2025年九年级数学中考三轮冲刺练习一次函数中全等三角形和相似三角形存在性问题（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习一次函数中全等三角形和相似三角形存在性问题
1．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
2．如图，直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，OM⊥AB，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
（1）求直线y＝kx+3的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时△BOP的面积是6；
（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标．
5．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0）．B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；
（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．
7．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC交x轴于点C（1，0）．
（1）先判断△ABC的形状，再说明理由；
（2）线段AC上取一点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）若在x轴上有一点M，在直线BC上有一点N，满足△MNC≌△AOB，求点M的坐标．
8．如图，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线AB经过点A（﹣2，0）和点B（0，6），直线AB，CD相交于点M．
（1）求点M的坐标；
（2）点N在直线CD上，使得S△BMN＝2S△AMC，求N点的坐标；
（3）在直线CD上是否存在点P，使得B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；
（2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标；
（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数经过点A（2，0）、点B（﹣1，3），点D（1，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似（相似比不为1），求点C的坐标．
11．已知：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣3x+m经过点B（1，﹣1），并且与y轴交于点C，点A在x轴正半轴上，且OC＝OA．
（1）求直线BC的解析式以及点A的坐标；
（2）联结AB、AC，求∠ABC的余弦值；
（3）设直线BC交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点P，使得△APC与△ABE相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
12．如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（0，3）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24＝0的两个根，D是AB上的一动点（不与A、B重合）．
（1）填空：AB＝　 　，OA＝　 　．
（2）若动点D满足△BOC与△AOD相似，求直线OD的解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，OB＝1，tan∠OBA＝3，点C是射线AO上的一个动点（点C不与点O，A重合）．把线段CO绕点C顺时针旋转90°，得到的对应线段为CO1，点D是CO1的中点，连接AD，设点C坐标为（n，0），△ACD的面积为S．
（1）求点A坐标；
（2）求当点C为OA中点时S的值；
（3）请求出S与n的函数表达式；
（4）当以A、C、D为顶点的三角形与△AOB相似时，请直接写出满足条件的n的值．
15．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x上一点M（﹣2，2），A为y轴正半轴上一点，连接AM；过点M作EM⊥AM，在EM上截取线段NM，使NM＝AM，过点N作直线BC⊥x轴，垂足为B；交直线y＝﹣x于点C，连接AN，交直线y＝﹣x于点D．
（1）求证：OA＝OB；
（2）当点A坐标为（0，5）时，求点D的坐标；
（3）当△OMA≌△CNM时，直接写出点A的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则
，解得，
∴直线CD的函数表达式为yx+1；
（2）yx+1，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝2＝4＝6，
∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积6×（4﹣2）＝6；
（3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
2．【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+3与y轴交于点B
∴B（0，3），OB＝3
∵，
∴OA＝4，即A（4，0）
∵点A在直线l上，
∴4k+3＝0 解得：k
