第7讲 坐标与面积培优练习 （含答案）

第7讲 坐标与面积
板块一 三角形的面积
典例精讲
题型一 三角形的一边在坐标轴上
【例1】 如图,点 A(-1,0),B(3,0),C(4,3),求△ABC的面积.
题型二 三角形的一边与坐标轴平行
【例2】 如图,点A(-2,-1),B(-2,5),C(4,3),求△ABC的面积.
题型三 三角形的三边都不与坐标轴平行
【例3】 如图,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求 的面积.
【例4】 如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上， 于点 D，若B(m,2), A(5,0),则AD·BC的值为 .
针 对 训 练
1.如图,若点 A(-1,1),B(2,1),C(3,3),则△ABC的面积为 .
2.如图,若点A(0,3),B(-2,-2),C(4,1),BC交y轴于点D(0,-1),则△ABC的面积为
3.如图,若点 A(0,2),B(-1,0),C(2,-1),则△AOC的面积为 ;△ABC的面积为 .
4.如图,若点 A(1,4),B(-1,-1),C(3,1),求△ABC的面积.
5.如图,点A(3,5),B(-3,-1),C(1,0),求△ABC的面积.
6.如图,已知图中点 A 和点B 的坐标分别为(2,-4)和(-2,2).
(1)请在图中画出坐标轴建立适当的平面直角坐标系；
(2)填空:点C 的坐标为 ;
(3)连接AB,BC和CA 得三角形ABC,在y轴上有一点D 满足 则点 D 的坐标为 ,S=角形DBC = 个平方单位;
(4)已知第一象限内有两点 P(3,n+2),Q(6,n).平移线段 PQ，使点 P，Q分别落在两条坐标轴上.则点 P 平移后的对应点的坐标是 .
板块二 多边形的面积
典 例 精 讲
【例】 在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(9，0),C(7,5),D(2,7).求四边形ABCD的面积.
针 对 训 练
1.如图,点A(-1,0),点 B(0,3),点C(2,4),点D(3,0),点 P是x轴上一点,直线CP将四边形ABCD 的面积分成1:2两部分,则点 P 坐标为 .
2.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD 是格点四边形(顶点为网格线的交点).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
3.如图,若点A(3,3),B(1,1),C(2,0),D(4,1),求四边形ABCD的面积.
板块三 含参数的面积
典 例 精 讲
【例1】 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)和点 B(0，8)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为S，用含 a的式子表示S.
【例2】 在平面直角坐标系中,点 A(a,2),B(a+4,2),C(b,-1),求 的面积.
【例3】 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.
(1)如果在第二象限内有一点 请用含 m 的式子表示四边形ABOP 的面积；
(2)在(1)的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与 的面积相等 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
针 对 训 练
1.如图，在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(2，0)，点C在y轴的正半轴上，且三角形ABC的面积为
(1)求点 C 的坐标;
(2)过点O作OD 平行于AC交CB 于点D，问：x轴上是否存在一点P，使 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
2.如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC的顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，4)，
(1)求三角形ABC的面积；
(2)已知点 P 的坐标为(m,0).
①请直接写出线段AP 的长为 (用含 m 的式子表示)；
②当 时，求m 的值；
(3)若AC交y轴于点M，直接写出点 M 的坐标为 .
3.如图,在平面直角坐标系中,A(0,a),B(5,b),且a,b满足 平移线段AB至CD,其中A,B的对应点分别为C,D,CD交y轴于点E.
(直接写出结果)；
(2)若点C的坐标为( ，三角形 DOE 的面积为 ，求点 D 的坐标.
4.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义.“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” .例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底’ ，“铅垂高’ “矩面积” S= 根据所给定义解决下列问题：
(1)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,6),则这三点的“矩面积”= ;
(2)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,求点 F 的坐标.
板块一 三角形的面积
典 例 精 讲
题型一 三角形的一边在坐标轴上
【例1】 如图,点A(-1,0),B(3,0),C(4,3),求△ABC的面积.
