22.3实际问题与二次函数练习（含解析）

22.3 实际问题与二次函数 练习
一、单选题
1．如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接，，．设点M运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
2．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某广场上喷泉的两支水柱的示意图，从A、两点喷出的两条形状相同的抛物线形水柱在点处交汇，落地点分别是点、在同一水平线上），以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知，两支水柱的最高点到的距离均为，且两支水柱最高点的水平距离为，则两支水柱落地点的距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
6．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ）
A．假山上的点B到水平地面的距离为
B．水平方向上的长度为
C．
D．抛物线与的对称轴相同
7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ）
A． B． C． D．
8．下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为的正方形纸片中间剪去一个边长为的正方形纸片，剩下纸片的面积与；
②用长为的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长；
③某种商品的价格为6元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格与．其中变量与之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
9．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
11．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
12．如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（ ）
A．当电流增大时，消耗的电功率也增大
B．当时，的阻值最小
C．当时，的阻值为
D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0
二、填空题
13．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ．
14．如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米．
15．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论：
①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克；
②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克；
③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克．
因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高．
16．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ．
三、解答题
17．2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵以总分分获得冠军金牌，成功实现卫冕．如果将全红婵的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（图中标出数据为已知数据），她从跳台A处起跳到入水的过程中，竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系式．
(1)已知全红婵在完成某次跳水动作时，她在距离点A水平距离，距离水面的位置在空中到达最高点．
①求a，h，k的值；
②求此次跳水入水点离起跳点A的水平距离．
(2)全红婵进行第二次跳水训练时，她的竖直高度与水平距离之间满足函数关系式．她起跳后到达最高点D，从最高点D开始计时，到水面的距离与时间之间满足函数关系式．若全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，则b的取值范围是多少？
18．如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为．
(1)求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
(2)经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪．
19．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进．
(1)求该公司购进农产品的总质量．
(2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B D D C C A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），依据题意正确列出函数解析式并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，点M在上，点N在上，设，则，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质即可得出答案．
【详解】解：由题意知，点M在上，点N在上，
设，则，
，
，
该二次函数的图象开口向上，
当时，取得最小值，最小值为，
观察各选项可知，选项符合题意，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设，
把代入中得：，
；
设，
把代入中得：
，
解得：，
；
设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，
由题意得：
，
，
当时，，
，
当时，，
能获取的最大总利润是万元，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立函数关系式；由题意易得两支水柱的最高点坐标分别为，然后可设顶点式，进而把点M坐标代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：两支水柱的最高点坐标分别为，点，设其中一个水柱的函数关系式为，则有：，
解得：，
∴，
令，则有：，
解得：，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键．
【详解】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答．
【详解】解：由图可知抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得
∴抛物线为
当时，，
解得（舍去）或，
∴水流喷射的最远水平距离是5米，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项．
【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为，
当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为；
当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确；
由题意得，解得：，可知选项C正确；
由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，物线开口向上，
从18和72两个点可以看出对称轴，
所以最终对称轴的范围是，
即对称轴位于直线与直线之间，
所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系．根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可．
【详解】解：①由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在内为减小的，但是图象弯曲弧度不对，则不可以利用题图所示的图象表示；
②由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在是增大的，则不可以利用题图所示的图象表示；
③由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向上，以为对称轴，可以利用题图所示的图象表示；
综上，③符合题意，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是．
故选：C．
10．A
【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可．
【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点，
∴，解得
∴该抛物线的解析式为
，
的周长，且是定值，所以只需最小，
如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则，
设直线的解析式为：则
，解得，
故该直线的解析式为 ，
当时，，即，
同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点，
如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长；
所以点在时，三角形的周长最小，
综上所述，符合条件的点P的坐标是，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P．
11．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故选B．
12．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，结合图象逐一判断即可解答，熟练运用二次函数的图象和性质解题是关键．
【详解】解：A、根据图像，当电流增大时，消耗的电功率先增大再减小，故该选项不符合题意；
B、根据，结合图象，可得当时，的阻值不是最小，故该选项不符合题意；
C、当时，的阻值为，故该选项不符合题意；
D、当时，的阻值为，根据电路的总电压不变可得，
解得，
则总电压为伏，
当电流为时，电路中的总阻值为，
则，
故滑动变阻器的电功率为，故选项正确，
故选：D．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可.
【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组：
解得
抛物线的解析式为
作轴交AC于E点，如图，
设的解析式为，则
解得
∴的解析式为，
设，，
，
当时，的面积的最大值是；
故答案为：
14．4
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
由函数解析式可得抛物线的对称轴为，解得，进而得到抛物线解析式为，然后说明喷头A的高度为c；由线段表示水池的宽于再根据米可得，则抛物线过点时喷头A的高度最大，然后将代入抛物线解析式求得c的值即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，解得：，
∴，
当时，，即喷头A的高度为c，
∵米，
∴，
∴当抛物线过点时，喷头A的高度最大，
∴，解得：，
∴喷头A的最大高度为4米．
故答案为4．
15．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：将点、、代入中得：
，
解得：，
，
，
当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次函数的应用，先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：，
∴从点火升空到引爆需要的时间为，
故答案为：．
17．(1)①，，．②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）①根据顶点式的含义可直接求出，，再将代入解析式可求出．
②令，可求出入水点离起跳点A的水平距离．
（2）求出的最高点得出，令，得，根据到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，得出求解即可．
【详解】（1）解：①由题意，得，抛物线的顶点坐标为，
∴，，∴．
将代入，得，
解得．
②由①得，．
令，解得，（舍去）．
，
∴此次跳水入水点离起跳点A的水平距离为．
（2）解：∵竖直高度与水平距离之间满足函数关系式，
∴点D的横坐标为，代入，得，
∴．
令，得，解得．
∵全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，
∴，即，
解得．
18．(1)
(2)不需要修建
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是∶
（1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中所求的解析式，求出点C的横坐标，即可判断．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：不需要修建，
理由如下：
把代入，
得，
解得，（舍去），
∵，
∴不需要修建．
19．(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可；
（3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
当时，，解得，
∴点B、C的坐标分别为：，
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的表达式为： ，
则直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则，
即点或，
当M在上方时，
同理可得直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解；
故点或；
（3）由题意可得，
∴点，
连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，
∵，
则点T是的中点，
由（1）知，的表达式为：，
设点，
∵，，
∴
解得
∴,
解得，
∴点，
由中点坐标公式得，点，
由点B、H的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，
则点．
20．(1)该公司购进农产品的总质量为80吨；
(2)公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元．
【分析】本题考查了分式方程和二次函数的应用．熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、成本的关系，列方程，列函数解析式，是解题的关键．
（1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：，然后进行计算即可解答；
（2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（吨），
∴该公司购进农产品的总质量为80吨；
（2）解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，
由题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，元，
故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元．