浙江省金东实验中学教育集团2023-2024八年级下学期期中考试数学试题

浙江省金东实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题
1．（2024八下·金东期中）下列交通标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·金东期中）对于二次根式，字母x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·金东期中）在中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·金东期中）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（　　）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
5．（2024八下·金东期中）若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足（　　）
A． B． 且
C． 且 D．
6．（2024八下·金东期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·金东期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　）
甲 乙 丙 丁
（环） 8 9 9 8
（环） 1 4 1 4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024八下·金东期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·金东期中）如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是(　　)
A．保持不变 B．一直减小
C．一直增大 D．先增大后减小
10．（2024八下·金东期中）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024八下·金东期中）已知一组数据1，2，4，6，8，8，中位数是　 　．
12．（2024八下·金东期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是　 　m．
13．（2024八下·金东期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝　 　．
14．（2024八下·金东期中）在平行四边形ABCD中，的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为　 　
15．（2024八下·金东期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为　 　．
16．（2024八下·金东期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为　 　时，△AB'D是直角三角形．
17．（2024八下·金东期中）计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·金东期中）解方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·金东期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．
学生 人气分 学习分 行规分 工作分
老师票数 同学票数 分数
甲 4 20 a 85 95 85
乙 b 25 70 90 92 90
（1）__________，__________；
（2）经全班同学讨论决定，将人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别为．经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．
20．（2024八下·金东期中）如图，在平面直角坐标系中，，
（1）请在图中作出点关于点的对称点，并求出的坐标．
（2）若点与原点重合，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为__________．
（3）若点在直线上运动，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段的最小值为__________．
21．（2024八下·金东期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品当商品售价为40元时，一月份销售256件二、三月该商品十分畅销销售量持续走高在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
22．（2024八下·金东期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上．
（1）求证：．
（2）若，求的长；
（3）点F为的中点，连接，交于点G，求证：．
23．（2024八下·金东期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，这样可以把部分的式子化为平方式．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当m、n均为正整数，若，则__________，__________．
（2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________．
（3）化简．
24．（2024八下·金东期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=3，CD=5，AB=4，∠B=45°，动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发沿线段DC- CB向终点B运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出BM=______（用含t的代数式表示），BC=______；
（2）如果当四边形ABMD是平行四边形时，点M与点N恰好相遇，求点N的运动速度：
（3）在（2）的条件下，求出t为何值时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D：此图形旋转180°后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项正确．
故：选D．
【分析】要弄清中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后能够与原图形完全重合，同时要分清它与轴对称的区别与联系，另无论是中心对称还是轴对称图形，都是一个图形．
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，结合已知计算即可．
4．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】多边形外角和为360°，
此多边形外角个数为：360°÷60°=6，
所以此多边形是六边形.
故答案为：A.
【分析】利用正多边形的性质求解即可。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a≠0，根据一元二次方程有两个实数根可知∴b2-4ac≥0，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C，
故答案为：D．
【分析】利用反证法的证明要求求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙的平均成绩高且方差小，
∴丙的成绩较好且稳定，
故答案为：C．
【分析】找出平均成绩高且方差小的运动员即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次售价为289（1-x）2，由题意得：
289（1-x）2=256．
故答案为：A．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次售价为289（1-x）2，由题意列出方程。
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，连接AF，
∵S△ABF=S=，
∴四边形的面积保持不变．
故选A．
【分析】连接，由于平行四边形的对边平行且一条对角线平分该平行四边形的面积，再由同底等高的两三角形面积相等知，的面积始终等于面积的一半，也始终等于面积的一半，则始终保持不变．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，
∴此结论正确；
②∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，
∴此结论错误；
③∵S ABCD=AB AC=AC CD，
∴此结论正确；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴．
∴此结论正确；
综上可得，其中成立的个数有3个.
故答案为：C．
【分析】①由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质并结合已知即可求解；
②由①的结论易得∠BAC=90°，根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断求解；
③由平行四边形的面积公式和三角形中线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并结合三角形的面积公式可判定求解．
11．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列，处在第3位和第4位的数据分别为4、6，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：5．
【分析】把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
12．【答案】32
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN是△OAB的中位线，∴AB＝2MN＝32（m），故答案为：32．
【分析】由于三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因此在日常生活中当两地间的距离不能直接测量时，可通过构造三角形并应用中位线定理来解决．
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x＝ 1代入ax2＋bx＋c＝0的左边得：a×（ 1）2＋b×（ 1）＋c＝a b＋c，
∵a b＋c＝0，
∴x＝ 1是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
故答案为： 1．
【分析】当x＝ 1时，方程ax2＋bx＋c＝0为a×（ 1）2＋b×（ 1）＋c＝a b＋c=0，据此判断方程的一个根为-1.
