云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2025届高三上学期开学适应性考试数学试卷

云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2025届高三上学期开学适应性考试数学试卷
1．（2024高三上·玉溪开学考）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·玉溪开学考）已知复数（为虚数单位），则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．100
3．（2024高三上·玉溪开学考）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
4．（2024高三上·玉溪开学考）函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2024高三上·玉溪开学考）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·玉溪开学考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·玉溪开学考）若“，”为假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·玉溪开学考）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数之和为32 B．第3项的二项式系数最大
C．常数项为60 D．有理项的个数为3
10．（2024高三上·玉溪开学考）已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（　　）
A．椭圆的离心率为
B．若，则
C．直线的斜率与直线的斜率之积等于
D．符合条件的点有且仅有2个
11．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数的定义域为R，，，则(　　)
A． B．函数是奇函数
C． D．的一个周期为3
12．（2024高三上·玉溪开学考）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值　 　.
（参考数据：若，则，）
13．（2024高三上·玉溪开学考）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是　 　．
14．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为　 　.
15．（2024高三上·玉溪开学考）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．
16．（2024高三上·玉溪开学考）2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 9 11 14 26 20
其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.
（1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：
　 满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？
（3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：①；
②，其中.
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：.
17．（2024高三上·玉溪开学考）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
（1）求证：EF⊥平面PBC；
（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．
18．（2024高三上·玉溪开学考）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024高三上·玉溪开学考）设实系数一元二次方程①，有两根，
则方程可变形为，展开得②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根，则有③
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
（2）已知函数恰有两个零点.
（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；
（ii）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：因为，，
所以当时，易求；
当时，由得，或2.
综上得：
故选：C．
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集（空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
2．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，所以，
故选：C.
【分析】先利用复数的运算性质先得到复数，再利用复数模的运算法则从而求得.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与
最小值并未改变，所以极差一定不变，
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
故选：C
【分析】根据题意，由平均数，中位数（按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数），极差（一组数据中最大值与最小值之差）以及众数的定义，即可判断.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由解析式知：，
∴时，递增；或时，递减；
结合各选项易知：A符合要求.
故选：A
【分析】对求导，理由导数正负与函数单调性关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）确定的单调性，即可确定大致图象.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
因为，知两点关于轴对称，
设，
所以，解得，
所以，所以，
所以，所以.
故选：C
【分析】根据题意可设，，利用三角形面积公式算出，再结合图形求出.
6．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为向量以为基底时的坐标为，
所以，
设，
由空间向量基本定理得，解得，
所以以为基底时的坐标为.
故选：B
【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理（空间内的任一向量都可以由该空间内三个不共面的向量通过线性组合（即数乘和加法）唯一地表示出来）列出关于的方程组，可求得答案.
7．【答案】C
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
故选：C.
【分析】转化假命题为命题的否定，就变成了为真命题，此时将任意量词改为存在量词，不等式方向也得相反，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
【分析】先利用导函数(如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减)得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误；
因为，
令，，∴，故C正确；
当为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】根据题意，由赋值法和二项式系数的性质，从而得出偶数项的二项式系数之和，则判断出选项A；根据二项式，当时的值最大，则得出第4项的二项式系数最大，从而判断出选项B；利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合常数项的定义和有理项的定义，则判断出选项C和选项D，进而找出真命题的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：对于A选项，，，因为即，
解得，所以离心率，故选项A正确；
对于B选项，若，连接，
在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，
所以，又因为，所以解得，
所以，故选项B错误；
对于C选项，设，，
则，，，
因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
从而，所以，故选项C正确；
对于D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，
又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故答案为：AC．
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
12．【答案】7（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）
【知识点】随机数的含义与应用；概率的应用
【解析】【解答】解：因为某省某次数学学业水平考试成绩服从正态分布 ，
则，解得.
故填：（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）.
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解.
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品，
，，，，
所以，
.
所以任取1件产品的概率为.
故填：
【分析】先用字母表示出相关事件，根据题意得出相关事件的概率，再利用全概率公式，即可求解.
14．【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由图象可得，解得，
所以，由，
由图，
即，
由，得.
故，
在中，，
因为，即，
设角的对边为，由，
则，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积最大值为.
故填：.
