山东省淄博第四中学2024-2025高一（下）第一次阶段性测试数学试卷(pdf版,含答案)

2024-2025 学年山东省淄博第四中学高一下学期第一次阶段性测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ( 3,4)， = (5,2)，则 2 3 =( )
A. (21,2) B. ( 21,2) C. (2,21) D. ( 2,21)
2.在等式①0 = 0；②0 = 0；③( ) = ( )；④若 = ，且 ≠ 0，则 = ；⑤非零向
量 ， 满足| | = | + |，则 ⊥ .其中正确的命题的个数是：( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知 sin + = 1725，sin cos =
1
5，则 sin =( )
A. 24 B. 24 7 725 25 C. 25 D. 25
4 3.已知向量 , 满足 = 1, = 2, = 2，则 cos , +
=( )
A. 2 B. 2 C. 24 2 4 D.
2
2
5.已知 = (1, 1), = (1,3)，则 在 上的投影向量为( )
A. ( 1 , 3 1 35 5 ) B. ( 5 , 5 )
C. ( 10 3 10 10 3 105 , 5 ) D. ( 5 , 5 )
6 3 3.已知4 < < 4，0 < < 4，cos 4 + = 5，cos

4 + =
5
13，则 cos + =( )
A. 63 B. 63 C. 1665 65 65 D.
16
65
7.在 中， = 2 13 ，点 在 上，若
= + 3 ，则 =( )
A. 2 4 5 63 B. 5 C. 6 D. 7
8.四边形 为菱形，∠ = 30 ， = 6， 是菱形 所在平面的任意一点，则 的最小值为
( )
A. 30 B. 27 C. 15 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = sin2 + 3cos2 ，则( )
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A. 在区间 12 , 2 单调递减
B. 7 的图象关于直线 = 12对称
C.当 ∈ 0, 2 时， 的值域为 3, 2
D. 的图象可由 = 2sin2 的图象向左平移3个单位长度得到
10.已知向量 , 满足 = 1， = 1，且 + = 7，则( )
A. = 2 B. ⊥
C. 与 的夹角为3 D. 与
的夹角为6
11.已知点 是 的重心，点 1,2 ， 2,3 ， ( 2,5)，点 是 上靠近点 的三等分点，则( )
A. 13 ,
10
3 B.
2 11
3 , 3
C. , = 3 D. |3
| = 2 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 sin
+2
12.已知 tan = ，则 22 2 = ．
13.已知函数 = sin ( > 0) 7 7 ，若 6 = 6 ，且 在区间 6 , 6 上恰有一个最大值和一个最小值，