∴直线l的解析式为yx+3
（2）过P作PC⊥y轴于C，如图1，
∴S△BOPOB PC＝6
∴PC＝4
∴点P的横坐标为4或﹣4
∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合
∴横坐标不为4，纵坐标为：（﹣4）+3＝6
∴点P坐标为（﹣4，6）时，△BOP的面积是6；
（3）存在满足条件的P、Q
∵OM⊥AB，AB
∴∠OMP＝90° OM
∴以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等时，斜边OP为对应边，∠OQP＝90°，
①△OMP≌△PQO
∴PQ＝OM，即P点横坐标为或，如图2和图3，
（）+3，3
∴点P（，）或（，
②△OMP≌△OQP
∴OQ＝OM，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5，
x+3 解得：x
x+3 解得：x
∴点P（，）或（，）
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，），（，），（，），（，）
3．【解答】解：（1）x2﹣18x+72＝0即（x﹣12）（x﹣6）＝0，
则x﹣12＝0，x﹣6＝0，
解得：x＝12或x＝6，
又∵OA＞OC，
∴OA＝12，OC＝6，
∴A的坐标是（12，0），C的坐标是（﹣6，0）．
（2）∵，
∴OBOA＝16，
则B的坐标是（0，16）．AB20．
作EF⊥x轴于点F．
则△AEF∽△ABO，
∴，
∴，
∴AF＝9，EF＝12，
则OF＝12﹣9＝3，
则E的坐标是（3，12）．
设直线CD的解析式是y＝kx+b，则，
解得：，
则直线CD的解析式是yx+8；
（3）设P的坐标是（p，0），则PC＝p+6．
当△COD∽△CEP时，，即，
解得：P＝19，
则P的坐标是（19，0）；
当△COD∽△CPE时，，则，
解得：p＝3，
则P的坐标是（3，0）．
总之，P的坐标是（19，0）和（3，0）．
4．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由题意，得，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+6；
（2）在Rt△AOB中，AO＝6，BO＝8，根据勾股定理得，AB＝10，
由运动知，AP＝t，AQ＝10﹣2t，
∵∠A＝∠A
∴①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
∴，
∴t（秒），
此时P（0，）；
②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
∴，
∴t（秒）；
此时P（0，）；
∴当t为秒，P（0，）或秒时，P（0，），△APQ与△AOB相似；
5．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，如图1：
依题意，，
∴，
∴y＝﹣2x+8；
（2）①设动点P （x，﹣2x+8），则PE＝x，PF＝﹣2x+8，
∴S OEPF＝PE PF＝x（﹣2x+8）＝6，
∴x1＝1，x2＝3；
经检验x1＝1，x2＝3都符合题意，
∴点P（1，6）或（3，2）；
②存在，分两种情况
第一种：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而点C的坐标为（2，0），
∴点P（2，4 ）；
第二种CP⊥AB，
∵∠APC＝∠AOB＝90°，∠PAC＝∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴，
∴，
∴AP，
如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴，
∴，
∴PH，AH
∴OH＝OA﹣AH，
∴点P（，）．
∴点P的坐标为（2，4）或点P（，）．
6．【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，
∴令y＝0，则3x﹣6＝0，
∴x＝2，
∴D（2，0）；
（2）如图1，
∵直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，
∴令y＝0．
∴x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
由（1）知，D（2，0），
∴AD＝4，
联立直线l1，l2的解析式得，，
解得，，
∴C（4，6），
∴S△ACDAD |yC|4×6＝12，
∵S△ACE＝S△ACD，
∴S△ACE＝12，
直线l1与y轴的交点记作点B，
∴B（0，2），
设点E（0，m），
∴BE＝|m﹣2|，
∴S△ACEBE |xC﹣xA||m﹣2|×|4+2|＝3|m﹣2|＝12，
∴m＝﹣2或m＝6，
∴点E（0，﹣2）或（0，6）；
（3）如图2，
①当点F在直线l1上方时，
∵以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，
∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时，连接DF'，BD，
由（2）知，B（0，2），
由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），
∴OB＝OA＝OD，
∴∠ABO＝∠DBO＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴DB⊥l1，
∵△APF'≌△APD，
∴PF'＝PD，AF'＝AD，
∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，
