2024-2025上海市晋元高级中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市晋元高级中学高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数在处的导数为，那么( )
A. B. C. D.
2.已知直线，动直线，则下列结论正确的为( )
A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都不垂直
C. 存在，使得与重合 D. 对任意的，与都有公共点
3.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，为的中点，为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.在等比数列中，若，则 ．
6.函数在处的导数是 ．
7.已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 ．
8.直线被圆截得的弦长为 ．
9.已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件填：“充分非必要”“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个
10.设是数列的前项和，且，则的通项公式为 ．
11.已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 ．
12.记等差数列的前项和分别为若，则 ．
13.已知集合为不超过的正整数，若，，则的最大值与最小值之和为 ．
14.已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为若，则的面积为 ．
15.正方体的棱长为，点在棱上，且，点是正方体下底面内含边界的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点到点的最小值是 ．
16.设双曲线的右焦点为，点是其右上方一段上的点，线段的长度为若数列成等差数列且公差则最大取值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
设，求．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知南方某发达城市年新建住房面积为万，其中安置房面积为万计划以后每年新建住房面积比上一年增长，且安置房面积比上一年增加万记年为第年．
该市几年内所建安置房面积之和首次不低于万？
是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由．
20.本小题分
已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
求双曲线的方程；
若直线过点且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为，求直线的方程；
过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
21.本小题分
已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为．
求抛物线的方程；
过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于异于点两点，求证：直线恒过定点；
若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.充要
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，所以．
由可得，
所以．

18.解：由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面．
如图，
建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，，
直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：设年内所建安置房面积之和首次不低于万，
依题意，每年新建安置房面积是以为首项，为公差的等差数列，
从而年内所建安置房面积之和为 ，
则，
整理得，，
解得．
答：年内所建安置房面积之和首次不低于万
依题意，每年新建住房面积是以为首项，为公比的等比数列，
设第年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为，
则，
由得，，解得．
即第年和第年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变

20.解：由双曲线的方程可得，
在直角三角形中，，，
可得，且，
解得，又，
所以，
则双曲线的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
联立，可得，
，解得
设，的横坐标分别为，，则
由、中点的横坐标为，可得，
解得或舍去，
所以直线的方程为；
证明：设，则，
由，解得，
由，解得，
所以


，
即．

21.解：当时，，，所以，
由题意可知，，
所以，所以抛物线的方程为
根据题意，设直线方程为，联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则．
即
化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点．
如图，

设，
因为为的重心，
所以；
因为，
且；
所以；
设，与联立得：，所以，
所以，则；
所以；
所以的取值范围为．

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