2026全国版高考数学一轮基础知识练--6.2 等差数列（含解析）
2026全国版高考数学一轮
6.2 等差数列
五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7= ( )
A.
2.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= ( )
A.
C.-
3.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
4.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25 B.22 C.20 D.15
5.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= ( )
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
6.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5 (单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3= ( )
A.64 B.96 C.128 D.160
7.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
8.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
9.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
10.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
12.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
13.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
14.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
考点2 等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.=b2b8
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} ( )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江西多校联考,3)已知等差数列{an}的公差d≠0,若a1=3,且a2,a4,a8成等比数列,则d= ( )
A.2 B.3
C.
2.(2025届内蒙古包头联考,3)“数列{an}是等差数列”是“数列{an+an+1}是等差数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025届广东三校摸底考试,5)在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9= ( )
A.13 B.17
C.21 D.23
4.(2025届山东潍坊开学考,6)数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,若ak+ak+1+…+ak+9=270,则k= ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
5.(多选)(2025届海南琼海开学考,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-10,an+1=an+3,则下列说法正确的是 ( )
A.{an}是递增数列
B.10是数列{an}中的项
C.数列是等差数列
D.数列{Sn}中的最小项为S3
6.(2025届湖南长沙雅礼中学期中,16)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+,求数列{bn}的前n项和.
7.(2025届河北石家庄重点高中开学考,15)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,a3=a2+2a1,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.
8.(2025届湖北宜荆荆恩联考,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2-11,求数列{|bn|}的前n项和Tn.
能力拔高练
1.(2025届江苏如皋开学考,5)在等差数列{an}中,若a4+2a9=a2=8,则下列说法错误的是 ( )
A.a1=9
B.S10=45
C.Sn的最大值为45
D.满足Sn>0的n的最大值为19
2.(2025届广东广州三校期中联考,7)在等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若S18<0,S19>0,则有限项数列,,…,,中,最大项和最小项分别为 ( )
A.,,,,
3.(2025届湖南永州一模,7)已知数列{an}满足(n∈N*),且a1=1,a2 024=,则a1a2+a2a3+…+anan+1= ( )
A.
4.(2025届广东五校开学联考,7)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=,2Sn=nan+1,则[f(ai)+f(a20-i)]= ( )
A.76 B.38 C.19 D.0
5.(多选)(2025届江苏南京六校学情调研,10)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若S8
B.使得Sn<0成立的最小自然数n=13
C.|a6+a7|<|a8+a9|
D.数列
6.(多选)(2025届浙江名校联盟开学考,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差d≠0,2a15+a18=24.则以下结论正确的是 ( )
A.a16=8
B.若S9=S10,则d=
C.若d=-2,则Sn的最大值为S21
D.若a15,a16,a18成等比数列,则d=4
7.(2025届江苏泰州多校联考,18)已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,前n项和为Sn,a2为a1和a5的等比中项,S11=121.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数m,n(3
8.(2025届江苏盐城重点高中第一次质量检测,18)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=(n∈N*,n≥2).
(1)求证:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)求证:1≤(n∈N*);
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+b3+…+bn,是否存在正整数m,使得对任意正整数n均有Tn>恒成立 若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届山东聊城期中,8)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且xf(x+y)-(x+y)f(x)=2x(x+y), f(1)=1,则f(2 024)= ( )
A.2 023×2 024 B.2 024×2 046
C.2 024×4 047 D.2 024×4 048
2.(创新考法)(2025届湖北宜荆荆恩开学考,14)已知数列{an}有30项,a1=2,且对任意n∈{2,3,…,30},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+3.
(1)a5= ;(写出所有可能的取值)
(2)数列{an}中,若ak满足:存在j∈{1,2,…,k-1},使得ak=aj,则称ak具有性质P.若{an}中恰有4项具有性质P,且这4项的和为20,则an= .
6.2 等差数列
五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7= ( )
A.
答案 B
2.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= ( )
A.
C.-
答案 B
3.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
答案 A
4.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C
5.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= ( )
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案 D
6.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5 (单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3= ( )
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
7.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
答案 95
8.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
答案 25
9.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
答案 0;-10
10.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
答案 3n2-2n
11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解析 (1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
12.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
则∴an=13-2(n-1)=15-2n.