∴点D，F'关于直线l1对称，
∴DF'⊥l1，
∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，
∴F'（﹣2，4），
Ⅱ、当△PAF≌△APD时，
∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD，
∴PF∥AD，
∵点D（2，0），A（﹣2，0），
∴点D向左平移4个单位，
∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，3），
∴F（﹣3，3），
②当点F在直线l1下方时，
∵△PAF''≌△APD，
由①Ⅱ知，△PAF≌△APD，
∴△PAF≌△PAF''，
∴AF＝AF''，PF＝PF''，
∴点F与点F'关于直线l1对称，
∴FF''⊥l1，
∵DF'⊥l1，
∴FF''∥DF'，
而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），
∴F''（1，﹣1），
当点F与点P重合时，符合题意，即F（2，0），
即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）或（2，0）．
7．【解答】解：（1）△ABC的形状为直角三角形，理由：
对于，当x＝0时，y＝2，令y＝0，则x＝﹣4，
即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，2），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25，
则AC2＝AB2+BC2，
即△ABC的形状为直角三角形；
（2）△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
当BC＝BD时，则点C、D关于y轴对称，即点D（﹣1，0）；
当BC＝CD时，则CD，则点D（1，0），
即D（﹣1，0）或（1，0）；
（3）如下图，当点M在点C的右侧时，
∵△MNC≌△AOB，则CM＝AB＝2，
则点M（1+2，0），
当点M在点C的左侧时，
同理可得，点M（1﹣2，0），
综上，M（1+2，0）或（1﹣2，0）．
8．【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），B（0，6）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝3x+6，
联立，
解得，
∴M（﹣1，3）；
（2）如图：
在y＝﹣x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝2，
∴C（0，2），D（2，0），
∴AD＝2﹣（﹣2）＝4，BC＝6﹣2＝4，
∴S△AMC＝S△AMD﹣S△ACD4×34×2＝2，S△BCM4×|﹣1|＝2，
∴S△BMN＝2S△AMC＝4，
当N在AB左侧时，S△BCN＝S△BCM+S△BMN＝2+4＝6，
∴4 （﹣xN）＝6，
解得xN＝﹣3，
在y＝﹣x+2中，令x＝﹣3得y＝5，
∴N（﹣3，5）；
当N'在AB右侧时，S△BCN'＝S△BMN'﹣S△BCM＝4﹣2＝2，
∴4 xN'＝2，
解得xN'＝1，
在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝1，
∴N'（1，1）；
综上所述，N的坐标为（﹣3，5）或（1，1）；
（3）直线CD上存在点P，使得B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，理由如下：
∵A（﹣2，0），B（0，6），M（﹣1，3），
∴AM，BM，
∴AM＝BM，
∵B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，∠AMC＝∠BMP，
∴MP＝MC，
设P（x，﹣x+2），
∴（x+1）2+（﹣x+2﹣3）2＝2，
解得x＝0（舍去）或x＝﹣2，
∴P（﹣2，4）．
9．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3．
当x＝0时，y＝x+b＝b＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3．
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝1．
∵点C在x轴正半轴，
∴点C的坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将B（0，3）、C（1，0）代入y＝kx+c，得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣3x+3．
（2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑（如图1）：
①当△BAD≌△ABC时，∵OA＝OB＝3，
∴∠BAC＝45°．
∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝4，
∴BD∥AC，
∴点D的坐标为（﹣4，3）；
②当△ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝4，
∴∠DAC＝90°，
∴点D的坐标为（﹣3，4）．
综上所述，点D的坐标为（﹣4，3）或（﹣3，4）．
（3）依照题意画出图形，如图2所示．
∵PB＝PC，
∴设OP＝x，则PB＝PC＝3﹣x．
在Rt△POC中，∠POC＝90°，
∴OP2+OC2＝PC2，即x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x，
