湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题

湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题
1．（2024高三上·岳麓月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故选：B.
【分析】利用因式分解一元二次不等式即可化简集合，结合交集的概念即可得解.
2．（2024高三上·岳麓月考）复数，则z的虚部为（　　）．
A．3 B． C．i D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，
所以的虚部为
故选：B.
【分析】利用复数的除法运算（通过分母实数化的方法进行，即通过乘以分母的 共轭复数来实现）和复数的概念可得答案.
3．（2024高三上·岳麓月考）已知向量，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
所以根据投影向量的公式可得在上的投影向量：.
故选：A
【分析】根据投影向量的公式即可求解.
4．（2024高三上·岳麓月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递减，而且在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且，
因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
5．（2024高三上·岳麓月考）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，，所以，构造新的函数，
函数存在两个零点，
所以函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.
因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以时，取得极大值，且当时，，当时，，
所以要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.
故选：C.
【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.
6．（2024高三上·岳麓月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解： 将4个1和2个0随机排成一行 共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
7．（2024高三上·岳麓月考）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 C是的中点，所以，
因为， 且，
所以，，
又因为点P，M，N共线，所以根据平面向量共线定理可得.又，
所以，当且仅当时取等号，
故选：C.
【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）计算可得；
8．（2024高三上·岳麓月考）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：因为，而且
所以当时，，
因为函数在上存在最值，
所以，即，
所以当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
【分析】利用三角恒等变换化简三角函数解析式，然后根据整体法结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
9．（2024高三上·岳麓月考）下列说法中，正确的命题有（　　）
A．已知随机变量服从正态分布，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
【答案】A,B,C
【知识点】极差、方差与标准差；概率的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因，且，于是得，故A正确；
对于选项B，由得，依题意得，即，故B正确；
对于选项C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于选项D，依题意的方差为，故D不正确．
故选：ABC.
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式（ 方差计算公式为：方差 = 各数据与其平均数之差的平方的平均数）判断作答.
10．（2024高三上·岳麓月考）已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
【答案】B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
所以，
将的图象平移后能与函数的图象完全重合，
所以，解得，所以A错误；
对于B，此时，设得到的新函数为，
向右平移个单位长度后得出函数，
由正弦函数性质得是奇函数，所以B正确；
对于C，令，解得，
当时，，所以的图象关于点对称，所以C正确；
对于D，由题意得，，，
所以在上不单调，所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合正弦型函数的图象变换和已知条件，从而得出的值，则判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦函数的奇偶性判断出函数的奇偶性，则判断出选项B；利用换元法和正弦函数图象的对称性，则判断出正弦型函数的对称性，从而判断出选项C；利用已知条件和特殊函数的值，再结合函数的单调性，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高三上·岳麓月考）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．平面
C．的最小值为
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因为不在平面内，平面，
所以平面，又，
所以点到平面的距离为，
又为定值，
故定值，A正确；
对于选项B，因为，平面，平面，所以平面，
同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正确.
对于选项C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
连接，交于点，如图所示：
此时最小，最小值即为的长，
过点作⊥，交的延长线于点，
其中，
故，又勾股定理得，C正确；
对于选项D，点P在点B处，，C，，P四点共面，
四面体的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确.
故选：ABD
【分析】对于A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；对于B选项，根据线面平行的判定定理可得平面和平面，再根据面面平行的判定定理即可判断；
对于C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值；
对于D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积.
12．（2024高三上·岳麓月考）记为等差数列的前项和，若，则　 　.
【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
13．（2024高三上·岳麓月考）数列的前项和为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为①，所以②，
所以两式相减得，化简可得，，
因为，所以令可得，
所以，而且不适合上式，
故填：.
【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.
14．（2024高三上·岳麓月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
的内切圆与三边分别切于点，
因为，所以，
因为，所以，则，
则，即，
因为，
所以，可得，
又因为，
所以，化简可得，
且，解得，
所以椭圆的离心率是．
故填：.
【分析】根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值。结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得，即可求得椭圆的离心率.
