浙教版数学八年级下册第5章 特殊平行四边形 综合素质评价（含答案）

第5章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（ ）
（第1题）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，是的中点，是的中点，连结.如果，那么菱形的周长等于（ ）
（第2题）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
4．如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（ ）
（第4题）
A． B． C．5 D．4
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，交于点，，则的度数为（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，分别以点,为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点,，作直线，交轴于点，则点的坐标是（ ）
（第6题）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，正方形如图摆放，若顶点,的坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
（第7题）
A． B． C． D．
8．如图①，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点,，使得四边形是菱形，现有图②中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙
C．甲和乙 D．甲乙都不是
9．已知四边形的两条对角线与互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当,时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当,时，四边形是正方形
10．如图，在正方形中，点的坐标是，点,分别在边,上，.若 ，则点的纵坐标是（ ）
（第10题）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．如图，矩形的对角线与相交于点， ，，则的长是______.
（第11题）
12．的对角线与相交于点，且，请添加一个条件：________________________________，使得为正方形.
13．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为______.
（第13题）
14．如图，四边形是菱形， ，对角线，相交于点，于点，连结，则__ .
（第14题）
15．如图，已知在菱形和正方形中，，，连结，则线段的长为__________.
（第15题）
16．如图，把一张矩形纸片按如上方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连结，第二次将沿着所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，则该矩形纸片的长宽比的值为______.
（第16题）
三、解答题（本题有7小题,共66分）
17．（6分）如图，在的方格纸中，点,在格点上.请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上）.
（1） 在图①中画一条平行于，且与相等的线段.
（2） 在图②中画一条与垂直的线段.
（3） 在图③中画一条平分线段的线段.
18．（8分）如图，矩形的对角线相交于点，，.求证：四边形是菱形.
19．（8分）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，为的中点，若 ，求的长.（注：在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半）
20．（10分）如图，在中，，为边上一点，以，为邻边作平行四边形，连结，.
（1） 求证：；
（2） 若是的中点，求证：四边形是矩形.
21．[2024·台州椒江区月考]（10分）如图，在四边形中，对角线,相交于点，，，延长至点，使，连结.
（1） 当时，求证：；
（2） 当，且时，求证：四边形为正方形.
22．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1） 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图①，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图②），即“一线三等角”模型和“字”模型.
① ②
请在图②中选择其中一个模型证明；
（2） 【模型应用】如图③，在正方形中，，，求的面积；
③
（3） 如图④，在四边形中，，，，，，，求的面积.
④
23．（12分）
【实践探究】 如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成__ 的角.
①
【知识应用】
（1） 小明按照上面的方法剪出两个边长为1的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形（点 为正方形 的中心）的面积为________;
②
（2） 小明发现，正方形在绕点转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积之间存在一定的数量关系，如图③，写出该数量关系，并予以证明.
③
【拓展延伸】 小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且 .如图④放置，其中是的中点，点在的延长线上，，当的中点在线段上，时.请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积.
④
【参考答案】
第5章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．D
2．D
3．D
4．A
5．A
6．A
7．B
8．C
【点拨】方案甲： 四边形是菱形，
，，.
，
，即.
四边形是平行四边形.
又，
四边形是菱形，故方案甲正确；
方案乙： 四边形是菱形，.
.
平分，平分,
，.
.
在和中，
，，，
.
四边形是平行四边形.
又，
四边形是菱形，故方案乙正确.
故选.
9．C
10．A
【点拨】如图，连结，延长至点，使得，连结.
由题易知， ，
.
，.
,
.
，
即 .
.
在和中，
.
.
设，由题知，.
，
，，.
在中，，即，
解得 易知点的纵坐标为2.
故选.
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．6
12． （答案不唯一）
13．8
14．25
【点拨】 四边形是菱形，对角线,相交于点，
，且.
， 易知.
.
在中， ，
.
在菱形中，， ，
.
.
.
15．
【点拨】连结,，设,相交于点.
四边形是菱形，四边形是正方形，
易知点,在上.
.
在中，.
.
16．
【点拨】 四边形为矩形，
,,.
由第一次折叠可知， ，，
四边形为正方形.
.
.
由第二次折叠可知，.
，.
.
.
三、解答题（本题有7小题,共66分）
17．（1） 【解】如图①中，线段即为所求（答案不唯一）.
（2） 如图②中，线段即为所求（答案不唯一）.
（3） 如图③中，线段即为所求（答案不唯一）.
18．【证明】 四边形是矩形，
，.
又，
.又,
四边形是平行四边形.
又，
四边形是菱形.
19．【解】 四边形为菱形，
，.
.
，.
.
为的中点，.
.
.
,
.
.
.
20．（1） 【证明】 四边形是平行四边形，
,.
,,.
.
在和中，
.
（2） 四边形是平行四边形，
，.
，是的中点，
，.
,
四边形是平行四边形.
又，
四边形是矩形.
21．（1） 【证明】,
.
又,
四边形为平行四边形.
,
平行四边形为菱形.
.
又，
.
（2） 如图.
由（1）可知四边形为平行四边形，
，，.
，
.
四边形为平行四边形.
，.
平行四边形为菱形.
， .
四边形为正方形.
22．（1） 【证明】选第一个图形（同理可证第二个）.如图①，
,
,
.
又 ，，
.
（2） 【解】如图② ,过点作延长线的垂线，垂足为点,
同（1）可证，
，
.
（3） 【解】如图③，分别过点和点作延长线的垂线,，垂足分别为点,，
易知四边形是矩形，
.
.
同（1）可证,
.
.
23．【实践探究】 45
【知识应用】 （1）
（2） 【解】两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的.证明如下：
如图①，过点作于点，作于点，
易知四边形是正方形，
.
， ，
.
又 ，
.
在和中，
.
两个正方形重叠部分的面积等于正方形的面积.由（1）可知正方形的面积为. 正方形的面积为1, 两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的.
【拓展延伸】 两个等腰直角三角形重叠部分的面积为1.
【点拨】如图②，设与交于点，连结，过点作于点, .是的中点，.
在和中，
.
.
和都是等腰直角三角形，是的中点，
易知和都是等腰直角三角形.
易知.
,
易得..
在中，，
即.
.
， ，
.
又 ,
.易知 ，，
.
两个等腰直角三角形重叠部分的面积的面积.
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