2024年浙江中考数学临考安心试题

2024年浙江中考数学临考安心试题
1．（2024九下·浙江模拟）在实数0、、、中，最小的数是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在实数0、、、中，，
∴最小的数是，
故选：B．
【分析】
负数都小于0，负数比较大小时，绝对值大的反而小，由于的近似数已知，关键是与的大小比较，由于的被开方数小于16且大于9，则大于．
2．（2024九下·浙江模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知：不透明的盒子里共12个棋子，其中黑色棋子为3个，
∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率=．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知盒子里一共有12个棋子，黑色棋子3个，用概率公式求解即可．
3．（2024九下·浙江模拟）如图几何体是由6个大小相同的小正方体组成.下列与该几何体的主视图和左视图分别相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A．的主视图和左视图分别与相同，故选项正确，符合题意；
B．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意；
C．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意；
D．的左视图与相同，但主视图不同，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
主视图是光线从物体正面照射得到的投影，左视图是光线从物体左面照射得到的投影，俯视图是光线从物体上面照射得到的投影．
4．（2024九下·浙江模拟）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
5．（2024九下·浙江模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知：此方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=0，即，
整理，得：，
解得：或．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有两个相等实根，可得根的判别式Δ=0，列出关系式求解即可.
6．（2024九下·浙江模拟）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，
∵是的直径， ，
∴AC=CD=CF=4，
由旋转知：，，
∴，，
∴∠ADC=45°，
∴∠HDF=∠ADE-∠ADC=22.5°，
∴∠HCF=45°，
∴∠DCF=180°-∠HCF=135°，
∵，CF=4，
∴FH=CH=，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据题意，过点D作直径，过点F作于H，连接，推出，，进而得出∠HDF=22.5°，由圆周角定理证得∠HCF=45°，则，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可．
7．（2024九下·浙江模拟）已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x经过（a，6），
∴a＝2．
∴交点坐标为（2，6）．
∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，
∴方程组的解为 ．
故答案为：C．
【分析】将y=6代入直线方程y=3x求出a的值，即可得出结论。
8．（2024九下·浙江模拟）敏利用无人机测量某座山的垂直高度，如图所示，无人机在地面上方米的处测得山项的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为， 点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（　　）
（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，过C点作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=（x-130）米，
根据题意可知：AB：BC=1：0.75，
∴BC=RH=0.75x（米），BH=CR=130米，
在Rt△DCR中，DR=（米），
∵tan∠ADH=，
∴，
解得：x≈222.9，
∴AB=222.9米，
故答案为：B．
【分析】 如图，过点D作DH⊥AB于点H，过C点作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=（x-130）米，构建方程求解即可．
9．（2024九下·浙江模拟）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由做图可知垂直平分线段，
得，，
，
，
，
，
是的中位线，，
故选项B正确，不符合题意；
，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，，
，
，
故选项D正确，不符合题意；
只有当时，，
故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【分析】
由尺规作图的过程知，PQ垂直平分BC，则CD为直角三角形ABC斜边AB上的中线，DE为中位线，再分别对照它们的性质即可判断．
10．（2024九下·浙江模拟）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：抛物线经过（0，3），
∴，
解得：，
∴结论②错误，
∴抛物线，
∴顶点M的坐标为（-1，4）
当时，，
∴抛物线过点，
∴结论①正确，
当时，可得：，
解得：x=1或x=-3，
∴抛物线与x轴的交点为
根据图象可知，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴结论③错误，
根据图象可知，当时，，
∵，
∴当时，，
∴结论④正确，
综上所述：正确的结论是①和④，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，抛物线与y轴交于点，易得m的值，即可判断结论②是否正确；然后将代入求得的函数解析式，即可判断结论①是否正确；然后将，求出x的值，即可求得抛物线与x轴的交点得出点A的坐标，根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，即可求得的面积，进而判断结论③是否正确；再根据二次函数的性质和x的值，即可判断结论④是否正确．
11．（2024九下·浙江模拟）计算：　 　
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式先用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可．
12．（2024九下·浙江模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做　 　件.