【分析】∵△ABC的边AB 在x轴上，∴以AB为底，点C到x轴距离为高计算.【解答】过点C作CH⊥x轴,垂足为点H.∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,
题型二 三角形的一边与坐标轴平行
【例2】 如图,点A(-2,-1),B(-2,5),C(4,3),求△ABC的面积.
【分析】∵A,B 两点的横坐标都是-2,∴AB∥y轴,∴可以以AB为底,点C到AB 的距离为高，计算△ABC的面积.
【解答】过点C作CH⊥AB,垂足为点 H.∵A(-2,-1),B(-2,5),
∴AB∥y轴,AB=6,∵C(4,3),CH=6,
题型三 三角形的三边都不与坐标轴平行
【例3】 如图,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求 的面积.
【分析】△AOB的三边都不在坐标轴上，也不与坐标轴平行，故可用“围栏法”.
【解答】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F.
=12+4-6=10.
【例4】 如图,直线BC经过原点O,点A在x轴上,AD⊥BC于点 D,若B(m,2),( A(5,0),则AD·BC的值为 35 .
【解答】过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F,∵A(5,0),B(m,2), .

针 对 训 练
1.如图,若点 A(-1,1),B(2,1),C(3,3),则△ABC的面积为 3 .
2.如图,若点A(0,3),B(-2,-2),C(4,1),BC交y轴于点D(0,-1),则△ABC的面积为 12 .
3.如图,若点A(0,2),B(-1,0),C(2,-1),则△AOC的面积为 2 ;△ABC的面积为
4.如图,若点 A(1,4),B(-1,-1),C(3,1),求△ABC的面积.
【解答】过点C作直线l∥y轴,过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E,
5.如图,点A(3,5),B(-3,-1),C(1,0),求△ABC的面积.
【分析】△ABC的三边既不在坐标轴上又不与坐标轴平行，故采用“围栏法”.∠ACB为钝角，可围成三角形与三角形之间的面积和差计算.
【解答】过点A 作直线l∥y轴,过B作直线BD⊥l于点D,连接CD,则
6.如图,已知图中点 A 和点B 的坐标分别为(2,-4)和(-2,2).
(1)请在图中画出坐标轴建立适当的平面直角坐标系；
(2)填空：点C的坐标为 ；
(3)连接AB,BC和CA 得三角形ABC,在y轴上有一点D 满足 则点 D 的坐标为 ，S三角形DBC = 个平方单位；
(4)已知第一象限内有两点 P(3,n+2),Q(6,n).平移线段 PQ,使点 P,Q分别落在两条坐标轴上.则点 P 平移后的对应点的坐标是 .
【解答】(1)略;
(2)(3,2);
(3)点D坐标为(0,-4)或(0,8);15;
(4)当 P 在y轴,Q 在x 轴上时,P(0,2),Q(3,0);
当 P在x 轴,Q 在y 轴上时,P(-3,0),Q(0,-2).
综上所述,点 P的坐标为(-3,0)或(0,2).
板块二 多边形的面积
典 例 精 讲
【例】 在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(9，0),C(7,5),D(2,7).求四边形ABCD的面积.
【分析】AB边在x 轴上，可采用“分割法”.
【解答】过点D,C分别作DE,CF垂直于AB,E,F分别为垂足,则有:
故四边形ABCD的面积为 42个平方单位.
针 对 训 练
1.如图,点A(-1,0),点 B(0,3),点C(2,4),点D(3,0),点 P是x轴上一点,直线CP 将四边形ABCD 的面积分成1：2两部分，则点 P 坐标为 )或( ,o) .
2.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD 是格点四边形(顶点为网格线的交点).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求四边形 ABCD的面积.
【解答】(1)由图可知点A(4,1),B(0,0),C(-2,3),D(2,4);
(2)四边形ABCD的面积
3.如图,若点 A(3,3),B(1,1),C(2,0),D(4,1),求四边形ABCD的面积.
【解答】四边形ABCD 的面积为 (提示：方法较多，仅提供一种作参考，连接BD,则 BD∥x轴,
板块三 含参数的面积
典 例 精 讲
【例1】 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)和点 B(0，8)两点，且直线 AB与坐标轴围成的三角形的面积为S，用含 a的式子表示S.
