2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷（word版含答案）

2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：﹣3﹣5的结果是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
2．将如图所示的图形绕直线l旋转一周，得到立体图形的主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．一元一次不等式2（2x+3）＞3x+3的解集为（　　）
A．x＜3 B．x＞﹣3 C． D．x＞9
4．如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（　　）
A．34° B．56° C．22° D．36°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，BE⊥AC于点E．若∠A＝22.5°，则图中的等腰三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知二元一次方程2x﹣y＝0的一组解为，正比例函数y＝kx经过点A（2，n+4），则k的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
7．如图，正方形ABCD的边长为12，E为CD的中点，连接BD，AE交于点F，连接CF，则tan∠FCD的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1经过点A（3，y1），B（﹣1，y2），且y2＞y1，下列说法错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．a＜1
C．抛物线与x轴有2个交点
D．若M（x0，y0）为抛物线上任意一点，则y0≥﹣1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式：x2﹣x＝　 　．
10．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为 　 　．
11．如图，A，B，C，D为圆O上的点，AB＝CD，且AB⊥CD于点E．若CE＝2，DE＝6，则OE的长为 　 　．
12．如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，AC∥y轴，BC∥x轴，D为BC的中点．若△ABC的面积为8，则该反比例函数的表达式为 　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，点E在边AC上，CE＝DE．若BC＝4，则△ABE的面积为 　 　．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：（2025﹣π）0+|3|+sin45°．
15．（5分）先化简，再求值：m（2m+n）﹣（m+n）2，其中m＝﹣1，n＝2．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，请用尺规作图法在△ABC的边BC的延长线上取一点M，使得∠BAM＝2∠BAC．（不写作图过程，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE⊥BD，垂足为F，且CE＝BD，连接AD，BE．求证：∠D＝∠E．
19．（5分）国家大力提倡绿色低碳出行，越来越多的人选择电动车出行．某车行销售的一款电动车每辆标价是3600元，在一次促销活动中，将这款电动车按标价的七析销售，仍可盈利20%，求每辆这款电动车的进价．
20．（5分）如图，两个标有数字的转盘分别被等分为四部分和三部分，它们可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个转盘上方的箭头各指着转盘上的一个数字．
（1）转动转盘1，转出的数字为5的概率是 　 　．
（2）同时转动两个转盘，请利用画树状图或列表的方法，求转出的两个数字的和为偶数的概率．
21．（6分）某兴趣小组准备测量广告牌的宽度MP，广告牌支架MN垂直于地面DN．现在兴趣小组利用无人机和激光笔测量，无人机位于距地面8米的位置上，无人机调整激光笔的角度．当激光笔A发出的光线恰好经过广告牌顶端M时，激光的光线落在地面点D处，此时DN＝10米；当激光笔A的光线恰好经过广告牌底端P时，激光的光线落在地面点C处，此时CN＝6米．已知广当牌底部P距离地面6米．求广告牌的宽度MP．（忽略光在空气中的折射，结果精确到0.01米）
22．（7分）汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度x（x＜100km/h）有一定的函数关系，相关统计数据如下表．
刹车时的速度x/（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离y/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
（1）请求出y关于x的函数关系式．
（2）若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？
23．（7分）“表里山河，锦绣山西”．山西具有丰富的旅游资源暑期将至．我省将迎来旅游潮，为提升服务质量，某景点对讲解人员进行考核，成绩分别为7分、8分、9分、10分．如图，这是①号小组10名成员的考核成绩条形统计图和统计表．
（1）根据以上信息：b＝　 　，c＝　 　，并将条形统计图补充完整．
（2）若小组成员平均成绩低于8.3分，则小组成员需要进修学习，通过计算a的值，判断①号小组成员是否需要进修学习．
（3）若该景区有100名讲解人员，根据①号小组成员的考核成绩，估计该景区讲解人员本次考核成绩在9分以上的人数．
24．（8分）如图，△ABE的顶点A，B在⊙O上，AE，BE与⊙O分别交于点F，D，AC为⊙O的直径，D为的中点，连接CD，DF．
（1）求∠DFE的度数．
（2）若AB＝4，，求AE的长．
25．（8分）陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（OA＝3米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面OA的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门MNPQ．若以O为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若安装的门的上端NP和窑洞相接，底边MQ在x轴上，求门的面积．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD为圆的内接四边形．已知∠C＝3∠A，BD＝4，则BAD的弧长为 　 　．
问题解决潮