【答案】24
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解: 设每天应多做x件，则依题意得：
解得：x=24．
经检验x=24是方程的根．
故答案为：24．
【分析】设每天应多做x件，就可得出实际每天应做的件数，再原计划所用的时间-根据实际所用的时间=5，列方程，再求出方程的解。
13．（2024九下·浙江模拟）已知5a=2b=10，那么 的值为　 　。
【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b，（2b）a=10a；
即5ab=10b，2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
∴=1
故答案为：1。
【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可。
14．（2024九下·浙江模拟）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　 　秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】 或30
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b-9=0，c-15=0
解之：b=9，c=15，
∴点B表示的数是9，点C表示的数是15；
当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
当6＜t≤9时，P，Q都在线段OB上，P表示的数为t 6，Q表示的数是9 3（t 6）=27-3t，
∴P，Q两点到点B的距离相等
∴t 6＝27-3t，解得t＝；
当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P，Q两点到点B的距离相等；
当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9＋2（t 15）=2t-21，Q表示的数是 （t 9）=-t+9，
∴P，Q两点到点B的距离相等
∴2t-21-9＝9 （-t+9），
解之：t＝30，
∴P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒.
故答案为：或30
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出b，c的值，可得到点B，C表示的数；再根据点P，Q的运动方向和速度，分情况讨论：当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；当6＜t≤9时，P，Q都在线段OB上，可得到点P和点Q表示的数，根据P、Q两点到点B的距离相等，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，可得到点P和点Q表示的数，根据P、Q两点到点B的距离相等，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
15．（2024九下·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为 　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=AC=，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
连接AD，则AD=BC=1，
则S扇形AEF=．
故答案为：．
【分析】
求扇形面积可先示扇形的中心角，可借助已知条件结合勾股定理的逆定理判定三角形ABC是等腰直角三角形，从而得出中心角是45度，再利用等腰三角形三线合一的性质作底边上的高，从而计算出扇形的半径即可．
16．（2024九下·浙江模拟）在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
【答案】①②④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【解答】解： 将绕点顺时针旋转 ，当时，的值一直变大，所以结论①正确；
将绕点顺时针旋转 ，当时，的值逐步变小；当时，；当时，的值逐步变大，所以的值先变小再变大，所以结论②正确；
将绕点顺时针旋转 ，当时，连接，如图，
由题意得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，BF-EF=DF-EF，
∴的值保持不变，BF-EF的值不确定，所以结论③错误；
当时，连接，如图，
由题意得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的值保持不变，所以结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据旋转的性质可知，当时，的值由会逐渐变大，可知①正确；而当时，可知的值先变小再变大，可知②正确；当时，易证，有，可知，可知③错误， 当时 ，易证，有，可得，可知④正确.
17．（2024九下·浙江模拟）计算：．
【答案】解：

【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和多项式乘法法则（ 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 ）展开，再合并同类项即可．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在中，M，N是对角线的三等分点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，N是对角线的三等分点，
，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠MBC=∠NDA，
在△MBC和△NDA中，
，
∴△MBC≌△NDA，
∴CM=AN，
同理可得：△MBA≌△NDC，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，N是对角线的三等分点，，
∴，，
，
∴△ADN和△ABM是直角三角形，
∵，
，
，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，进而求得∠MBC=∠NDA，再根据M，N是对角线的三等分点得到BM=DN，可以证明△MBC≌△NDA，△MBA≌△NDC，进而利用平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用M，N是对角线的三等分点得出、BM，根据，得出△ADN和△ABM是直角三角形，再根据勾股定理进而得出，同理可以得出.．
（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，N是对角线的三等分点，
，
∴
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，M，N是对角线的三等分点，
，，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
．
19．（2024九下·浙江模拟）德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：；
B组：；
C组：；
D组：；
E组：．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）；
补全条形统计图如下：
（2）；
（3）解：（人），
答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了学生：（名），
E组人数为：（名），
故A组人数为：（名），
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为
【分析】
（1）观察两个统计图可知，只有B组的人数与占比都已知，直接计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；
（2）根据C组人数的占比乘以计算求解即可；
（3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答．
20．（2024九下·浙江模拟）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
频率f（） 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
（1）该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
（2）当时，求此电磁波的波长．
【答案】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值，∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，
设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）观察表格中的各组数据发现，电磁波的波长与频率的乘积总相等，即满足反比例函数关系，可利用待定系数法求解即可；
（2）直接利用反比例函数的解析式求解即可．
21．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，且，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵ （已知），
（对顶角相等），
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据角的和差证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）先根据根据两个角相等的两个三角形相似证明，得出，再根据，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（2024九下·浙江模拟）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，，代入中得：
解得，
所以解析式为：；
（2）解：①点的横坐标是，
的纵坐标是
由，求得直线解析式为
的纵坐标是，
所以当时，
②存在，理由如下：
点在直线上，
点的横坐标是
，当时，最大
点坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线上三个点的坐标，可利用待定系数法求解；
（2）
①先利用待定系数法求出直线的解析式，由于DF垂直x轴交直线BC于点H，则D、H、F三点的横坐标相同，由于点D在抛物线上，此时可设出点D的坐标，则可表示出点H的坐标，则DH的长度是关于点D横坐标的二次函数，利用二次函数图象上点的坐标特征代入计算即可；
②利用点D的坐标可得出DG的长，则DG+DH的长依然是关于点D横坐标的二次函数，再利用二次函数的增减性即可求解．
23．（2024九下·浙江模拟）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）用t表示线段的长度；
（2）连接，求的值；
（3）当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；
（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：根据题意可知，点P的位置可以分为两种情况：
①点P在AE上，此时AP=AE-PE=4-3t（0≤t≤），
②点P在AD上，此时AP=3t-AE=3t-4（＜t≤3）.