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意用坐标表示未知点的距离时应带上绝对值.
【解答】直线AB 与坐标轴围成的三角形为三角形AOB,∵A(a,0),B(0,8),∴OA=|a|,OB=8,
【例2】 在平面直角坐标系中,点A(a,2),B(a+4,2),C(b,-1),求△ABC的面积.
【分析】∵A，B两点的纵坐标都是2，∴AB∥x轴，∴可以AB为底，点C到AB 的距离为高计算面积.
【解答】∵A,B两点的纵坐标都是2,∴AB∥x轴,
∴AB=a+4-a=4,点C到AB 的距离为
【例3】 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.
(1)如果在第二象限内有一点 请用含 m的式子表示四边形ABOP 的面积；
(2)在(1)的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与 的面积相等 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】根据点的坐标即可表示出四边形ABOP 的面积.
【解答】(
∴S四边形ABOP =S三角形ABO+S三角形APO =3+(-m)=3-m;
则m=-3,
∴存在点 使
针 对 训 练
1.如图，在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(2，0)，点C在y轴的正半轴上，且三角形ABC的面积为
(1)求点C的坐标；
(2)过点O作OD 平行于AC交CB 于点D，问：x轴上是否存在一点 P，使 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(
(2)连接AD,∵OD∥AC,∴S三角形AOD =S三角形COD ,设 D(a,b),则
∴PB=9,∴P(-7,0)或(11,0).
2.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,0),B(0,4),C(-3,2).
(1)求三角形ABC的面积；
(2)已知点 P 的坐标为(m,0).
①请直接写出线段 AP 的长为 |m-2| (用含 m 的式子表示);
②当 时，求m 的值；
(3)若AC交y轴于点M，直接写出点 M 的坐标为
【解答】(1)过点C作CD⊥x轴,垂足为 D,∵A(2,0),B(0,4),C(-3,2),
∴D(-3,0),∴AD=5,CD=2,
∴S三角形ABC =S四边形OBCD +S三角形OAB —— S三角形ACD
∴三角形ABC的面积是8；
(2)①根据题意,得AP=|m-2|;
∴|m-2|=8,∴m-2=8或m-2=-8,∴m=10或m=-6;
(3)面积法可得
3.如图,在平面直角坐标系中,A(0,a),B(5,b),且a,b满足 平移线段AB至CD,其中A,B的对应点分别为C,D,CD交y轴于点E.
(1)a= -2 ,b= -4 (直接写出结果);
(2)若点C的坐标为(-2,m),三角形 DOE 的面积为 ，求点 D 的坐标.
【解答】(1)a=-2,b=-4;
(2)由点A(0,-2),C(-2,m)可知,线段AB向左平移2个单位长度,向上平移(2+m)个单位长度至CD，
∵B(5,-4),则D(3,m-2),
分别过点D,C作DF⊥y轴于点F,DG⊥x轴于点G,CH⊥x轴于点H, 即
S三角形DOE =S梯形CHGD —— S梯形CHOE —— S三角形DOG
解得m=4,即 D(3,2).
4.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点 A，B，C的“矩面积”，给出如下定义.“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” 例如：三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底” a=5, “铅垂高’ “矩面积” S=ah=20.根据所给定义解决下列问题：
(1)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,6),则这三点的“矩面积”= 15 ;
(2)若点 D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,求点 F 的坐标.
【解答】(1)由题意,得点D(1,2),E(-2,1),F(0,6),∴a=1-(-2)=3,h=6-1=5,∴S= ah=3×5=15,故答案为:15;
(2)由题意,得“水平底” a=1-(-2)=3,
当t>2时,h=t-1,则3(t-1)=18,
解得t=7,故点 F的坐标为(0,7);
当1≤t≤2时,h=2-1=1≠6,故此种情况不符合题意;
当t<1时,h=2-t,则3(2-t)=18,解得t=-4,故点F的坐标为(0,-4).
∴点 F 的坐标为(0,7)或(0,-4).