14．【答案】或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设的平分线交于点，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当时，则，四边形是平行四边形，，，平分，，，，则平行四边形的周长为；（2）如图，当时，则，同理可得：，则平行四边形的周长为；综上，平行四边形的周长为或，故答案为：或．
【分析】由于四边形具有不稳定性，因此可能是钝角，也可能是锐角，因此其角平分线BE截得边CD所得的两条线段DE和CE的长度并不相同，因此应利用平行四边形的性质结合角平分线的概念进行分类讨论，即当时或时分别计算即可．
15．【答案】2或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，则，即，
解得或（舍去）；
当时，则，即，
解得或（舍去）；
综上所述，方程的解为或，
故答案为：2或．
【分析】由题意得：当时，方程为；当时，方程为；分别解方程并舍去不合题意的值即可．
16．【答案】6或4
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB＜BC，∴∠ADB'≠90°．①当∠B'AD=90°时，如图1，延长B'A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B'EC=90°，
由折叠性质得，BC=B'C，AB=AB'，∠AB'C=∠B=30°，
在Rt△B'EC中，CE=B'C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB'D=90°时，如图2，设AD与B'C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B'AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB'C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B'C，
∴OD=OB'
∴∠ODB'=∠OB'D，即∠ADB'≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB'C，
∴∠CDB'=∠AB'D=90°，
∴CD∥AB'，又CD =AB'，
∴四边形AB'DC是矩形，
∴∠B'AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB'D是直角三角形．
故答案为：6或4．
【分析】若为直角三角形，则每一个内角都可能是直角，但当为直角时为斜边，此时有，与已知相矛盾，则只有两种可能，即或，分别利用折叠的性质结合解直角三角形或矩形计算问题．
17．【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可；
（2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减即可．
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项， 然后利用因式分解法求解即可；
（2）先移项， 然后利用因式分解法求解即可．
19．【答案】（1）解：由题意得，，，即
故应分别填80和2
（2）解：乙的最终得分为分，
∵，
∴甲同学当选．
答：乙的得分为分，甲同学当选
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）由人气分计算方法计算即可；
（2） 人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别是这几个数据的权值，按照加权平均数公式计算出乙同学的最终得分，再与甲同学比较即可．
（1）解：由题意得，，，
故答案为：80；2；
（2）解：乙的最终得分为分，
∵，
∴甲同学当选．
20．【答案】（1）解：如图所示即为所求作的点，；
（2）解：如图所示，点D的为或或；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）解：当为边时，如图所示，，
当为对角线时，如图所示，
设的中点为，则，
∵在上，
当直线时，的长度最小，
设，则关于的对称点为，
令，，则
即在上运动，
设直线交轴于点，过点作于点，当时，，则，
由于中，则的最小值等于的长，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）求一个点关于已知点的对称点，实质是中心对称；
（2）由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点，但因为D点不确定，因此可分别以CA、CB、CD为对角线作图，注意要分析全面，确保各种情况都考虑到；
（3）由（2）知，当或为对角线时，总为的对边，此时；当为对角线时，关于的中点成中心对称，当点与原点重合时值最小，再与的值进行比较即可.
（1）解：如图所示，；
（2）解：如图所示，的坐标为；
（3）解：当为边时，，
当为对角线时，如图所示，
设的中点为，则，
∵在上，
当直线时，的长度最小，
设，则关于的对称点为，
∵（横纵坐标之和为7），
即在上运动，
过点作直线于点，当时，，则，
则的最小值等于的长，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
21．【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设当商品降价元时，商品获利450元，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：一月份销售量×（1+增长率）2=三月底的销售量，再设未知数，列方程，然后求出方程的解.
（2）利用每一件的利润×销售量=4250，设未知数，列方程，然后求出符合题的方程的解.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
由（1）得
∴，即AE的长为
（3）证明：如图，取的中点，连接，则，
∵点、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
23．【答案】（1）1；1
（2）；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）解：∵∴
故答案为：1；1.
（2）解：，
，，
故答案为：；；
【分析】（1）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，共有3项，因此只需把表示成的形式，再对号入座即可；
（2）反过来，先把展开，再对号入座即可；
（3）先把分母中二次根式的被开方数表示成的形式，再求出它的算术平方根，此时由于分母中还存在二次根式，需要借助平方差公式进行分母有理化.
（1）解：∵
∴
（2），
，，
古答案为：，；
（3）
．
.