(2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,
∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn==-n2+14n,
当n≥8,n∈N*时,Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an)
=2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
∴Tn=
13.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)证明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,
Sn==2知,
当n=1时,=2,即=2,所以b1=S1=,
当n≥2时,=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=,故数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
(2)由(1)知,bn=+(n-1)×,
故当n≥2时,Sn=,S1也符合该式,
即Sn=(n∈N*),从而a1=S1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,a1不符合该式,
所以an=
14.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解析 (1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,
∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,
又∵bn=,∴b1=,b2=,b3=,∴T3=b1+b2+b3=,
∴S3+T3=6a1+=21,解得a1=3或a1=(舍),∴an=3n.
(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即,
即,即-3a1d+2d2=0,
∴a1=2d或a1=d.
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=,
∴S99==99×51d,
T99=,
又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·=99,
∴51d-=1,解得d=1或d=-,
又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn=,∴S99==50×99d,
T99=,
又∵S99-T99=99,∴50×99d-=99,
∴50d-=1,解得d=或d=-1,又∵d>1,∴d=.
综上,d=.
考点2 等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.=b2b8
答案 D
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} ( )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 B
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
解析 (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5 a1+2d=5a1+10d 4a1+8d=0 a1+2d=0 a1=-2d,①
a2·a4=S4 (a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an n2-5n>2n-6 n2-7n+6>0 (n-1)(n-6)>0,
解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
解析 (1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.
又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,
故Sn=3(1+2+…+n)-4n=,n∈N*.
(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,
依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)d-1]=(4cn+nd-1)2,
即15+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16+8(nd-1)·cn+n2d2-2nd+1,故+[(14-8n)d+8]cn+d2=0,
故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]≥0对任意正整数n恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;
n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.
综上所述,1
基础强化练
1.(2025届江西多校联考,3)已知等差数列{an}的公差d≠0,若a1=3,且a2,a4,a8成等比数列,则d= ( )
A.2 B.3
C.
答案 B
2.(2025届内蒙古包头联考,3)“数列{an}是等差数列”是“数列{an+an+1}是等差数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(2025届广东三校摸底考试,5)在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9= ( )
A.13 B.17
C.21 D.23
答案 C
4.(2025届山东潍坊开学考,6)数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,若ak+ak+1+…+ak+9=270,则k= ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 C
5.(多选)(2025届海南琼海开学考,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-10,an+1=an+3,则下列说法正确的是 ( )
A.{an}是递增数列
B.10是数列{an}中的项
C.数列是等差数列
D.数列{Sn}中的最小项为S3
答案 AC
6.(2025届湖南长沙雅礼中学期中,16)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)设公差为d,d≠0.
由S10=110,得110=10a1+45d①,
∵a1,a2,a4成等比数列,
∴=a1·a4,∴(a1+d)2=a1(a1+3d)②,
由①②解得
∴数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由(1)得bn=an+=2n+32n=2n+9n,
则数列{bn}的前n项和为
b1+b2+…+bn=2×(1+2+…+n)+(9+92+…+9n)
=2×=n(n+1)+.
7.(2025届河北石家庄重点高中开学考,15)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,a3=a2+2a1,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.
解析 (1)设公差为d.由a3=a2+2a1,得a1+2d=a1+d+2a1,
则d=2a1=2,因此an=a1+(n-1)d=2n-1,
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)证明:由(1)知,an=2n-1,则Sn==n2,
则,即bn=,
则Tn=,
由于n∈N*,则>0,故Tn<1.
8.(2025届湖北宜荆荆恩联考,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2-11,求数列{|bn|}的前n项和Tn.
解析 (1)由an+1=Sn+2,得当n≥2时an=Sn-1+2,
两式相减得an+1-an=an,所以an+1=2an(n≥2).
将a1=2代入an+1=Sn+2得,a2=4=2a1,
所以对任意n∈N*,an+1=2an,
故{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n.
(2)bn=log2-11=2n-11.
令数列{bn}的前n项和为Bn.
Bn=b1+b2+…+bn==n(n-10)=n2-10n,
因为当n≤5时,bn<0,当n≥6时,bn>0,
所以当n≤5时,Tn=-b1-b2-…-bn=-Bn=10n-n2,
当n≥6时,Tn=-b1-b2-…-b5+b6+b7+…+bn=Bn-2B5=n2-10n+50.
