2026全国版高考数学一轮基础知识练--10.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差（含解析）
2026全国版高考数学一轮
10.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
2.(2019浙江,7,4分,中)设0
P
则当a在(0,1)内增大时, ( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
3.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n= ,E(ξ)= .
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
5.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
6.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大 (结论不要求证明)
7.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届广东适应性测试,3)已知随机变量X的分布列如表所示:
X -1 0 1
P m n
若P(X≤0)=,且2X+Y=1,则D(Y)= ( )
A.
2.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,7)为迎接中秋佳节,某公司开展抽奖活动,规则如下:在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球,每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球,可获得价值a百元代金券;摸到两白球,可获得价值b百元代金券;摸到两红球,可获得价值ab百元代金券(a,b均为整数).已知每位员工平均可得5.4百元代金券,则运气最好者至多获得 百元代金券. ( )
A.5.4 B.9 C.12 D.18
3.(多选)(2025届湖南长沙周南中学期中,9)盒中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ)、D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是 ( )
A.P(ξ=0)= B.E(ξ)=1
C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=6
4.(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏师大附中三校联考,13)已知4件产品中有2件次品,逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为X.则E(X)= .
5.(2025届云南昆明师大附中期中,15)甲袋中装有2个红球、2个白球,乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出2个球;如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出2个球.
(1)记摸出红球的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X);
(2)已知摸出的2个球是1红1白,求这2个球来自乙袋的概率.
能力拔高练
1.(2024广东广州天河综合测试(二),8)设10≤x1
C.D(ξ1)>D(ξ2)
D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4,x5的取值有关
2.(2025届湖北武汉重点校第一次联考,17)为倡导节能环保,实现废旧资源再利用,小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换,其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶,小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶,他们每次等可能地各取一件玩具进行交换.
(1)两人进行一次交换后,求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率;
(2)两人进行两次交换后,记X为“小明手中玩偶的个数”,求随机变量X的分布列和数学期望.
创新风向练
(创新知识交汇)(2024浙江五校联盟联考,17)记复数的一个构造:从数集{0,1,}中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造,可得到n个复数,将它们的乘积记为zn.已知复数具有运算性质:|(a+bi)·(c+di)|=|(a+bi)|·|(c+di)|,其中a,b,c,d∈R.
(1)当n=2时,记|z2|的取值为X,求X的分布列;
(2)当n=3时,求满足|z3|≤2的概率;
(3)求|zn|<5的概率Pn.
10.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
答案 B
2.(2019浙江,7,4分,中)设0
P
则当a在(0,1)内增大时, ( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案 D
3.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n= ,E(ξ)= .
答案 1;
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.
则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=.
∴甲学校获得冠军的概率为.
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).
X的所有可能取值为0,10,20,30.
则P(X=0)=P()=,
P(X=10)=P(B1)+P()+P(B3)
=,
P(X=20)=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3)
=,
P(X=30)=P(B1B2B3)=.
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
P
∴E(X)=0×=13.
5.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
解析 (1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)>E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
6.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大 (结论不要求证明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优秀奖的概率P=.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,,,相互独立,且P(A)=,P(B)=P(C)=,P()=1-P(A)=1-,P()=P()=,
则P(X=0)=P()=P()P()P()=;
P(X=1)=P(A)+P()+P(C)=P(A)P()·P()+P()P(B)P()+P()·P()P(C)=;
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)·P()+P(A)P()P(C)+P()·P(B)P(C)=;
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
故X的数学期望E(X)=0×.
(3)丙.
详解:乙夺冠的概率为P(乙)=,
丙夺冠的概率为P(丙)=,
甲夺冠的概率为P(甲)=1-,
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
7.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
解析 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,
由题易知p3+p2+p1+p0=1,
故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,
f '(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),
E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3,
若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0,
因为f '(0)=-(p2+p0+p3)<0,
f '(1)=p2+2p3-p0≤0,
所以f '(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2,
当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时, f '(x)>0,
当x∈(x1,x2)时, f '(x)<0,
故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,
在(x1,x2)上为减函数,
若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,且f(1)=0,
所以在(0,+∞)上, f(x)≥f(x2)=f(1)=0,
故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.