（2）解：过点C作延长线于点M，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，
，
∴=，
∵，
在Rt△CBM中，tan∠CBM=，
BM2+CM2=BC2，
设BM=3x，CM=4x，
则
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴BM=3，CM=4，
∵，
在Rt△CAM中，tan∠CAB=.
（3）解：解：根据旋转的性质可知：，，
当点P在AE上，点F落在上，此时AP=4-3t（0≤t≤），如图2，
由（2）可知，，
∴在Rt△AEF中，tan∠CAB=，
即=
解得：；
点F落在上时，过点D作于点H，如图3，
根据题意可知：，，
∴，，
∵，
，
∴DH=BH，
为等腰直角三角形，
，
∵∠PEF=90°，
即∠BEF=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
，
∵BE=AB-AE=7-4=3，
，
解得：，
当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，
根据题意可知：，，
∴在Rt△APM中，sin∠DAB=，cos∠DAB=，
∴，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
∵，
，
，
在△PME和△ENF中，
，
，
=，=，
∴AN=AE+EN=4+=，
∵在中，，
，
解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
根据平行线分线段成比例定理得：，
由（2）可知：，，
，
∴，，
设AP=a，则EN=，ME=4-，
∴FK=FN-KN==，
∵OX∥FK，
∴，
∴OX=，
∴MN=，SN=，
∴SE=SN-EN=-=，
∴OS=OX+XS=+=，
又∵，
∴=4（）
解得：，
∵AP=3t-4，
，
；
②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
∵AP=3t-4，
，
．
综上所述：或．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形的综合；四边形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据点P在不同线段上的运动情况来确定表达式；
（2）过点C作延长线于点M，根据平行四边形性质推出=，设，，利用勾股定理建立等式求出，即可得出，，在中，即可求出的值；
（3）当点F在平行四边形对角线上时，需分不同时间段和对角线情况讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，利用旋转的性质、锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；
（4）当DE分线段PF为1：2时，分类两种情况讨论：当及，通过构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质列方程求解即可解决问题．
（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，；
②当点E在线段上时，当时，．
（2）解：如图1，过点C作延长线于点G，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在，由，
，
设，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
中，．
（3）解：由旋转知，，
当时，点F落在上，如图2，
由得，，
解得：；
点F落在上时，如图3，过点D作于点H，
同（1）可求，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，
由，得：，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，，
，
，
设，则，，，
，
，
，
而，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
，
．
综上所述：或．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
为的直径
∴90°，
是的切线.
（2）解：①连接，如图所示，
是的中点
为的直径
∴∠ACB=∠DFO，
，
，
设的半径为，则，，
，，
，
，解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
②过点作交于点，如图所示，
∵是的角平分线，，
，
∴∠CBG=∠BCP，
∴BG=CG，
由（2）①得：，BC=8，
在Rt△BCG中，BC==，即=8，
∴BG=，
∴tan∠BPC=，
∴PG=，
∴CP=CG+PG=.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据，可知，再根据圆周角定理得出∴90°，从而得到，即可证明；
（2）①连接，证明，进而得出，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得=8，得到，即可得到；
②过点作交于点，推出∴BG=CG，解直角三角形得到，易得tan∠BPC=，解得，由即可求解．
（1）证明：如图，连接，
为的直径
是的切线
（2）解：①如图，连接，
是的中点
为的直径
设的半径为，则，
，
，解得
经检验，是方程的解
②如图，过点作交于点，
，是的角平分线
．
2024年浙江中考数学临考安心试题
1．（2024九下·浙江模拟）在实数0、、、中，最小的数是（　　）
A．0 B． C． D．
2．（2024九下·浙江模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·浙江模拟）如图几何体是由6个大小相同的小正方体组成.下列与该几何体的主视图和左视图分别相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·浙江模拟）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·浙江模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．（2024九下·浙江模拟）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·浙江模拟）已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2024九下·浙江模拟）敏利用无人机测量某座山的垂直高度，如图所示，无人机在地面上方米的处测得山项的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为， 点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（　　）
（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2024九下·浙江模拟）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·浙江模拟）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
11．（2024九下·浙江模拟）计算：　 　
12．（2024九下·浙江模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做　 　件.