（2）如图2，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板ABCD的长BC为10米，宽AB为6米．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形解部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边BC，CD相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板材料还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的小部件．已知该直线交AB于点M，与圆E交于点P，Q，且点P位于点Q的左侧，求MP的长．
2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A C B A B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9． x（x﹣1） 10． 8 11． 12． 13． 4．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解：（2025﹣π）0+|3|+sin45°
＝1+3﹣2
＝4．
15．解：m（2m+n）﹣（m+n）2
＝2m2+mn﹣m2﹣n2﹣2mn
＝m2﹣mn﹣n2，
当m＝﹣1，n＝2时，
原式＝（﹣1）2﹣（﹣1）×2﹣22
＝﹣1．
16．解：，
∴，
等式两边同时乘以（x+3）（x﹣3）得x（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝3，
去括号得x2﹣3x﹣x2+9＝3，
移项得x2﹣3x﹣x2＝3﹣9，
合并同类项得﹣3x＝﹣6，
系数化为1得x＝2，
检验：当x＝2时，最简公分母（x+3）（x﹣3）＝（﹣2+3）（﹣2﹣3）＝﹣5≠0，
∴x＝2时原分式方程的根．
17．解：如图，即为所作．
18．证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∵CE⊥BD于点F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠D＝∠E．
19．解：设每辆这款电动车的进价为x元．
由题意，得3600×70%﹣x＝20%x，
解得x＝2100，
答：每辆这款电动车的进价为2100元．
20．解：（1）转动转盘1，转出的数字为5的概率是．
答案：；
（2）列表如下．
3 6 7
2 （2，3） （2，6） （2，7）
4 （4，3） （4，6） （4，7）
5 （5，3） （5，6） （5，7）
8 （8，3） （8，6） （8，7）
由表格知，所有可能出现的结果有12种，且每一种结果出现的可能性相等，
转出的两个数字的和为偶数的结果有5种，分别为（5，3），（2，6），（4，6），（8，6），（5，7），
∴转出的两个数字的和为偶数的概率为．
21．解：由题意，可得NC＝6米，NP＝6米，∠PNC＝90°，∠AHC＝90°，
∴△NPC为等腰直角三角形，∠PCN＝45°．
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝AH＝8米，
∴NH＝CH﹣CN＝8﹣6＝2（米）．
∵DN＝10米，
∴DH＝NH+DN＝10+2＝12（米）．
∵∠AHC＝∠PNC＝90°，∠D＝∠D
∴△AHD∽△MND，
∴，即，
解得：米，
∵NP＝6米，
∴米．
22．解：（1）由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设y关于x的函数关系式为y＝kx，
将x＝20，y＝5代入，得5＝20k，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）由题意，得，
解得：x＜48，
∴车速应该限制在48km/h以内．
23．解：（1）考核成绩8分的有10﹣2﹣4﹣1＝3（人），
把10人成绩按低到高排列，最中间两个成绩是第5个、6个，分别是8分和9分，其平均数（分），故b＝8.5；
由统计图知，9分成绩出现的次数最多为4次，故得众数c＝9；
补全条形统计图如下：
答案：8.5；9．
（2）（分），
∵8.4＞8.3，
∴①号小组成员不需要进修学习；
（3）（人），
答：该景区讲解员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数约为50人．
24．解：（1）如图，连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为的中点，
∴，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∵，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵四边形ABDF是圆内接四边形，
∴∠B+∠AFD＝180°，
∵∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠B＝45°；
（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，
由（1）知，∠B＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴，
∵，
∴设AE＝5x，则EH＝3x，
∴AH2+EH2＝AE2，
即，
解得（负值已舍去），
∴．
25．解：（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点A（3，0）代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）设点M的坐标为，则点，
由对称性可得OM＝AQ，
∴MQ＝3﹣2m，
∴，
解得（舍去），
∴MN＝MQ＝3﹣2m＝2米，
∴门的面积为4平方米．
26．解：（1）设圆心为O，连接OB和OD，过点O作OH⊥BD，如图，
∵∠C＝3∠A，四边形ABCD为圆的内接四边形．
∴∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝45°，
则∠BCD＝135°，∠BOD＝90°，
∴∠BDO＝45°，
∵BD＝4，
∴，
∴，
则的弧长为，
答案：；
（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，交AB于点M，直线MO平分剩余木板面积．
过点E作EF⊥CD于点F，作EH⊥BC于点H．
则∠EFC＝∠EHC＝90°，∠ABC＝∠BCF＝90°，
由条件可知EF＝EH＝1．
延长FE交AB于点G，则∠BGF＝90°，
∴四边形GBHE为矩形，
∴BG＝EH＝1，GE＝BH＝9，
∴AG＝5．
过点O作ON⊥GE，交GE于点N，
由矩形性质可知：点N为GF的中点，
∴GN＝NF＝5，
∴NE＝4．
在Rt△ONE中，，．
∵ON∥AB，
∴△ONE∽△MGE，
∴，
∴，
∴．
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