24．【答案】（1）t；10
（2）解：∵当四边形是平行四边形时，，，，
时，点与点相遇，
此时点运动的距离为：，
点的运动速度为：，
答：点N的运动速度为每秒4个单位长度
（3）解：根据题意，点与点在边时，以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
分两种情况：
①点在点左边时，如图，
以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得；
②点在点右边时，如图，
以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得：，
答：的值或时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
浙江省金东实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题
1．（2024八下·金东期中）下列交通标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C：此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D：此图形旋转180°后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项正确．
故：选D．
【分析】要弄清中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后能够与原图形完全重合，同时要分清它与轴对称的区别与联系，另无论是中心对称还是轴对称图形，都是一个图形．
2．（2024八下·金东期中）对于二次根式，字母x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可．
3．（2024八下·金东期中）在中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，结合已知计算即可．
4．（2024八下·金东期中）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（　　）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】多边形外角和为360°，
此多边形外角个数为：360°÷60°=6，
所以此多边形是六边形.
故答案为：A.
【分析】利用正多边形的性质求解即可。
5．（2024八下·金东期中）若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足（　　）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a≠0，根据一元二次方程有两个实数根可知∴b2-4ac≥0，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围.
6．（2024八下·金东期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C，
故答案为：D．
【分析】利用反证法的证明要求求解即可。
7．（2024八下·金东期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　）
甲 乙 丙 丁
（环） 8 9 9 8
（环） 1 4 1 4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙的平均成绩高且方差小，
∴丙的成绩较好且稳定，
故答案为：C．
【分析】找出平均成绩高且方差小的运动员即可．
8．（2024八下·金东期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次售价为289（1-x）2，由题意得：
289（1-x）2=256．
故答案为：A．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次售价为289（1-x）2，由题意列出方程。
9．（2024八下·金东期中）如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是(　　)
A．保持不变 B．一直减小
C．一直增大 D．先增大后减小
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，连接AF，
∵S△ABF=S=，
∴四边形的面积保持不变．
故选A．
【分析】连接，由于平行四边形的对边平行且一条对角线平分该平行四边形的面积，再由同底等高的两三角形面积相等知，的面积始终等于面积的一半，也始终等于面积的一半，则始终保持不变．
10．（2024八下·金东期中）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，
∴此结论正确；
②∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，
∴此结论错误；
③∵S ABCD=AB AC=AC CD，
∴此结论正确；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴．
∴此结论正确；
综上可得，其中成立的个数有3个.
故答案为：C．
【分析】①由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质并结合已知即可求解；
②由①的结论易得∠BAC=90°，根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断求解；
③由平行四边形的面积公式和三角形中线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并结合三角形的面积公式可判定求解．
11．（2024八下·金东期中）已知一组数据1，2，4，6，8，8，中位数是　 　．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列，处在第3位和第4位的数据分别为4、6，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：5．
【分析】把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
12．（2024八下·金东期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是　 　m．
【答案】32
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN是△OAB的中位线，∴AB＝2MN＝32（m），故答案为：32．
【分析】由于三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因此在日常生活中当两地间的距离不能直接测量时，可通过构造三角形并应用中位线定理来解决．
13．（2024八下·金东期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝　 　．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x＝ 1代入ax2＋bx＋c＝0的左边得：a×（ 1）2＋b×（ 1）＋c＝a b＋c，
∵a b＋c＝0，
∴x＝ 1是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
故答案为： 1．
【分析】当x＝ 1时，方程ax2＋bx＋c＝0为a×（ 1）2＋b×（ 1）＋c＝a b＋c=0，据此判断方程的一个根为-1.
14．（2024八下·金东期中）在平行四边形ABCD中，的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为　 　
【答案】或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设的平分线交于点，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当时，则，四边形是平行四边形，，，平分，，，，则平行四边形的周长为；（2）如图，当时，则，同理可得：，则平行四边形的周长为；综上，平行四边形的周长为或，故答案为：或．
【分析】由于四边形具有不稳定性，因此可能是钝角，也可能是锐角，因此其角平分线BE截得边CD所得的两条线段DE和CE的长度并不相同，因此应利用平行四边形的性质结合角平分线的概念进行分类讨论，即当时或时分别计算即可．
15．（2024八下·金东期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为　 　．
【答案】2或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当时，则，即，
解得或（舍去）；
当时，则，即，
解得或（舍去）；
综上所述，方程的解为或，
故答案为：2或．
【分析】由题意得：当时，方程为；当时，方程为；分别解方程并舍去不合题意的值即可．
16．（2024八下·金东期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为　 　时，△AB'D是直角三角形．
【答案】6或4