13．（2024九下·浙江模拟）已知5a=2b=10，那么 的值为　 　。
14．（2024九下·浙江模拟）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　 　秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为 　 　．（结果保留π）
16．（2024九下·浙江模拟）在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
17．（2024九下·浙江模拟）计算：．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在中，M，N是对角线的三等分点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
19．（2024九下·浙江模拟）德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：；
B组：；
C组：；
D组：；
E组：．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
20．（2024九下·浙江模拟）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
频率f（） 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
（1）该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
（2）当时，求此电磁波的波长．
21．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
22．（2024九下·浙江模拟）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2024九下·浙江模拟）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）用t表示线段的长度；
（2）连接，求的值；
（3）当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；
（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是上的一点，连接、，，．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在实数0、、、中，，
∴最小的数是，
故选：B．
【分析】
负数都小于0，负数比较大小时，绝对值大的反而小，由于的近似数已知，关键是与的大小比较，由于的被开方数小于16且大于9，则大于．
2．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知：不透明的盒子里共12个棋子，其中黑色棋子为3个，
∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率=．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知盒子里一共有12个棋子，黑色棋子3个，用概率公式求解即可．
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A．的主视图和左视图分别与相同，故选项正确，符合题意；
B．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意；
C．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意；
D．的左视图与相同，但主视图不同，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
主视图是光线从物体正面照射得到的投影，左视图是光线从物体左面照射得到的投影，俯视图是光线从物体上面照射得到的投影．
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知：此方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=0，即，
整理，得：，
解得：或．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有两个相等实根，可得根的判别式Δ=0，列出关系式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，
∵是的直径， ，
∴AC=CD=CF=4，
由旋转知：，，
∴，，
∴∠ADC=45°，
∴∠HDF=∠ADE-∠ADC=22.5°，
∴∠HCF=45°，
∴∠DCF=180°-∠HCF=135°，
∵，CF=4，
∴FH=CH=，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据题意，过点D作直径，过点F作于H，连接，推出，，进而得出∠HDF=22.5°，由圆周角定理证得∠HCF=45°，则，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可．
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x经过（a，6），
∴a＝2．
∴交点坐标为（2，6）．
∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，
∴方程组的解为 ．
故答案为：C．
【分析】将y=6代入直线方程y=3x求出a的值，即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，过C点作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=（x-130）米，
根据题意可知：AB：BC=1：0.75，
∴BC=RH=0.75x（米），BH=CR=130米，
在Rt△DCR中，DR=（米），
∵tan∠ADH=，
∴，
解得：x≈222.9，
∴AB=222.9米，
故答案为：B．
【分析】 如图，过点D作DH⊥AB于点H，过C点作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=（x-130）米，构建方程求解即可．
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由做图可知垂直平分线段，
得，，
，
，
，
，
是的中位线，，
故选项B正确，不符合题意；
，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，，
，
，
故选项D正确，不符合题意；
只有当时，，
故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【分析】
由尺规作图的过程知，PQ垂直平分BC，则CD为直角三角形ABC斜边AB上的中线，DE为中位线，再分别对照它们的性质即可判断．
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：抛物线经过（0，3），
∴，
解得：，
∴结论②错误，
∴抛物线，
∴顶点M的坐标为（-1，4）
当时，，
∴抛物线过点，
∴结论①正确，
当时，可得：，
解得：x=1或x=-3，
∴抛物线与x轴的交点为
根据图象可知，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴结论③错误，
根据图象可知，当时，，
∵，
∴当时，，
∴结论④正确，
综上所述：正确的结论是①和④，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，抛物线与y轴交于点，易得m的值，即可判断结论②是否正确；然后将代入求得的函数解析式，即可判断结论①是否正确；然后将，求出x的值，即可求得抛物线与x轴的交点得出点A的坐标，根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，即可求得的面积，进而判断结论③是否正确；再根据二次函数的性质和x的值，即可判断结论④是否正确．
11．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式先用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可．
12．【答案】24
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解: 设每天应多做x件，则依题意得：
解得：x=24．
经检验x=24是方程的根．
故答案为：24．
【分析】设每天应多做x件，就可得出实际每天应做的件数，再原计划所用的时间-根据实际所用的时间=5，列方程，再求出方程的解。
13．【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b，（2b）a=10a；
即5ab=10b，2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
∴=1
故答案为：1。
【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可。
14．【答案】 或30
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b-9=0，c-15=0
解之：b=9，c=15，
∴点B表示的数是9，点C表示的数是15；
当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
当6＜t≤9时，P，Q都在线段OB上，P表示的数为t 6，Q表示的数是9 3（t 6）=27-3t，
∴P，Q两点到点B的距离相等
∴t 6＝27-3t，解得t＝；
当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P，Q两点到点B的距离相等；
当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9＋2（t 15）=2t-21，Q表示的数是 （t 9）=-t+9，
∴P，Q两点到点B的距离相等
∴2t-21-9＝9 （-t+9），
解之：t＝30，
∴P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒.
