2025年九年级中考数学二轮专题复习二次函数与一元二次方程的综合问题（含答案）

2025年九年级中考数学二轮专题复习二次函数与一元二次方程的综合问题
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣2（b是常数）经过点（2，﹣2）．点A在抛物线上，横坐标为1﹣m，其中m＜0．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点A在x轴上时，求点A的坐标；
（3）抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P，A）的最高点和最低点的纵坐标之差为﹣2m时，求m的值．
2．如图，二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△ABO，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，交y轴于点C，点M（m，t）是第一象限内抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点N（n，t）在该抛物线上，且n＜m，MN＝2k，求m2+kn﹣3k+2024的值．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．
6．记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣m）2+n（a≠0）的图象分别为抛物线G和G1.给出如下定义：若抛物线G1的顶点Q（m，n）在抛物线G上，则称G1是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线Q：y＝﹣2（x﹣s）2+2和抛物线Q2：y＝﹣2（x﹣3）2+t都是抛物线y＝2x2的伴随抛物线，则S＝ 　 　，t＝ 　 　；
（2）设函数y＝x2﹣2kx+2k+3的图象为抛物线G2.若函数y＝﹣x2+px+q的图象为抛物线G3，且G2始终是G3的伴随抛物线，
①求P，q的值；
②若抛物线G2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线ybx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MB的值最小时，求点M的坐标．
8．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求a的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后与x轴恰好只有一个交点，求m的值．
9．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
10．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
11．如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　 　．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
13．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
14．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
15．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则
称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
16．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）根据题意，将点（2，﹣2）代入抛物线y＝x2﹣2bx﹣2中，
∴﹣2＝22﹣4b﹣2，
∴b＝1．
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣3）．
（2）根据题意得：
点A在该抛物线上，横坐标为1﹣m，
∴点A坐标为（1﹣m，m2﹣3），
∵点A在x轴上，且m＜0．
∴m2﹣3＝0．
∴m或m（不合题意，舍去）．
∴点A的坐标为（1，0）．
（3）根据题意，
令x2﹣2x﹣2＝0，
∴x＝1或x＝1．
∴P（1，0）．
∵m＜0，
∴1﹣m＞1，
∴点A在对称轴右侧，
∴A（1﹣m，m2﹣3）．
如图1，当1＜1﹣m＜1时，即m＜0时，
根据题意，0﹣（﹣3）＝﹣2m，
∴m；
如图2，当1﹣m＞1，即m，
根据题意，（m2﹣3）﹣（﹣3）＝﹣2m．
∴m1＝﹣2或m2＝0（不合题意，舍去），
综上，m或﹣2．
2．【解答】解：令x＝0，则y＝4﹣1＝3，
∴A（0，3）；
令y＝0，则（x+2）2﹣1＝0，
∴x＝﹣1或﹣3，
∴B（﹣3，0），C（﹣1，0）．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
∵平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等，
∴使S△PAB＝S△ABO成立的点P在与直线AB平行的直线上，
①当点P在直线AB的下方时，点P在与直线AB平行的直线y＝x上，
∴，此方程组无解，
∴当点P在直线AB的下方时，不存在一点P，使S△PAB＝S△ABO；
②当点P在直线AB的上方时，点P在与直线AB平行的直线y＝x+6上，
∴，
解得：或．
∴P（，）或（，）．
综上，在抛物线上存在一点P，使S△PAB＝S△ABO，若存在，符合条件的点P的坐标为P（，）或（，）．
3．【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．
4．【解答】解：（1）由条件可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点N（n，t）在该抛物线上，点M（m，t）是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴MN∥x轴，MN＝m﹣n，m、n是方程﹣x2+2x+3＝t的两个根，
∴，
∵MN＝2k，
∴m﹣n＝2k，
∴，
解得：，
∴m2+kn﹣3k+2024
＝（k+1）2+k（1﹣k）﹣3k+2024
＝k2+2k+1+k﹣k2﹣3k+2024
＝2025．
5．【解答】解：（1）根据题意得：，
解得，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
设BC的解析式是y＝mx+n，
则，解得，
则BC的解析式是y＝x+3．
x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．
则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
则S△PBC（﹣x2﹣3x）×3x2x（x）2，
∵0，故△PBC的面积有最大值是．
6．【解答】解：（1）抛物线Q：y＝﹣2（x﹣s）2+2和抛物线Q2：y＝﹣2（x﹣3）2+t都是抛物线y＝2x2的伴随抛物线，
∴点（s，2），（3，t）在y＝2x2上，
∴2s2＝2，t＝2×32，
解得：s＝±1，t＝18，
故答案为：±1，18；
（2）①y＝x2﹣2kx+2k+3＝x2﹣2kx+k2﹣k2+2k+3＝（x﹣k）2﹣k2+2k+3，
