浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024八年级下学期期中数学试题

浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·萧山期中）若，则下列二次根式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、当a<0， 无意义；故选项A不符合题意；
B、当a<1，a-1<0，此时 无意义；故选项B不符合题意；
C、∵a<2，3-a>0，∴一定有意义；故选项C符合题意；
D、当1故答案为：C.

【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可.
2．（2024八下·萧山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法及二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2024八下·萧山期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，过P作PF⊥BC于点F，
∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
∴AE=PF，
∴=
∵S△ABC=，S△PBC=，
∴S △ABC=S△PBC．
故答案为：D
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即求解．
4．（2024八下·萧山期中）一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数a，一定不会发生变化的统计量是（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：加入一个数a，观察可得：2出现了3次，且出现的次数最多，故众数不会发生变化.
故答案为：D.
【分析】众数是出现次数最多的数据，观察可得2出现的次数最多，据此判断.
5．（2024八下·萧山期中）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵当k=0时，方程为2x+1=0，解为.
当k≠0时，关于x的方程为一元二次方程，有实数根，
∴
解得：k≤1且k≠0.
综上：k≤1.
故答案为：A.
【分析】分k=0和k≠0两种情况进行讨论.k=0时方程为一元一次方程，求解即可；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程有实根，则判别式b2－4ac≥0.
6．（2024八下·萧山期中）关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（　　）
A．0 B． C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般式为（m-3）x2+（m2-9）x+5=0，
∵方程不含一次项，
∴m2-9=0，
∴m=±3，
∵m≠3，
∴m=-3.
故答案为：D.
【分析】先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，得出m≠3，根据方程不含一次项得出m=±3，即可得出m=-3.
7．（2024八下·萧山期中）若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式和外交和列出方程求解即可。
8．（2024八下·萧山期中）如图大坝的演断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（　　）．
A．6米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴设，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
又∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，易证四边形为矩形，得，根据斜坡的坡比为，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，在中，再根据勾股定理求得的长度．
9．（2024八下·萧山期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
10．（2024八下·萧山期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
11．（2024八下·萧山期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
12．（2024八下·萧山期中）已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：a=2.
故答案为：2.
【分析】利用平均数的计算公式即可得到a的值.
13．（2024八下·萧山期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
14．（2024八下·萧山期中）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，即3+k=1
解得：k=-2
故答案为：-2
【分析】根据二次方程根与系数的关系，再代入代数式即可求出答案.
15．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
16．（2024八下·萧山期中）如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
设，，
∴，
在中，，
∵，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
，，
，
，
∴，
∴，
，
解得：或（舍去），
，
∴，
，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据平行四边形的性质得，，，，设，，然后根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，根据四边形的面积得出，解方程得出，接下来证出，从而得，进而得，利用勾股定理、30°的直角三角形的性质求出、，最后再利用勾股定理得，于是得关于a的方程，解方程求出a的值，即可求解.
17．（2024八下·萧山期中）计算：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再进行减法运算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行合并运算.
18．（2024八下·萧山期中）（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________．
甲 乙
两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ．
丙 丁
整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ．
（2）选择合适的方法解方程
【答案】解：（1）甲：不能保证x-1≠0，故甲错误；
乙：移向要变号，故乙错误；
丙：把一元二次方程变成标准形式后使用“公式法”解方程，故丙错误；
丁：解法正确；
故答案为：丁；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质、移向要变号、“公式法”解一元二次方程、配方法解一元二次方程对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可；
（2）利用“公式法”解一元二次方程即可.
19．（2024八下·萧山期中）某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示．
演讲比赛成绩条形统计图
（1）根据图中数据填写下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 ①___ ②___
乙班 ③___
（2）根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由．
【答案】（1）①8.5；②0.7；③8
（2）解：甲班成绩好．
理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差，
所以甲班的成绩较好．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲班的数据中7.5，8与10都只出现1次，8.5出现2次，出现次数最多的是8.5，
∴甲班预赛成绩的众数是8.5；
甲班预赛成绩的方差是：，
∵乙班预赛成绩的从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，
∴乙班预赛成绩的中位数是8；
故答案为：①8.5；②0.7；③8.
【分析】（1）根据众数、方差和平均数的定义及公式分别进行求解；
（2）从平均数、中位数以及方差的意义，对甲、乙两班成绩分别进行比较，然后给出判断．
20．（2024八下·萧山期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质，证明，，再根据平行线的性质，得出，再根据平角的意义，得出，然后利用证明，根据全等三角形的性质，可证明．
21．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2） 若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，两个根都是负根，
∴，，
∴k+3>0，k+1>0，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，判别式≥0，则说明方程有两个实数根；
（2）根据方程的两个根都是负根，得，，得到关于k的不等式组，求解即可.