故答案为：或30
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出b，c的值，可得到点B，C表示的数；再根据点P，Q的运动方向和速度，分情况讨论：当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；当6＜t≤9时，P，Q都在线段OB上，可得到点P和点Q表示的数，根据P、Q两点到点B的距离相等，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，可得到点P和点Q表示的数，根据P、Q两点到点B的距离相等，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
15．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=AC=，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
连接AD，则AD=BC=1，
则S扇形AEF=．
故答案为：．
【分析】
求扇形面积可先示扇形的中心角，可借助已知条件结合勾股定理的逆定理判定三角形ABC是等腰直角三角形，从而得出中心角是45度，再利用等腰三角形三线合一的性质作底边上的高，从而计算出扇形的半径即可．
16．【答案】①②④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【解答】解： 将绕点顺时针旋转 ，当时，的值一直变大，所以结论①正确；
将绕点顺时针旋转 ，当时，的值逐步变小；当时，；当时，的值逐步变大，所以的值先变小再变大，所以结论②正确；
将绕点顺时针旋转 ，当时，连接，如图，
由题意得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，BF-EF=DF-EF，
∴的值保持不变，BF-EF的值不确定，所以结论③错误；
当时，连接，如图，
由题意得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的值保持不变，所以结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据旋转的性质可知，当时，的值由会逐渐变大，可知①正确；而当时，可知的值先变小再变大，可知②正确；当时，易证，有，可知，可知③错误， 当时 ，易证，有，可得，可知④正确.
17．【答案】解：

【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和多项式乘法法则（ 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 ）展开，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）证明：，N是对角线的三等分点，
，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠MBC=∠NDA，
在△MBC和△NDA中，
，
∴△MBC≌△NDA，
∴CM=AN，
同理可得：△MBA≌△NDC，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，N是对角线的三等分点，，
∴，，
，
∴△ADN和△ABM是直角三角形，
∵，
，
，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，进而求得∠MBC=∠NDA，再根据M，N是对角线的三等分点得到BM=DN，可以证明△MBC≌△NDA，△MBA≌△NDC，进而利用平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用M，N是对角线的三等分点得出、BM，根据，得出△ADN和△ABM是直角三角形，再根据勾股定理进而得出，同理可以得出.．
（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，N是对角线的三等分点，
，
∴
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，M，N是对角线的三等分点，
，，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
．
19．【答案】（1）；
补全条形统计图如下：
（2）；
（3）解：（人），
答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了学生：（名），
E组人数为：（名），
故A组人数为：（名），
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为
【分析】
（1）观察两个统计图可知，只有B组的人数与占比都已知，直接计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；
（2）根据C组人数的占比乘以计算求解即可；
（3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答．
20．【答案】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值，∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，
设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）观察表格中的各组数据发现，电磁波的波长与频率的乘积总相等，即满足反比例函数关系，可利用待定系数法求解即可；
（2）直接利用反比例函数的解析式求解即可．
21．【答案】（1）证明：∵，且，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵ （已知），
（对顶角相等），
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据角的和差证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）先根据根据两个角相等的两个三角形相似证明，得出，再根据，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：把，，代入中得：
解得，
所以解析式为：；
（2）解：①点的横坐标是，
的纵坐标是
由，求得直线解析式为
的纵坐标是，
所以当时，
②存在，理由如下：
点在直线上，
点的横坐标是
，当时，最大
点坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线上三个点的坐标，可利用待定系数法求解；
（2）
①先利用待定系数法求出直线的解析式，由于DF垂直x轴交直线BC于点H，则D、H、F三点的横坐标相同，由于点D在抛物线上，此时可设出点D的坐标，则可表示出点H的坐标，则DH的长度是关于点D横坐标的二次函数，利用二次函数图象上点的坐标特征代入计算即可；
②利用点D的坐标可得出DG的长，则DG+DH的长依然是关于点D横坐标的二次函数，再利用二次函数的增减性即可求解．
23．【答案】（1）解：根据题意可知，点P的位置可以分为两种情况：
①点P在AE上，此时AP=AE-PE=4-3t（0≤t≤），
②点P在AD上，此时AP=3t-AE=3t-4（＜t≤3）.