则 6 = ．
14.已知 为 1所在平面内一点，且满足 = + 2 5 5 ，则△ 的面积与 的面积之比为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系 中，已知点 (1, 2)， (2,1)， (3,2)．
(1)若点 ( 2,3)， = ， = ，试用基底 , 表示 + + ；
(2)若 = + ( ∈ )，且点 在第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 = (1,3), = (6, )．
(1)若 ⊥ ，求 2 3 的值；
(2)若 // ,求 的值；
(3)若向量 = 1, 1 ，若 + 与 共线，求
17.(本小题 15 分)
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sin( )cos( + )cos 3 +
已知 ( ) = 2
cos 2+ sin( )
(1)化简 ( )
(2) 3 若 为第三象限角，且 cos 2 = 5，求 + 3 的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = sin + > 0, > 0, < < 的部分图象如下图所示．
(1)求 的解析式及单调减区间；
(2)要得到 = 3sin 3 + 1 的图象，需要将 = 的图象作怎样的变换？(详细写出每步变换)
(3) 对于(2)中的函数 = ，若对任意 1、 2 ∈ 6 , ，有 1 2 ≤ ，求实数 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，已知 是半径为 1，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的动点，记∠ = ，
(1)请用 , 来表示平行四边形 的面积；
(2) = 若 3．
①求平行四边形 面积的最大值，以及面积最大时角 的值；
②记 = + (其中 , ∈ )，求 + 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.34/0.75
13. 32
14.1: 2
15.解：(1) = (1,3)， = (2,4)， = ( 3,5)， = ( 4,2)， = ( 5,1)，
所以 + + = ( 3,5) + ( 4,2) + ( 5,1) = ( 12,8)．
由题意，知存在实数 ， ，使得 + + = + ，
即( 12,8) = (1,3) + (2,4) = ( + 2 , 3 + 4 )，
+ 2 = 12, = 32,
可得 3 + 4 = 8, 解得 = 22,
所以 + + = 32 22 = 32 22 ．
(2)设 ( , )，则 = ( 1, + 2)．
又 = + = (1,3) + (2,4) = (1 + 2 , 3 + 4 )，
1 = 1 + 2 , = 2 + 2 ,
则 + 2 = 3 + 4 ,即 = 1 + 4 .
又点 2 + 2 > 0, 1在第四象限，所以 1 + 4 < 0,解得 1 < < 4，
故 1的取值范围是 1, 4 ．
16.解：(1)因为 ⊥ ，所以 = 0，则 1 × 6 + 3 = 0，解得 = 2，
故 = 6, 2 ，2 3 = 2 1,3 3 6, 2 = 2,6 18, 6 = 16,12 ．
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(2)因为 // ，所以 = 3 × 6 = 18，则 = 6,18 ， = 62 + 182 = 6 10．
(3) + = 1,3 + 6, = 7,3 + ， = 6, 1, 1 = 5, + 1 ，
若 + 与 共线，则 5 × 3 + = 7 × + 1 ，解得 = 4，即 = 6,4 ，
故 = 1 × 6 + 3 × 4 = 18．
17.解：(1)由题意可得 = sin cos sin sin sin = cos ．
(2)因为 cos 2 = cos
3 3
2 = 5，所以 sin = 5，
2
又 为第三象限角，所以 cos = 1 2 = 1 3 = 45 5，
+ = cos + = sin sin cos cos 3所以 3 3 3 3 = 5 ×
3 + 4 × 1 = 4 3 32 5 2 10 ．
18.解：(1)由图可得 = max = 2，
函数 7 的最小正周期为 = 4 × 12 3 = =
2 2
，则 = = 2，
所以， = 2sin 2 + ，
7 7 7 因为 12 = 2sin 6 + = 2，可得 sin 6 + = 1，
< < < + 7 13 7 2 因为 ，则6 6 < 6 ，所以， + 6 = 2，所以， = 3，
因此， = 2sin 2 2 3 ，
2 + ≤ 2 2 ≤ 2 + 3 ∈ + 7 由 2 3 2 解得 12 ≤ ≤ +
13
12 ∈ ，
7 13
所以，函数 的单调递减区间为 + 12 , + 12 ∈ ．
(2)将函数 = 的图象向左平移6个单位长度，可得到函数 = 2sin 2 +
2
6 3 = 2sin 2 3 的图
象，

再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 = 2sin 3 的图象，
3
继续将图象纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数 = 3sin 3 的图象，
最后将图象向上平移 1 个单位得到 = 3sin 3 + 1 的图象；
(3)当 ∈ 6 , 时，

6 ≤

3 ≤
2
3，
1 ≤ sin ≤ 1 1则 2 3 ，则 2 ≤ ≤ 4，

对任意的 1、 2 ∈ 6 , ， 1 2 ≤ ，
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≥ = 4 1 = 9 9则 max min 2 2，故实数 的最小值为2．
19.解：(1)过点 作 的垂线，垂足为 ，在 中， = sin , = cos ，
sin
在 中， = tan ，则 = tan = tan ，
所以 = = cos sin tan ，
sin 1
2
所以 四边形 = × = cos tan sin = 2 sin2

tan (0 < < ).
(2) = ①若 3，由题意可得 0 < < 3，
2
由(1)知： = 12 sin2

3 0 < < 3
故平行四边形 的面积 = 12 sin2
3
3
2
1 3 1 cos2 1 3 3
= 2 sin2 3 × 2 = 2 sin2 + 6 cos2 6
3 3
= 3 sin 2 + 6 6
0 < < < 2 + < 5 由于 3，故6 6 6，
故当 2 + 6 =
3
2时，即 = 6时， 取得最大值为 6 ．
1 3
②根据题意，建立如图所示的坐标系，则 1,0 , cos 3 , sin 3 ，即 2 , 2
又∠ = ，则 = cos , sin , = 1,0 , = 1 32 , 2
因 = + 1 3，即 cos , sin = , 0 + 2 , 2 ，
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则 cos = + 1 32 ，sin = 2 ，
= 3解得： 3 sin + cos ， =
2 3
3 sin ，
∴ + 2 = 3sin + cos = 2sin + 6 ，

由点 是弧上一动点，则 0 < < 3，则6 < + 6 < 2，
1
所以2 < sin + 6 < 1 即 + 2 ∈ 1,2 ．
则 + 2 的取值范围为 1,2 ．
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