∴点P的坐标为（0，）．
10．【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
将A（2，0）、B（﹣1，3）代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）连接AD、BD，
，，，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△ABD为直角三角形，
∴；
（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，
把点B（﹣1，3），点D（1，﹣1）代入得，
，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+1，
令y＝0，，
∴，
当△ABC∽△ABP时，∠ABC＝∠APB，
如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ＝3，OQ＝1，
∵△ABC∽△ABP，
∴∠ABD＝∠BCQ，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴CQ＝9，
∴OC＝CQ+OQ＝10，
∴点C坐标为（﹣10，0）；
∵相似比不为1，
∴点C和点P不能重合，
故点C的坐标为（﹣10，0）．
11．【解答】解：（1）将点B（1，﹣1）代入y＝﹣3x+m可得，﹣1＝﹣3+m，
解得m＝2，即y＝﹣3x+2，
则C（0，2），从而OC＝OA＝2，
则点A（2，0）．
（2）如图：，，，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
（3）由题意可得：∠CAP＝∠BAE＝45°，，
则，，
当P在A点的右侧时，∠CAP＝135°，此时与△APC和△AEB不可能相似；
则点P在A点的左侧，
设P（t，0），则AP＝2﹣t，
当△APC∽△AEB时，，即，解得，
即．
当△APC∽△ABE时，，即，解得t＝﹣1，
即P（﹣1，0）．
综上点P的坐标为（﹣1，0）或．
12．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+6与直线l2交于点C（1，m），
∴m＝﹣2×1+6＝4，
∴C（1，4），
又∵l2过点B（0，3），
故设直线l2的函数表达式为y＝hx+3，
将C（1，4）代入，得h+3＝4，
解得h＝1，
∴直线l2的函数表达式为y＝x+3；
（2）∵直线 l1：y＝﹣2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点D．
∴A（3，0），D（0，6），
∵MN⊥y轴于点N，
∴MN⊥ON，
∴以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，分两种情况：
①如图，当△OMN≌△DAO时，MN＝AO＝3，
∵直线l2的函数表达式为y＝x+3，
当x＝3时，y＝3+3＝6，
∴点M的坐标为（3，6）；
②如图，当△MNO≌△DOA时，MN＝OD＝6，
∵直线l2的函数表达式为y＝x+3，
当x＝﹣6时，y＝﹣6+3＝﹣3，
∴点M的坐标为（﹣6，﹣3）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，6）或（﹣6，﹣3）．
13．【解答】解：（1）∵x2﹣11x+24＝0，
∴（x﹣3）（x﹣8）＝0，
∴x1＝3，x2＝8，
∵AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24＝0的两个根，
∴AO＝3，AB＝8，
故答案为：8；3；
（2）若△BOC∽△DOA，
则，
即，
所以AD；
若△BOC∽△ODA，
同理可得AD＝8（与题意不符，舍去）．
∴D（，3），
设直线OD解析式为y＝kx，
则3k，
即k，
直线OD的解析式为yx．
14．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，OB＝1，tan∠OBA＝3，
∴OA＝3OB＝3，
∴点A坐标为（3，0）．
（2）∵C为OA中点，D为CO1中点，
∴，，
∴．
（3）①当点C在线段OA上时，线段CO绕点C顺时针旋转90°，得到的对应线段为CO1，
∴O1C＝OC＝n，
∵点D是CO1的中点，
∴，
∴，
②当点C在点O左侧时，如图所示：
∴O1C＝OC＝﹣n，AC＝3﹣n，
∵点D是CO1的中点，
∴，
∴；
综上分析可知：．
（4）两三角形已经有一组直角相等，
当0＜n＜3时，
①△CAD∽△OAB，
∴，
∴，解得；
②△CAD∽△OBA，
∴，
∴，解得；
当n＜0时，
①△CAD∽△OAB，
∴，
∴，解得（舍去）；
②△CAD∽△OBA，
∴，
∴，解得n＝﹣6．
综上，或或﹣6，
综上分析可知，或或﹣6．
15．【解答】（1）证明：设AG＝m，
过点M作GH∥x轴，分别交OA于点G，交BC于点H，
∵∠NMH+∠AMG＝90°，∠AMG+∠MAG＝90°，
∴∠NMH＝∠MAG，
∵∠AGM＝∠MHN＝90°，NM＝AM，
∴△AGM≌△MHN（AAS），
∴HM＝AG＝m，HG＝2＝NH，
则OB＝HG＝HM+GM＝m+2，
而OA＝AG+OG＝m+2＝OB；
（2）解：由（1）知，点A（0，m+2），
则m＝3，
而点N（﹣m﹣2，4），即N（﹣5，4），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：yx+5，
联立上式和y＝﹣x得：﹣xx+5，
解得：x，
即点D（，）；
（3）解：由（1）知，点C（﹣m﹣2，m+2），（﹣m﹣2，4），
则CN＝m+2﹣4＝m﹣2，
∵△OMA≌△CNM，
则CN＝OM＝2，
则m＝2+2，
则点A（0，24）．
()