15．（2024高三上·岳麓月考）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：因为，
所以由二倍角公式可得，因为为钝角，
而且，所以，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）解：选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
，
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
，
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
16．（2024高三上·岳麓月考）某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
　 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 　 25 　
女生 35 　 　
合计 　 　 　
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：根据题中信息可得如下列联表 ：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）解：零假设：假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）解：X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
【知识点】分布的意义和作用；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）利用题中信息即可统计数据求解.
（2）利用独立性检验计算卡方值即可求解.
（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望（若随机变量，则随机变量的期望计算公式为）.
（1）
　 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）零假设：假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
17．（2024高三上·岳麓月考）如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．
因为平面平面ABC，且平面平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）解：由（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，故，，
又因为，
所以
即．
设平面ACM的一个法向量，
则令，则．
又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，
则，
所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由平面平面，再作，根据线面垂直的判定定理（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面）可证明平面，从而可得，又因为，所以可证明平面，即可证明；
（2）利用（1）以A为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形和等腰直角三角形，标出各点的空间坐标，对于点M满足，可用向量线性运算求出，最后利用空间向量法来解决直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．
因为平面平面ABC，且平面平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）由（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，，
又因为，
所以
即．
设平面ACM的一个法向量，
则令，则．
又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，
则，
所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．
18．（2024高三上·岳麓月考）已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】（1）解：设，
联立直线方程和抛物线方程，消去可得，，
根据韦达定理可得，
则，
即，因为，解得：．
（2）解：因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
联立方程可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
19．（2024高三上·岳麓月考）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值；
（3）若数列满足，对于，证明：.
【答案】（1）解：因为“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球 ……第层球数比第层球数多，
所以，则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）解：函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为0.
（3）证明：由（2）知，当时，，令，则，
则，
因此，
令，
于是，
两a式相减得，
因此，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得.
（2）利用导数说明函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），进而求出最小值.
（3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得.
（1）依题意，，则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为0.
（3）由（2）知，当时，，令，则，
则，
因此，
令，
于是，
两a式相减得，
因此，所以.
湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题
1．（2024高三上·岳麓月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·岳麓月考）复数，则z的虚部为（　　）．
A．3 B． C．i D．
3．（2024高三上·岳麓月考）已知向量，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·岳麓月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·岳麓月考）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·岳麓月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·岳麓月考）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
8．（2024高三上·岳麓月考）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·岳麓月考）下列说法中，正确的命题有（　　）
A．已知随机变量服从正态分布，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
10．（2024高三上·岳麓月考）已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
11．（2024高三上·岳麓月考）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．平面
C．的最小值为
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
12．（2024高三上·岳麓月考）记为等差数列的前项和，若，则　 　.
13．（2024高三上·岳麓月考）数列的前项和为，若，则　 　．
14．（2024高三上·岳麓月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是　 　．
15．（2024高三上·岳麓月考）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（2024高三上·岳麓月考）某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
　 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 　 25 　
女生 35 　 　
合计 　 　 　
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．（2024高三上·岳麓月考）如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高三上·岳麓月考）已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
19．（2024高三上·岳麓月考）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值；
（3）若数列满足，对于，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故选：B.
【分析】利用因式分解一元二次不等式即可化简集合，结合交集的概念即可得解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，
所以的虚部为
故选：B.
【分析】利用复数的除法运算（通过分母实数化的方法进行，即通过乘以分母的 共轭复数来实现）和复数的概念可得答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
所以根据投影向量的公式可得在上的投影向量：.
故选：A
【分析】根据投影向量的公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递减，而且在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且，
因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，，所以，构造新的函数，
函数存在两个零点，
所以函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.
因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以时，取得极大值，且当时，，当时，，
所以要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.
故选：C.
【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解： 将4个1和2个0随机排成一行 共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 C是的中点，所以，
因为， 且，
所以，，
又因为点P，M，N共线，所以根据平面向量共线定理可得.又，
所以，当且仅当时取等号，
故选：C.