若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数,
故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0,
此时f '(0)=-(p2+p0+p3)<0, f '(1)=p2+2p3-p0>0,
故f '(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0
而f(1)=0,故f(x4)<0,
又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1,
所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1.
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届广东适应性测试,3)已知随机变量X的分布列如表所示:
X -1 0 1
P m n
若P(X≤0)=,且2X+Y=1,则D(Y)= ( )
A.
答案 C
2.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,7)为迎接中秋佳节,某公司开展抽奖活动,规则如下:在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球,每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球,可获得价值a百元代金券;摸到两白球,可获得价值b百元代金券;摸到两红球,可获得价值ab百元代金券(a,b均为整数).已知每位员工平均可得5.4百元代金券,则运气最好者至多获得 百元代金券. ( )
A.5.4 B.9 C.12 D.18
答案 D
3.(多选)(2025届湖南长沙周南中学期中,9)盒中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ)、D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是 ( )
A.P(ξ=0)= B.E(ξ)=1
C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=6
答案 ABD
4.(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏师大附中三校联考,13)已知4件产品中有2件次品,逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为X.则E(X)= .
答案
5.(2025届云南昆明师大附中期中,15)甲袋中装有2个红球、2个白球,乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出2个球;如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出2个球.
(1)记摸出红球的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X);
(2)已知摸出的2个球是1红1白,求这2个球来自乙袋的概率.
解析 (1)由题意知X的可能值是0,1,2,
甲袋中有2个红球、2个白球,
因此从甲袋中摸出的两球均为红色的概率为,1红1白的概率为,两球均为白色的概率是,
乙袋中有1个红球、3个白球,
因此从乙袋中摸出的两球均为红色的概率为0,1红1白的概率为,两球均为白色的概率是,
又摸出的球是从甲袋摸出的概率是,从乙袋摸出的概率是,
所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×.
(2)由(1)知摸出的两球1红1白的概率是P1=,1红1白两球是从乙袋中摸出的概率是P2=,
所以在摸出的2个球是1红1白,这2个球来自乙袋的概率P=.
能力拔高练
1.(2024广东广州天河综合测试(二),8)设10≤x1
C.D(ξ1)>D(ξ2)
D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4,x5的取值有关
答案 C
2.(2025届湖北武汉重点校第一次联考,17)为倡导节能环保,实现废旧资源再利用,小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换,其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶,小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶,他们每次等可能地各取一件玩具进行交换.
(1)两人进行一次交换后,求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率;
(2)两人进行两次交换后,记X为“小明手中玩偶的个数”,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析 (1)若两人交换的是玩具车,则概率为,
若两人交换的是玩偶,则概率为,
故两人进行一次交换后,小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.
(2)X可取的值为0、1、2、3、4,
一次交换后,小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为,有3个玩偶和1台玩具车的概率为,
经过两次交换后P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)=0×=2.
创新风向练
(创新知识交汇)(2024浙江五校联盟联考,17)记复数的一个构造:从数集{0,1,}中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造,可得到n个复数,将它们的乘积记为zn.已知复数具有运算性质:|(a+bi)·(c+di)|=|(a+bi)|·|(c+di)|,其中a,b,c,d∈R.
(1)当n=2时,记|z2|的取值为X,求X的分布列;
(2)当n=3时,求满足|z3|≤2的概率;
(3)求|zn|<5的概率Pn.
解析 (1)由题意可知,可构成的复数为{1,i,,i,1+i,+i},共6个复数,
模为|1|=|i|=1,|,|1++i|=2.
X的可能取值为1,,2,3,2,4,
P(X=1)=,P(X=)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=2)=,P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3 2 4
P
(2)z3可能的结果共有=216种,
满足|z3|≤2的情况有:
①3个复数的模均为1,共有=8种;
②3个复数中,2个模均为1,1个模为或2,共有=48种,所以P(|z3|≤2)=.
(3)当n=1或2时,显然都满足,此时Pn=1;
当n≥3时,满足|zn|<5共有三种情况:
①n个复数的模均为1,则共有=2n;
②n-1个复数的模为1,剩余1个复数的模为或2,则共有=n·2n+1;
③n-2个复数的模为1,剩余2个复数的模为或2,则共有=n(n-1)·2n+1,
故P(|zn|<5)=,当n=1,2时均成立.所以P(|zn|<5)=.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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