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB＜BC，∴∠ADB'≠90°．①当∠B'AD=90°时，如图1，延长B'A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B'EC=90°，
由折叠性质得，BC=B'C，AB=AB'，∠AB'C=∠B=30°，
在Rt△B'EC中，CE=B'C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB'D=90°时，如图2，设AD与B'C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B'AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB'C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B'C，
∴OD=OB'
∴∠ODB'=∠OB'D，即∠ADB'≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB'C，
∴∠CDB'=∠AB'D=90°，
∴CD∥AB'，又CD =AB'，
∴四边形AB'DC是矩形，
∴∠B'AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB'D是直角三角形．
故答案为：6或4．
【分析】若为直角三角形，则每一个内角都可能是直角，但当为直角时为斜边，此时有，与已知相矛盾，则只有两种可能，即或，分别利用折叠的性质结合解直角三角形或矩形计算问题．
17．（2024八下·金东期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可；
（2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减即可．
18．（2024八下·金东期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项， 然后利用因式分解法求解即可；
（2）先移项， 然后利用因式分解法求解即可．
19．（2024八下·金东期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．
学生 人气分 学习分 行规分 工作分
老师票数 同学票数 分数
甲 4 20 a 85 95 85
乙 b 25 70 90 92 90
（1）__________，__________；
（2）经全班同学讨论决定，将人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别为．经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．
【答案】（1）解：由题意得，，，即
故应分别填80和2
（2）解：乙的最终得分为分，
∵，
∴甲同学当选．
答：乙的得分为分，甲同学当选
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）由人气分计算方法计算即可；
（2） 人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别是这几个数据的权值，按照加权平均数公式计算出乙同学的最终得分，再与甲同学比较即可．
（1）解：由题意得，，，
故答案为：80；2；
（2）解：乙的最终得分为分，
∵，
∴甲同学当选．
20．（2024八下·金东期中）如图，在平面直角坐标系中，，
（1）请在图中作出点关于点的对称点，并求出的坐标．
（2）若点与原点重合，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为__________．
（3）若点在直线上运动，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段的最小值为__________．
【答案】（1）解：如图所示即为所求作的点，；
（2）解：如图所示，点D的为或或；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）解：当为边时，如图所示，，
当为对角线时，如图所示，
设的中点为，则，
∵在上，
当直线时，的长度最小，
设，则关于的对称点为，
令，，则
即在上运动，
设直线交轴于点，过点作于点，当时，，则，
由于中，则的最小值等于的长，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）求一个点关于已知点的对称点，实质是中心对称；
（2）由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点，但因为D点不确定，因此可分别以CA、CB、CD为对角线作图，注意要分析全面，确保各种情况都考虑到；
（3）由（2）知，当或为对角线时，总为的对边，此时；当为对角线时，关于的中点成中心对称，当点与原点重合时值最小，再与的值进行比较即可.
（1）解：如图所示，；
（2）解：如图所示，的坐标为；
（3）解：当为边时，，
当为对角线时，如图所示，
设的中点为，则，
∵在上，
当直线时，的长度最小，
设，则关于的对称点为，
∵（横纵坐标之和为7），
即在上运动，
过点作直线于点，当时，，则，
则的最小值等于的长，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
21．（2024八下·金东期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品当商品售价为40元时，一月份销售256件二、三月该商品十分畅销销售量持续走高在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）解：设当商品降价元时，商品获利450元，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：一月份销售量×（1+增长率）2=三月底的销售量，再设未知数，列方程，然后求出方程的解.
（2）利用每一件的利润×销售量=4250，设未知数，列方程，然后求出符合题的方程的解.
22．（2024八下·金东期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上．
（1）求证：．
（2）若，求的长；
（3）点F为的中点，连接，交于点G，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
由（1）得
∴，即AE的长为
（3）证明：如图，取的中点，连接，则，
∵点、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
23．（2024八下·金东期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，这样可以把部分的式子化为平方式．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当m、n均为正整数，若，则__________，__________．
（2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________．
（3）化简．
【答案】（1）1；1
（2）；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）解：∵∴
故答案为：1；1.
（2）解：，
，，
故答案为：；；
【分析】（1）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，共有3项，因此只需把表示成的形式，再对号入座即可；
（2）反过来，先把展开，再对号入座即可；
（3）先把分母中二次根式的被开方数表示成的形式，再求出它的算术平方根，此时由于分母中还存在二次根式，需要借助平方差公式进行分母有理化.
（1）解：∵
∴
（2），
，，
古答案为：，；
（3）
．
.
24．（2024八下·金东期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=3，CD=5，AB=4，∠B=45°，动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发沿线段DC- CB向终点B运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出BM=______（用含t的代数式表示），BC=______；
（2）如果当四边形ABMD是平行四边形时，点M与点N恰好相遇，求点N的运动速度：
（3）在（2）的条件下，求出t为何值时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）t；10
（2）解：∵当四边形是平行四边形时，，，，
时，点与点相遇，
此时点运动的距离为：，
点的运动速度为：，
答：点N的运动速度为每秒4个单位长度
（3）解：根据题意，点与点在边时，以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
分两种情况：
①点在点左边时，如图，
以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得；
②点在点右边时，如图，
以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得：，
答：的值或时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题