22．（2024八下·萧山期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套．
（1）每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？
（2）该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元.
（2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据题意，得
化简整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量，列出一元二次方程方程求解；
（2）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量，列出一元二次方程方程求解．
（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元；
（2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
23．（2024八下·萧山期中）综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计)
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】（1）解：设将要剪去的正方形的边长为，
根据题意，得，
解得：，，
当时，，，不符合题意，舍去，
∴将要剪去正方形的边长为3cm；
（2）解：①画出的图形如图所示；
②设剪去的正方形的边长为，
根据题意，得，
解得：(舍去)，，
∴剪去的正方形的边长为2cm．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（1）设将要剪去的正方形的边长为，由长方体的底面积为 列出关于x的一元二次方程，解方程并结合题意对所得解进行取舍，即可求解；
（2）①直接根据题意画出图形；②设剪去的正方形的边长为，由折成的有盖长方体盒子的表面积为可列出关于y的一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：设剪去的正方形的边长为．
根据题意列方程为．
解，得，．
当时，，，所以不符合题意舍去．
答：剪去正方形的边长为3cm；
（2）①画出的图形如图所示．
②设剪去的正方形的边长为．
根据题意得：．
解得(舍)，．
答：剪去的正方形的边长为．
24．（2024八下·萧山期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．
【答案】解：（1）如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB＝4cm，AD＝2cm，
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，
∵∠C＝30°，
∴BE＝BC＝1cm，
∴S平行四边形ABCD=CD×BE＝4×1＝4cm2 ．
（2）如图，过点Q作QM⊥AP，
当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴∠C=∠A＝30°，
∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）
∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4×＝（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，.
∴AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm
∴×2t×＝
∴t＝﹣（舍）或t＝
∴t＝时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD
∴∠PBN＝∠C＝30°
∴PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
∴S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝
∴4﹣2t＋4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣＋1＝
解得：t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为或3．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质，求得CD，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出平行四边形的高，然后求出其面积；
（2）先分别计算出t＝0.5s时，AP，AQ和QM的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出QM，然后利用三角形面积公式计算；
（3）分“点P在线段AB上，点Q在线段AD上”和“点P在线段BC上，点Q在线段CD上”，两种情况，分别计算．
浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·萧山期中）若，则下列二次根式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·萧山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·萧山期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
4．（2024八下·萧山期中）一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数a，一定不会发生变化的统计量是（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
5．（2024八下·萧山期中）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
6．（2024八下·萧山期中）关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（　　）
A．0 B． C．3 D．-3
7．（2024八下·萧山期中）若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024八下·萧山期中）如图大坝的演断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（　　）．
A．6米 B．米 C．米 D．米
9．（2024八下·萧山期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·萧山期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·萧山期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　 　．
12．（2024八下·萧山期中）已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则　 　．
13．（2024八下·萧山期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为　 　．
14．（2024八下·萧山期中）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数　 　．
15．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
16．（2024八下·萧山期中）如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为　 　．
17．（2024八下·萧山期中）计算：
（1）；
（2） ．
18．（2024八下·萧山期中）（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________．
甲 乙
两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ．
丙 丁
整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ．
（2）选择合适的方法解方程
19．（2024八下·萧山期中）某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示．
演讲比赛成绩条形统计图
（1）根据图中数据填写下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 ①___ ②___
乙班 ③___
（2）根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由．
20．（2024八下·萧山期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
21．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2） 若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
22．（2024八下·萧山期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套．
（1）每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？
（2）该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由．
23．（2024八下·萧山期中）综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计)
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
24．（2024八下·萧山期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、当a<0， 无意义；故选项A不符合题意；
B、当a<1，a-1<0，此时 无意义；故选项B不符合题意；
C、∵a<2，3-a>0，∴一定有意义；故选项C符合题意；
D、当1故答案为：C.

【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的加减法及二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，过P作PF⊥BC于点F，
∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
∴AE=PF，
∴=
∵S△ABC=，S△PBC=，
∴S △ABC=S△PBC．
故答案为：D
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即求解．
4．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：加入一个数a，观察可得：2出现了3次，且出现的次数最多，故众数不会发生变化.
故答案为：D.
【分析】众数是出现次数最多的数据，观察可得2出现的次数最多，据此判断.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵当k=0时，方程为2x+1=0，解为.
当k≠0时，关于x的方程为一元二次方程，有实数根，
∴
解得：k≤1且k≠0.
综上：k≤1.
故答案为：A.