（2）解：过点C作延长线于点M，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，
，
∴=，
∵，
在Rt△CBM中，tan∠CBM=，
BM2+CM2=BC2，
设BM=3x，CM=4x，
则
解得：x=1，x=-1（舍去），
∴BM=3，CM=4，
∵，
在Rt△CAM中，tan∠CAB=.
（3）解：解：根据旋转的性质可知：，，
当点P在AE上，点F落在上，此时AP=4-3t（0≤t≤），如图2，
由（2）可知，，
∴在Rt△AEF中，tan∠CAB=，
即=
解得：；
点F落在上时，过点D作于点H，如图3，
根据题意可知：，，
∴，，
∵，
，
∴DH=BH，
为等腰直角三角形，
，
∵∠PEF=90°，
即∠BEF=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
，
∵BE=AB-AE=7-4=3，
，
解得：，
当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，
根据题意可知：，，
∴在Rt△APM中，sin∠DAB=，cos∠DAB=，
∴，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
∵，
，
，
在△PME和△ENF中，
，
，
=，=，
∴AN=AE+EN=4+=，
∵在中，，
，
解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
根据平行线分线段成比例定理得：，
由（2）可知：，，
，
∴，，
设AP=a，则EN=，ME=4-，
∴FK=FN-KN==，
∵OX∥FK，
∴，
∴OX=，
∴MN=，SN=，
∴SE=SN-EN=-=，
∴OS=OX+XS=+=，
又∵，
∴=4（）
解得：，
∵AP=3t-4，
，
；
②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
∵AP=3t-4，
，
．
综上所述：或．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形的综合；四边形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据点P在不同线段上的运动情况来确定表达式；
（2）过点C作延长线于点M，根据平行四边形性质推出=，设，，利用勾股定理建立等式求出，即可得出，，在中，即可求出的值；
（3）当点F在平行四边形对角线上时，需分不同时间段和对角线情况讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，利用旋转的性质、锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；
（4）当DE分线段PF为1：2时，分类两种情况讨论：当及，通过构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质列方程求解即可解决问题．
（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，；
②当点E在线段上时，当时，．
（2）解：如图1，过点C作延长线于点G，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在，由，
，
设，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
中，．
（3）解：由旋转知，，
当时，点F落在上，如图2，
由得，，
解得：；
点F落在上时，如图3，过点D作于点H，
同（1）可求，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，
由，得：，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，，
，
，
设，则，，，
，
，
，
而，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
，
．
综上所述：或．
24．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
为的直径
∴90°，
是的切线.
（2）解：①连接，如图所示，
是的中点
为的直径
∴∠ACB=∠DFO，
，
，
设的半径为，则，，
，，
，
，解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
②过点作交于点，如图所示，
∵是的角平分线，，
，
∴∠CBG=∠BCP，
∴BG=CG，
由（2）①得：，BC=8，
在Rt△BCG中，BC==，即=8，
∴BG=，
∴tan∠BPC=，
∴PG=，
∴CP=CG+PG=.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据，可知，再根据圆周角定理得出∴90°，从而得到，即可证明；
（2）①连接，证明，进而得出，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得=8，得到，即可得到；
②过点作交于点，推出∴BG=CG，解直角三角形得到，易得tan∠BPC=，解得，由即可求解．
（1）证明：如图，连接，
为的直径
是的切线
（2）解：①如图，连接，
是的中点
为的直径
设的半径为，则，
，
，解得
经检验，是方程的解
②如图，过点作交于点，
，是的角平分线
．