2024-2025湖南省益阳市沅江市第三中学高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省沅江市第三中学高一下学期3月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的零点分别为，则( )
A. B. C. D.
6.已知分别是的边上的点，且满足与相交于点，连接并延长交于点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过 恰好能抓获毒贩．
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过点
B. 函数与表示同一个函数
C. 函数的最小值为
D. 若关于的不等式的解集为或，则
10.已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则在上的投影向量为
B. 若两两的夹角相等，且，则
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，且，则的面积是面积的
11.函数满足对任意实数，有，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 是偶函数
C. D. 存在实数使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则实数 ．
13.在中，角所对的边分别为若，则 ．
14.已知函数，若存在两个零点，且，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的坐标；
若，求与夹角的余弦值；
求的最大值．
16.本小题分
在中，分别为内角所对的边，已知．
求；
若的面积为，求．
17.本小题分
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
曲线段上的入口距海岸线的距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度；
如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置．
18.本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求；
求在区间上的单调递增区间；
将的图象上所有的点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的图象，若且，求的值．
19.本小题分
对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义注：是指满足且的最小自然数．
设，请直接写出集合；
设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；
对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，设，则，
所以，即或．
因为，所以得到，
解得．
因为，
所以，当且仅当同向时等号成立．

16.解：由及正弦定理可得
．
，
，又，
即，
，即．
由及余弦定理可得．
由的面积，得，
又，
，故．

17.解：由已知条件，得，
又，
又当时，有，且，
曲线段的解析式为．
由，根据图象得到，
解得，
又．
景观路的长为千米．
易知，又，
，
记，在中，
．
即，
，又，中，．
所以．
故，，
当时，即时，矩形面积最大为平方千米，此时点在弧的中点上．

18.解：．
当时，，
且当时，取得最大值，即解得．
由知．
令，得，
当时，；当时，；当时，．
又在区间上的单调递增区间为与．
将的图象上所有的点向下平移个单位长度得到的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
即．
令，得，
的图象在内的对称轴为直线．
因且则，
．

19.解：若，由集合新定义知．
设有个元素，下证，
一方面，，则，
所以，即，
而，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有个元素矛盾，所以．
综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是．
一方面：先证，
，
因此只要，就有，
而，所以，
所以，即，
从而．
另一方面：如果，
那么，
从而，同理，
由定义得，即满足距离的三角不等式；
所以，即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为或或．

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