【分析】先由图象和三角函数的周期计算公式依次求解的值，由，代入解析式求，在中，设三边，由已知对边角，利用余弦定理与重要不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最大值，从而得面积的最大值.
15．【答案】解：（Ⅰ）因为，所以①
因为，，成等比数列，所以，所以化简得，
若，
若，②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是或
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质进行求解；
（Ⅱ）利用裂项相消求和法进行求解.
16．【答案】（1）解：由题意可得，，，
，所以.
所以“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）解：由题意：
满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
所以，
所以有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）解：易知9人中满意的有5人，不满意的有4人由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
【知识点】变量相关关系；线性相关；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）求出，，，，再根据参考公式可计算出，即可得出答案；
（2）计算出，与临界值比较可得答案；
（3）求处X的可能取值及对应概率，可得分布列和期望.
（1）由题意可得，，
，
，
∴.
∴“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意：
　 满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
∴，
∴有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
17．【答案】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
（2）解：以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，且，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即，∴，
取，得，，则，
因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，
所以，化简得，
又因为，所以，
解得：，即，
所以，即.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判断定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）证明平面，再证明，即可证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解.
（1）证明：因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
（2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，且，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即，∴，
取，得，，则，
因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，
所以，化简得，
又因为，所以，
解得：，即，
所以，即.
18．【答案】解：（1）因为
原点到直线AB：的距离，
所以 故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得.
设，则
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，
可得 把代入，
解得：
解，得，满足，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的性质进行求解；
（2）将直线方程和椭圆方程进行联立消去y，再利用韦达定理进行求解．
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
19．【答案】（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得
（2）解：（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将展开，对比两个方程即可得证；
（2）（i）由一元三次方程的韦达定理可得两根关系，根据两根符号即可得证；
（ii）利用两根表示出，消去，令可得，利用导数判断单调性，然后可得.
【点睛】
思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；（3）含有参数时要注意分类讨论.
（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得.
（2）（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.
云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2025届高三上学期开学适应性考试数学试卷
1．（2024高三上·玉溪开学考）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：因为，，
所以当时，易求；
当时，由得，或2.
综上得：
故选：C．
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集（空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
2．（2024高三上·玉溪开学考）已知复数（为虚数单位），则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．100
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，所以，
故选：C.
【分析】先利用复数的运算性质先得到复数，再利用复数模的运算法则从而求得.
3．（2024高三上·玉溪开学考）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与
最小值并未改变，所以极差一定不变，
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
故选：C
【分析】根据题意，由平均数，中位数（按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数），极差（一组数据中最大值与最小值之差）以及众数的定义，即可判断.
4．（2024高三上·玉溪开学考）函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由解析式知：，
∴时，递增；或时，递减；
结合各选项易知：A符合要求.
故选：A
【分析】对求导，理由导数正负与函数单调性关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）确定的单调性，即可确定大致图象.
5．（2024高三上·玉溪开学考）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
因为，知两点关于轴对称，
设，
所以，解得，
所以，所以，
所以，所以.
故选：C
【分析】根据题意可设，，利用三角形面积公式算出，再结合图形求出.
6．（2024高三上·玉溪开学考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为向量以为基底时的坐标为，
所以，
设，
由空间向量基本定理得，解得，
所以以为基底时的坐标为.
故选：B
【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理（空间内的任一向量都可以由该空间内三个不共面的向量通过线性组合（即数乘和加法）唯一地表示出来）列出关于的方程组，可求得答案.
7．（2024高三上·玉溪开学考）若“，”为假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
故选：C.
【分析】转化假命题为命题的否定，就变成了为真命题，此时将任意量词改为存在量词，不等式方向也得相反，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.
8．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
【分析】先利用导函数(如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减)得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可.
9．（2024高三上·玉溪开学考）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数之和为32 B．第3项的二项式系数最大
C．常数项为60 D．有理项的个数为3
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误；
因为，
令，，∴，故C正确；
当为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】根据题意，由赋值法和二项式系数的性质，从而得出偶数项的二项式系数之和，则判断出选项A；根据二项式，当时的值最大，则得出第4项的二项式系数最大，从而判断出选项B；利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合常数项的定义和有理项的定义，则判断出选项C和选项D，进而找出真命题的选项.