【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）计算可得；
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：因为，而且
所以当时，，
因为函数在上存在最值，
所以，即，
所以当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
【分析】利用三角恒等变换化简三角函数解析式，然后根据整体法结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
9．【答案】A,B,C
【知识点】极差、方差与标准差；概率的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因，且，于是得，故A正确；
对于选项B，由得，依题意得，即，故B正确；
对于选项C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于选项D，依题意的方差为，故D不正确．
故选：ABC.
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式（ 方差计算公式为：方差 = 各数据与其平均数之差的平方的平均数）判断作答.
10．【答案】B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
所以，
将的图象平移后能与函数的图象完全重合，
所以，解得，所以A错误；
对于B，此时，设得到的新函数为，
向右平移个单位长度后得出函数，
由正弦函数性质得是奇函数，所以B正确；
对于C，令，解得，
当时，，所以的图象关于点对称，所以C正确；
对于D，由题意得，，，
所以在上不单调，所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合正弦型函数的图象变换和已知条件，从而得出的值，则判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦函数的奇偶性判断出函数的奇偶性，则判断出选项B；利用换元法和正弦函数图象的对称性，则判断出正弦型函数的对称性，从而判断出选项C；利用已知条件和特殊函数的值，再结合函数的单调性，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因为不在平面内，平面，
所以平面，又，
所以点到平面的距离为，
又为定值，
故定值，A正确；
对于选项B，因为，平面，平面，所以平面，
同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正确.
对于选项C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
连接，交于点，如图所示：
此时最小，最小值即为的长，
过点作⊥，交的延长线于点，
其中，
故，又勾股定理得，C正确；
对于选项D，点P在点B处，，C，，P四点共面，
四面体的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确.
故选：ABD
【分析】对于A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；对于B选项，根据线面平行的判定定理可得平面和平面，再根据面面平行的判定定理即可判断；
对于C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值；
对于D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积.
12．【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为①，所以②，
所以两式相减得，化简可得，，
因为，所以令可得，
所以，而且不适合上式，
故填：.
【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
的内切圆与三边分别切于点，
因为，所以，
因为，所以，则，
则，即，
因为，
所以，可得，
又因为，
所以，化简可得，
且，解得，
所以椭圆的离心率是．
故填：.
【分析】根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值。结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得，即可求得椭圆的离心率.
15．【答案】（1）解：因为，
所以由二倍角公式可得，因为为钝角，
而且，所以，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）解：选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
，
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
，
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
16．【答案】（1）解：根据题中信息可得如下列联表 ：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）解：零假设：假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）解：X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
【知识点】分布的意义和作用；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）利用题中信息即可统计数据求解.
（2）利用独立性检验计算卡方值即可求解.
（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望（若随机变量，则随机变量的期望计算公式为）.
（1）
　 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）零假设：假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
17．【答案】（1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．
因为平面平面ABC，且平面平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）解：由（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，故，，
又因为，
所以
即．
设平面ACM的一个法向量，
则令，则．
又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，
则，
所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由平面平面，再作，根据线面垂直的判定定理（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面）可证明平面，从而可得，又因为，所以可证明平面，即可证明；
（2）利用（1）以A为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形和等腰直角三角形，标出各点的空间坐标，对于点M满足，可用向量线性运算求出，最后利用空间向量法来解决直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．
因为平面平面ABC，且平面平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）由（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，，
又因为，
所以
即．
设平面ACM的一个法向量，
则令，则．
又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，
则，
所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：设，
联立直线方程和抛物线方程，消去可得，，
根据韦达定理可得，
则，
即，因为，解得：．
（2）解：因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
联立方程可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
19．【答案】（1）解：因为“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球 ……第层球数比第层球数多，
所以，则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）解：函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为0.
（3）证明：由（2）知，当时，，令，则，
则，
因此，
令，
于是，
两a式相减得，
因此，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得.
（2）利用导数说明函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），进而求出最小值.
（3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得.
（1）依题意，，则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为0.
（3）由（2）知，当时，，令，则，
则，
因此，
令，
于是，
两a式相减得，
因此，所以.