【分析】分k=0和k≠0两种情况进行讨论.k=0时方程为一元一次方程，求解即可；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程有实根，则判别式b2－4ac≥0.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般式为（m-3）x2+（m2-9）x+5=0，
∵方程不含一次项，
∴m2-9=0，
∴m=±3，
∵m≠3，
∴m=-3.
故答案为：D.
【分析】先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，得出m≠3，根据方程不含一次项得出m=±3，即可得出m=-3.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式和外交和列出方程求解即可。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴设，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
又∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，易证四边形为矩形，得，根据斜坡的坡比为，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，在中，再根据勾股定理求得的长度．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
12．【答案】2
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：a=2.
故答案为：2.
【分析】利用平均数的计算公式即可得到a的值.
13．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，即3+k=1
解得：k=-2
故答案为：-2
【分析】根据二次方程根与系数的关系，再代入代数式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
16．【答案】
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
设，，
∴，
在中，，
∵，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
，，
，
，
∴，
∴，
，
解得：或（舍去），
，
∴，
，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据平行四边形的性质得，，，，设，，然后根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，根据四边形的面积得出，解方程得出，接下来证出，从而得，进而得，利用勾股定理、30°的直角三角形的性质求出、，最后再利用勾股定理得，于是得关于a的方程，解方程求出a的值，即可求解.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再进行减法运算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行合并运算.
18．【答案】解：（1）甲：不能保证x-1≠0，故甲错误；
乙：移向要变号，故乙错误；
丙：把一元二次方程变成标准形式后使用“公式法”解方程，故丙错误；
丁：解法正确；
故答案为：丁；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质、移向要变号、“公式法”解一元二次方程、配方法解一元二次方程对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可；
（2）利用“公式法”解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）①8.5；②0.7；③8
（2）解：甲班成绩好．
理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差，
所以甲班的成绩较好．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲班的数据中7.5，8与10都只出现1次，8.5出现2次，出现次数最多的是8.5，
∴甲班预赛成绩的众数是8.5；
甲班预赛成绩的方差是：，
∵乙班预赛成绩的从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，
∴乙班预赛成绩的中位数是8；
故答案为：①8.5；②0.7；③8.
【分析】（1）根据众数、方差和平均数的定义及公式分别进行求解；
（2）从平均数、中位数以及方差的意义，对甲、乙两班成绩分别进行比较，然后给出判断．
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质，证明，，再根据平行线的性质，得出，再根据平角的意义，得出，然后利用证明，根据全等三角形的性质，可证明．
21．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，两个根都是负根，
∴，，
∴k+3>0，k+1>0，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，判别式≥0，则说明方程有两个实数根；
（2）根据方程的两个根都是负根，得，，得到关于k的不等式组，求解即可.
22．【答案】（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元.
（2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据题意，得
化简整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量，列出一元二次方程方程求解；
（2）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量，列出一元二次方程方程求解．
（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元；
（2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
23．【答案】（1）解：设将要剪去的正方形的边长为，
根据题意，得，
解得：，，
当时，，，不符合题意，舍去，
∴将要剪去正方形的边长为3cm；
（2）解：①画出的图形如图所示；
②设剪去的正方形的边长为，
根据题意，得，
解得：(舍去)，，
∴剪去的正方形的边长为2cm．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（1）设将要剪去的正方形的边长为，由长方体的底面积为 列出关于x的一元二次方程，解方程并结合题意对所得解进行取舍，即可求解；
（2）①直接根据题意画出图形；②设剪去的正方形的边长为，由折成的有盖长方体盒子的表面积为可列出关于y的一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：设剪去的正方形的边长为．
根据题意列方程为．
解，得，．
当时，，，所以不符合题意舍去．
答：剪去正方形的边长为3cm；
（2）①画出的图形如图所示．
②设剪去的正方形的边长为．
根据题意得：．
解得(舍)，．
答：剪去的正方形的边长为．
24．【答案】解：（1）如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB＝4cm，AD＝2cm，
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，
∵∠C＝30°，
∴BE＝BC＝1cm，
∴S平行四边形ABCD=CD×BE＝4×1＝4cm2 ．
（2）如图，过点Q作QM⊥AP，
当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴∠C=∠A＝30°，
∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）
∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4×＝（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，.
∴AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm
∴×2t×＝
∴t＝﹣（舍）或t＝
∴t＝时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD
∴∠PBN＝∠C＝30°
∴PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
∴S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝
∴4﹣2t＋4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣＋1＝
解得：t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为或3．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质，求得CD，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出平行四边形的高，然后求出其面积；
（2）先分别计算出t＝0.5s时，AP，AQ和QM的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出QM，然后利用三角形面积公式计算；
（3）分“点P在线段AB上，点Q在线段AD上”和“点P在线段BC上，点Q在线段CD上”，两种情况，分别计算．