10．（2024高三上·玉溪开学考）已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（　　）
A．椭圆的离心率为
B．若，则
C．直线的斜率与直线的斜率之积等于
D．符合条件的点有且仅有2个
【答案】A,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：对于A选项，，，因为即，
解得，所以离心率，故选项A正确；
对于B选项，若，连接，
在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，
所以，又因为，所以解得，
所以，故选项B错误；
对于C选项，设，，
则，，，
因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
从而，所以，故选项C正确；
对于D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，
又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项.
11．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数的定义域为R，，，则(　　)
A． B．函数是奇函数
C． D．的一个周期为3
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故答案为：AC．
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
12．（2024高三上·玉溪开学考）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值　 　.
（参考数据：若，则，）
【答案】7（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）
【知识点】随机数的含义与应用；概率的应用
【解析】【解答】解：因为某省某次数学学业水平考试成绩服从正态分布 ，
则，解得.
故填：（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）.
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解.
13．（2024高三上·玉溪开学考）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是　 　．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品，
，，，，
所以，
.
所以任取1件产品的概率为.
故填：
【分析】先用字母表示出相关事件，根据题意得出相关事件的概率，再利用全概率公式，即可求解.
14．（2024高三上·玉溪开学考）已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由图象可得，解得，
所以，由，
由图，
即，
由，得.
故，
在中，，
因为，即，
设角的对边为，由，
则，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积最大值为.
故填：.
【分析】先由图象和三角函数的周期计算公式依次求解的值，由，代入解析式求，在中，设三边，由已知对边角，利用余弦定理与重要不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最大值，从而得面积的最大值.
15．（2024高三上·玉溪开学考）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．
【答案】解：（Ⅰ）因为，所以①
因为，，成等比数列，所以，所以化简得，
若，
若，②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是或
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质进行求解；
（Ⅱ）利用裂项相消求和法进行求解.
16．（2024高三上·玉溪开学考）2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 9 11 14 26 20
其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.
（1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；
（2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：
　 满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？
（3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：①；
②，其中.
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：.
【答案】（1）解：由题意可得，，，
，所以.
所以“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）解：由题意：
满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
所以，
所以有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）解：易知9人中满意的有5人，不满意的有4人由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
【知识点】变量相关关系；线性相关；实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）求出，，，，再根据参考公式可计算出，即可得出答案；
（2）计算出，与临界值比较可得答案；
（3）求处X的可能取值及对应概率，可得分布列和期望.
（1）由题意可得，，
，
，
∴.
∴“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性.
（2）由题意：
　 满意 不满意 总计
男 45 10 55
女 25 20 45
总计 70 30 100
∴，
∴有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.
（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
17．（2024高三上·玉溪开学考）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
（1）求证：EF⊥平面PBC；
（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．
【答案】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
（2）解：以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，且，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即，∴，
取，得，，则，
因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，
所以，化简得，
又因为，所以，
解得：，即，
所以，即.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判断定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）证明平面，再证明，即可证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解.
（1）证明：因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
（2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，，且，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即，∴，
取，得，，则，
因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，
所以，化简得，
又因为，所以，
解得：，即，
所以，即.
18．（2024高三上·玉溪开学考）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）因为
原点到直线AB：的距离，
所以 故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得.
设，则
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，
可得 把代入，
解得：
解，得，满足，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的性质进行求解；
（2）将直线方程和椭圆方程进行联立消去y，再利用韦达定理进行求解．
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
19．（2024高三上·玉溪开学考）设实系数一元二次方程①，有两根，
则方程可变形为，展开得②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根，则有③
（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
（2）已知函数恰有两个零点.
（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；
（ii）求的取值范围.
【答案】（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得
（2）解：（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将展开，对比两个方程即可得证；
（2）（i）由一元三次方程的韦达定理可得两根关系，根据两根符号即可得证；
（ii）利用两根表示出，消去，令可得，利用导数判断单调性，然后可得.
【点睛】
思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；（3）含有参数时要注意分类讨论.
（1）证明：因为方程有三个根，
所以方程即为，
变形为，
比较两个方程可得.
（2）（i）证明：有两个零点，
有一个二重根，一个一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
联立上两式可得，解得，
又，综上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，则，
，当时，，
在上单调递增，，
.