2024-2025安徽省阜阳市太和县部分学校高二下学期开学检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省阜阳市太和县部分学校高二下学期开学检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.直线：被圆：截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在上，的内心为若，，的面积满足，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知空间向量，，的长度分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心，则( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹已知，，动点满足，若点的轨迹上有且仅有三个点到直线的距离为，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足，，记的前项和为，则( )
A. 为等差数列 B. 为等比数列
C. D.
11.已知正方体的棱长为，点满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则平面
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则线段长度的最小值为
D. 若，则与平面所成角的余弦的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线上有一点到准线的距离为，那么点到轴的距离为 ．
13.在直三棱柱中，，，是棱的中点，则点到平面的距离为 ．
14.已知数列中，，，则满足的的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的通项公式
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆经过，，三点．
求圆的方程；
设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，点在棱上与点不重合．
证明：直线平面；
若平面与平面夹角的余弦值为，求的长度．
18.本小题分
记数列的前项和为，已知，．
求的通项公式．
若数列满足，其前项和为．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，的周长为．
求的方程；
若过点且斜率不为的直线与交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值；
若，为上横坐标不为的两点，是与轴正半轴的交点，且直线与的斜率之积为，求证：直线过定点．
参考答案
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15.解：当时，，
当时，，
，
两个式子相减得，
当时，也满足，
所以的通项公式为；
，
故
．
16.【详解】因为，，，
所以，，其中为坐标原点，
所以，
所以圆以坐标原点为圆心，半径为的圆，
故圆的方程为．
由题意知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，得，
由已知
设，，则，
所以
，
即直线，的斜率之和是定值，该定值为．

17.【详解】如图，连接，，由题意知，且，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，平面
，分别为，的中点，所以，，
又，，所以，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，
又，平面，
平面平面，
又平面，平面
三棱柱是直三棱柱，且，
可以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
设平面的法向量为，
则
取，可得，，
所以为平面的一个法向量
由题意可取平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则，解得或舍去．
故的长度为．

18.【详解】因为，所以，
两式相减得，即，
当时，有，即，
又，所以．
综上，可知是首项，公比为的等比数列，
故的通项公式为．
由得，
则，
可得，
所以，
所以．
对任意恒成立，
即，整理得恒成立．
令，则，
当时，，
当时，，
当时，，
所以以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是．

19.【详解】设的半焦距为因为的离心率为，且的周长为，
所以
解得，，则，
故的方程为．
设直线的方程为，，．
联立，消去并整理，得，
则，，
所以的面积，
又，
令，则，，所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故，即面积的最大值为
依题意得．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
可得，，由对称性，，互换不影响后面的结果
所以，不符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立消去并整理，得，
则，，
因为，
所以，
即，
整理得，解得或
当时，直线的方程为，
此时直线恒过点，不符合题意．
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，符合题意．
故直线过定点

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