故Tn=
能力拔高练
1.(2025届江苏如皋开学考,5)在等差数列{an}中,若a4+2a9=a2=8,则下列说法错误的是 ( )
A.a1=9
B.S10=45
C.Sn的最大值为45
D.满足Sn>0的n的最大值为19
答案 D
2.(2025届广东广州三校期中联考,7)在等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若S18<0,S19>0,则有限项数列,,…,,中,最大项和最小项分别为 ( )
A.,,,,
答案 B
3.(2025届湖南永州一模,7)已知数列{an}满足(n∈N*),且a1=1,a2 024=,则a1a2+a2a3+…+anan+1= ( )
A.
答案 D
4.(2025届广东五校开学联考,7)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=,2Sn=nan+1,则[f(ai)+f(a20-i)]= ( )
A.76 B.38 C.19 D.0
答案 A
5.(多选)(2025届江苏南京六校学情调研,10)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若S8
B.使得Sn<0成立的最小自然数n=13
C.|a6+a7|<|a8+a9|
D.数列
答案 ACD
6.(多选)(2025届浙江名校联盟开学考,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差d≠0,2a15+a18=24.则以下结论正确的是 ( )
A.a16=8
B.若S9=S10,则d=
C.若d=-2,则Sn的最大值为S21
D.若a15,a16,a18成等比数列,则d=4
答案 ABD
7.(2025届江苏泰州多校联考,18)已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,前n项和为Sn,a2为a1和a5的等比中项,S11=121.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数m,n(3
解析 (1)由题意得=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),
整理得d2=2a1d,因为d≠0,所以d=2a1,
由S11=11a1+55d=121,即11a1+55×2a1=121,解得a1=1,
故d=2a1=2,故{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)不存在正整数m,n(3
所以由题意得,即5(2n-1)=(2m-1)(n+2),
故2m-1与n+2中至少有一个为5的倍数,
不妨设2m-1为5的倍数,设2m-1=5t,t∈N*,
因为m>3,故m的最小值为8,此时t=3,故t≥3,
5(2n-1)=5t(n+2),故n=<0,不合要求,
若n+2为5的倍数,设n+2=5k,k∈N*,
因为n>m>3,所以n的最小值为8,故k≥2,
故5(10k-5)=5k(2m-1),整理得10k-5=k(2m-1),
故k=,因为m>3,所以k=<1,矛盾,舍去.
综上,不存在正整数m,n(3
当i≥2时,,
所以.
8.(2025届江苏盐城重点高中第一次质量检测,18)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=(n∈N*,n≥2).
(1)求证:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)求证:1≤(n∈N*);
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+b3+…+bn,是否存在正整数m,使得对任意正整数n均有Tn>恒成立 若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)因为an=,
所以当n≥2时,Sn-Sn-1=,
即()()=,
而an>0,有>0,即=1(n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,于是=1+(n-1)×1=n,即Sn=n2,
当n≥2时,an==n+n-1=2n-1,又a1=1满足上式,
所以{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.
(2)证明:由(1)知,
当n≥2时,,
则,
当n=1时,,
所以对任意的n∈N*,都有1≤.
(3)由(1)知,bn=,
则有Tn=,
因为Tn+1-Tn=bn+1=>0,
所以数列{Tn}是递增数列,(Tn)min=T1=b1=,
因为对任意正整数n均有Tn>成立,
所以,解得m<=675,
而m∈N*,则mmax=674,
所以存在正整数m,使得对任意正整数n均有Tn>恒成立,m的最大值为674.
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届山东聊城期中,8)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且xf(x+y)-(x+y)f(x)=2x(x+y), f(1)=1,则f(2 024)= ( )
A.2 023×2 024 B.2 024×2 046
C.2 024×4 047 D.2 024×4 048
答案 C
2.(创新考法)(2025届湖北宜荆荆恩开学考,14)已知数列{an}有30项,a1=2,且对任意n∈{2,3,…,30},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+3.
(1)a5= ;(写出所有可能的取值)
(2)数列{an}中,若ak满足:存在j∈{1,2,…,k-1},使得ak=aj,则称ak具有性质P.若{an}中恰有4项具有性质P,且这4项的和为20,则an= .
答案 (1)5,8,11,14;(2)1 047
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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