 1
4，
R 为BC1的中点.则下列说法正确的是（ ）
A.当 AB 2 3 3时，异面直线 AC与BC1成角的余弦值是
4
1
B.当 AB 2 时，直线 AR与平面BCC1B1成角的余弦值是 2
C. AR的最大值是 10
D.三棱锥 A1 AC1B体积的最大值是 2 3
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 92分)
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 若在 (1 ax)5 的展开式中，含 x3项的系数为 80，则 a _________.(用数字作答)
2 1 3
13. 已知随机事件M ,N .若P(N ) ，P(M N ) ，P(M N ) ，则 P(N M ) _____.
5 3 5
14. 在△ABC中，△ABC的面积为 2，且 BC 2AB ,则 AC的最小值为_________.
四、解答题:本题共 5小题, 共 77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题 13 分)
设函数 f (x) ax 2ln x 1,a R．
(1)若 f (x)在 x 1处切线为 y b，求实数 a b的值；
(2)是否存在实数 a，使得当 x (0, 2]时，函数 f (x) 的最小值是 3？若存在，求出 a
的值；若不存在，说明理由．
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16．(本小题 15 分)
为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果
的数据如下表：
球队赢球 球队输球 总计
参加 30 12 42
未参加 20 20 40
总计 50 32 82
(1)根据小概率值 0.05的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联
(2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3
场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量 X 表示赢球的场数.求随机变量 X
的分布列，数学期望与方差.
n ad bc 2
参考公式： 2 ，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
17．(本小题 15 分)
n n
已知数列{an}满足 a *1 5， an 1 2an 3 （ n N ），记bn an 3 .
(1)求证：{bn}是等比数列；
c 2n 1 n(2)设 n ，数列{cn}的前 n项和为 Sn . 若不等式 ( 1)n Sb n
n 1 对一切
n 2
n N 恒成立，求实数 的取值范围.
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18．(本小题 17 分)
已知等腰△ ABC 2 中， B , AB BC 4，D是线段 AC上一点.现将
3 △ABD
沿 BD折起至△A'BD的位置.设折叠后平面 A'BD和平面 BCD所成的二面角
A' BD C为 (0 ) .
(1)图 (2)图
(1)若D为 AC中点，求证：DB A'C .

(2)若 AD 2DC,
2
①求平面 BCD和平面 A'DC所成角的正弦值;
②设 E为BD的中点，过 E作平面 截三棱锥 A' BCD的外接球，求截面面积的
最小值.
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19．(本小题 17 分)
x2 y2
椭圆 E : 1(a b 0)与圆M : (x 6)2 y 2 16 和圆2 2 N : x
2 (y 2 3)2 3
a b
都外切.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设 A,B分别为椭圆E的左右顶点, F 为椭圆的右焦点,K为椭圆E上动点（异于
A,B ),直线KF与椭圆E交于另一点H .若直线 AK与HB交于点 P ,求证：点P在
定直线 l上；
(3) 在(2)的条件下，设直线KB与直线 l交于Q点，椭圆E在点K处的切线 l 与 l交
于R ,
2
KP KQ KR 1
2
①求证： PQ ；
4
②求 KPQ面积 S取最小值时K点的横坐标.
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