∴顶点坐标为：（k，﹣k2+2k+3），
∵函数y＝x2﹣2kx+2k+3的图象为抛物线G2，函数y＝﹣x2+px+q的图象为抛物线G3，且G2始终是G3的伴随抛物线，
∴﹣k2+2k+3＝﹣k2+pk+q，
整理得：2k+3＝pk+q，
∴p＝2，q＝3；
②∵抛物线G2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），
由①得：抛物线G2的顶点坐标（k，﹣k2+2k+3）在y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4图象上滑动，
当﹣x2+2x+3＝0时，
解得：x＝﹣1或x＝3，
抛物线与x轴交（﹣1，0）（3，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1，
当顶点在（3，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜3，
故x1＜3．
7．【解答】解：（1）当y＝0时，x+4＝0，
解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
当x＝0时，y＝x+4＝4，
∴B（0，4），
把A（﹣4，0），B（0，4）代入ybx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为yx2﹣x+4；
（2）当y＝0时，x2﹣x+4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴C（0，2），
∵点A（﹣4，0），C（2，0）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
直线AB与直线x＝﹣1相交于点M，如图，连接MC，
∵MA＝MC，
∴MB+MC＝MB+MA＝AB，
∴此时MB+MC的值最小，
当x＝﹣1时，y＝x+4＝3，
∴M点的坐标为（﹣1，3）．
8．【解答】解：（1）把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得﹣4＝a﹣2a﹣3，
解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1；
（2）该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后所得函数图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵平移后的二次函数图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3+m＝0有2个相等的实数解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3+m）＝0，
解得m＝4，
即m的值为4．
9．【解答】解：（1）由题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c得
∴
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣2．
（2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴2，即．
∴．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2+m﹣2＝4，
∴m1＝﹣3，m2＝2 （舍去）．
∴点P坐标为 （﹣3，4）．
10．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得；
（2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△PABAB |yP|3×|﹣m2﹣m+2|＝6，
∴|m2+m﹣2|＝4，
即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4，
解得m＝﹣3或m＝2，
∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）．
11．【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）令y＝0，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
∴，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
∴△PBC最大为，
∴，
故答案为：．
12．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点P作PE⊥x轴于点E，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，
∴OE＝﹣x，AE＝3+x，
∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC
AE×PE（OC+PE）×OEOA×OC
（3+x）（﹣x2﹣2x+3）（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）3×3
（x）2
∵0，
∴S有最大值，
∴当x时，S有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（，）．
13．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m．
14．【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a．
则该抛物线解析式为yx2x+2．
由于yx2x+2（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是yx+2．
设E（t，t2t+2），则G（t，t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（t2t+2）﹣（t+2）（t﹣2）2+2．
∴（t﹣2）2+2．
∵0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
15．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，
∴，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
16．【解答】（1）证明：由题意可得：
Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
＝1+25m2﹣10m+20m
＝25m2+10m+1
＝（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
（x﹣5）（mx+1）＝0，
解得：x1，x2＝5，
由|x1﹣x2|＝6，
得|5|＝6，
解得：m＝1或m；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2，
由题已知，P，Q关于x＝2对称，
∴2，即2a＝4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16．
()