6.2排列与组合 同步练习（含答案） 高二数学人教A版（2019）选择性必修三

6.2 排列与组合
教材课后习题
1.先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）.
2.先计算，然后用计算工具检验：
（1）
（2）
（3）
（4）.
3.壹圆、伍圆、拾圆、珬拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
4.填空题
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_________；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是_________；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是_________；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是__________.
5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
6.（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
7.在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？
8.求证：
（1）；
（2）.
9.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？
10.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.
（1）每个小组有多少种选法？
（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？
（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？
11.一个有个数的数值方阵，最上面一行中有n个互不相同的数.能否由这n个数以不同的顺序形成其余的每一行，并使任意两行的顺序都不相同？如果一个数阵有m行，而且每行有n个互不相同的数，为使每一行都不重复，m可以取多大的值？
12.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？
13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
14.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.
（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
15.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
16.根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖.
（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？
（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？
17.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？
18.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？
19.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？
定点变式训练
20.已知，则x等于( )
A.6 B.13 C.6或13 D.12
21.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到2所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A.35 B.40 C.50 D.70
22.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动.根据需要，要安排这4名同学去甲、乙2个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有( )
A.20种 B.14种 C.12种 D.10种
23.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，篮球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个场馆至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为( )
A. B. C. D.
24.某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每个数字都可以是0~9这十个数字中的一个），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5，则该密码可能的情况数为__________.
25.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，.且.这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的x的个数为___________.
26.（1）现有甲、乙、丙、丁、戊共五架战机依次着辽宁舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）
（2）若甲、乙两人从六门课程中各选修三门，则甲、乙所选的课程中恰有两门相同的选法有多少种？（列简式，算出结果）
答案以及解析
1.答案：（1）348
（2）64
解析：（1）；
（2）.
检验：（1）；
（2）
.
2.答案：（1）455
（2）1313400
（3）
（4）
解析：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
检验：（1）；
（2）；
（3）.
3.答案：15种
解析：由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，
所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，
共有不同的面值种.
4.答案：（1）10
（2）60
（3）243
（4）mn
解析：（1）由于选出的人没有位置差异，所以是组合问题，不同方法的种数是.
（2）由于礼物互不相同，与送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法的种数是.
（3）由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响，
所以是一个“可重复排列”问题，不同方法的种数是.
（4）由于只是取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素.
第一步，从集合A中取，有m种取法；第二步，从集合B中取，有n种取法.
所以共有取法mn种.
5.答案：（1）665280
（2）103680
解析：（1）12本书各不相同，放法与顺序有关，是排列问题，不同放法数是.
（2）先把同类的书“捆绑”，3类书排列好后，再进行同类之间的排列，故放法数为.
6.答案：（1）56
（2）210
解析：（1）由于“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面数是.
（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，且与四个点的顺序无关，
所以共可确定的四面体个数是.
7.答案：24
解析：由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题.
可以分三步分别从第1，2，3题中选题，
不同的选法种数为.
8.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）；
（2）.
9.答案：288种
解析：可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有种排法；
第二步，安排3个舞 节目，共有种排法；
第三步，安排2个曲艺节目，共有种排法.
所以不同的排法有种.
10.答案：（1）495种
（2）1980种
（3）11880种
解析：（1）选4名同学，是一个组合问题，有种；
（2）先选4名同学，再从中指定1名替补，有种；
（3）有顺序，是一个排列问题，有种.
11.答案：
解析：由于n个不同元素的全排列共有个，而，
所以由n个不同的数可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同.
为使每一行都不重复，m可以取的最大值是.
12.答案：（1）360个
（2）1440个
解析：（1）先取元素后排列，分取“0”与不取“0”两类，分类完成.
第一类，取“0”，5个数字的取法共有种，排列时0不能在首位，有种排法，其他4个数字有种排法，共有个；
第二类，不取“0”，5个数字的取法共有种，5个数字随便排，有种排法，共有个.
（2）由题意知，百万位只能是5或6，其余数位可任意排，故可组成个没有重复数字，且比5000000大的正整数.
13.答案：（1）60种
（2）21种
（3）91种
（4）120种
解析：由于选出的人的位置没有差 ，所以是组合问题.
（1）有种选法.
（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有种选法.
（3）用直接法，则可分为3类：只含男甲，只含女乙，同时含男甲、女乙，得到符合条件的选法数为.
（4）用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为.
14.答案：（1）63种
（2）31种
解析：（1）按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人没有顺序差异，
所以不同的去法有种.
（2）甲、乙都去：有种；
甲、乙都不去：有种.
共有种.
15.答案：（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
解析：（1）有种；
（2）有种；
（3）有种；
（4）有种.
16.答案：（1）注彩票中可有一个一等奖
（2）6个
解析：（1）从37个数中选7个数有种方法，
其中与一等奖的7个数完全相同的只有一注，即注彩票中可有一个一等奖.
（2）设取x个数，则，且，
解得.可在37个数中取6个.
17.答案：180
解析：可以按照Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的顺序着色，分别有5，4，3，3种着色方法，
所以不同的着色方法种数为.
18.答案：84种
解析：除发信息的人以外，该“群”里还有9人，其中与发信息这人是“好友”关系的有3人，故“好友”关系的情况共有种.
19.答案：54种
解析：由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有种可能；
乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一个，有种可能；
上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有种排法.
所以名次排列的可能情况的种数是.
20.答案：A
解析：因为，所以，所以，解得或（不合题意，舍去）.故选A.
21.答案：C
解析：将6名学生分成两组，每组不少于2人的分组中，可分成一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为.故选C.
22.答案：B
解析：先将4名同学分为两组，则两组人数可能为1，3或2，2.当两组人数为1，3时，有（种）方法，当两组人数为2，2时，有（种）方法，所以将这4名同学分为两组，共有（种）方法，再将这两组同学分配到2个文明实践站，有（种）方法，所以根据分步乘法计数原理，得共有（种）不同的安排方法.故选B.
23.答案：D
解析：5名志愿者分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1，1或2，2，1，
当分为3，1，1时，有（种）分配方法，
当分为2，2，1时，有（种）分配方法，即共有（种）分配方法，
其中志愿者甲、乙到同一场馆，将甲、乙看作一个整体，情况有（种）分配方法，
故志愿者甲、乙到同一场馆的概率为，
故选：D.
24.答案：120
解析：由题意知，前两个数字可以从7，8，9中任取2个排列，有种排列方法，后两个数字可以从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个排列，有种排列方法.由分步乘法计数原理可知，该密码可能的情况数为.
25.答案：48
解析：根据题意，注意到1，4，2，8，5，7这6个数字中，，将它们分成三组，，.
由题意知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数字的不同排列，其个数为.
26.答案：（1）24种
（2）180种
解析：（1）甲、乙两机必须相邻，把甲、乙看作一个整体和戊全排列，共有种方法，
而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的三个空位中，有种方法，
再按分步乘法计数原理可得，共有（种）方法.
（2）甲、乙所选的课程有两门相同，从六门中选两门，有种选法，
再从余下的四门课程中选两门分别给甲、乙，有种选法，
故按分步乘法计数原理可得，共有（种）选法.