2024-2025北师大数学九下 第二章 二次函数 练习（含答案）

2024-2025学年北师大数学九下 第二章 二次函数
一、选择题
抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
下列函数中，是二次函数的是
A． B．
C． D．
抛物线 是由抛物线 平移得到的，下列平移正确的是
A．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
B．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
D．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
关于抛物线 ，下列说法错误的是
A．开口向上 B．顶点在 轴上
C．对称轴是 D． 时， 随 增大而减小
一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
已知函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范
围是
A． B．
C． 且 D． 且
北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图（1）），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图（2）所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 ， 两点，拱高为 米（最高点 到 的距离为 米），跨径为 米（即 米），以最高点 为坐标原点，以平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为
A． B． C． D．
对于二次函数 ，当 时的函数值总是非负数，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D． 或
已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象（如图所示），当直线 与新图象有 个交点时， 的取值范围是
A． B．
C． D．
如图，在平行四边形 中，，，，点 从点 出发沿着 的路径运动，同时点 从点 出发沿着 的路径以相同的速度运动，当点 到达点 时，点 随之停止运动，设点 运动的路程为 ，，下列图象中大致反映 与 之间的函数关系的是
A． B． C． D．
二、填空题
抛物线 ，当 时，函数取得最 值．
如果抛物线 有最低点，那么 的取值范围为 ．
函数 的图象是抛物线，则 ．
如果点 、 是抛物线 上的两个点，那么 和 的大小关系是 （填“”或“”或“”）．
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 （米）与运动时间 （秒）之间的关系式为 ，那么小球抛出 秒后达到最高点．
已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为 ．
已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点 ，．如图所示，则能使 成立的 的取值范围是 ．
如图，一段抛物线：，记为 ，它与 轴交于点 ，；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ； 如此进行下去，直至得 ．若 在第 段抛物线 上，则 ．
三、解答题
如图所示是二次函数 的图象，试根据图象回答下列问题：
(1) 方程 的解为 ；
(2) 当 时，求 的取值范围；
(3) 当 时，求 的取值范围．
已知抛物线 ．
(1) 求这条抛物线的对称轴；
(2) 若该抛物线的顶点在 轴上，求其解析式；
(3) 设点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
如图，抛物线 过原点 和点 ， 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 当点 在直线 上方时，求线段 的最大值．
将抛物线 向右平移 个单位长度后所得到的抛物线如图所示，与 轴交于点 ．
(1) 求平移后所得抛物线的解析式；
(2) 平移后所得抛物线的对称轴上有一点 ，要使 的值最小，求点 的坐标．
一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 所示），拱高 ，跨度 ，相邻两支柱间的距离均为 ．
(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 所示），其表达式是 的形式．请根据所给的数据求出 ， 的值．
(2) 求支柱 的长度．
(3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 、高 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 万元/件．
(1) 如图，设第 个生产周期设备售价为 万元/件， 与 之间的关系用图中的函数图象表示．求 关于 的函数解析式（写出 的范围）；
(2) 设第 个生产周期生产并销售的设备为 件， 与 满足关系式 ．在（）的条件下，工厂第几次生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润 收入 成本）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左侧，与 轴交于点 ，其顶点为 ，点 的坐标为 ，该抛物线与 交于另一点 ，连接 ．
(1) 分别求点 ，， 的坐标；
(2) 动点 从点 出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒 个单位长度的速度运动，运动时间为 ，连接 ，，当 为何值时， 为等腰三角形？
(3) 在 轴下方的抛物线上，是否存在点 ，使得 被 平分？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1. A
2. C
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. ；大
12.
13.
14.
15.
16. ，
17. 或
18.
三、解答题
19.
(1) ，
(2) 根据图象，得当 时， 的取值范围是 ．
(3) 根据题意，得 ，
当 时，；
当 时，；
当 时，．
，
当 时， 的取值范围是 ．
20.
(1) 抛物线 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
(2) 抛物线的顶点在 轴上，
，
解得 或 ，
抛物线为 或 ．
(3) 抛物线的对称轴为 ，
关于直线 的对称点的坐标为 ，
当 时，要使 ，则 ；
当 时，要使 ，则 或 ．
21.
(1) 把 ， 代入 ，
得 解得
该抛物线的解析式为 ．
(2) ，
直线 的解析式为 ．
由题意，得 ，则 ，．
．
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
22.
(1) 将抛物线 向右平移 个单位长度后得到抛物线 ．
抛物线 与 轴交于点 ，
．解得 ．
平移后所得抛物线的解析式 ．
(2) 由（）知平移后抛物线的对称轴是直线 ．
如图，要使 的值最小，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，
则点 的坐标为 ．
连接 ， 与抛物线对称轴的交点即为所求点 ．
，
所在直线的解析式为 ，
点 在抛物线的对称轴直线 上，
．
23.
(1) 根据题目条件，，， 的坐标分别是 ，，．
将 ， 的坐标代入 ，得
解得
抛物线的表达式是 ．
(2) 可设 ，于是 ．
从而支柱 的长度是 米．
(3) 设 是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，则 点坐标是 即 ．
过 点作 垂直 交抛物线于点 ，
则 ．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
24.
(1) 由题图可知，当 时，，
当 时， 是关于 的一次函数，
设 ，把 ， 代入，
得 解得
所以 ，
所以 关于 的函数解析式为 ．
(2) 设第 个生产周期工厂创造的利润为 万元，
①当 时，，
由一次函数的性质可知，
当 时， 最大，；
②当 时，
所以当 时， 最大，．．
所以工厂第 个生产周期创造的利润最大，最大是 万元．
25.
(1) 令 ，得 ．解得 ，．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
令 ，得 ．
点 的坐标为 ．
(2) ，
点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ．
设 ，，则 ．
，．
由（）的 ，
，．
分三种情况：
①若 ，则 ，即 ．此方程无解．
②若 ，则 ，即 ．
解得 或 （不合题意，舍去），
．
③若 ，则 ，即 ．
解得 或 （不合题意，舍去），
．
综上，当 时， 为等腰三角形．
(3) 存在．
如图，
作点 关于 轴的对称点 连接 交抛物线于点 ，则 ．
由 ，，直线 的解析式为 ，
令 ，
解得 ，（不合题意，舍去），
当 时，．
．
综上，存在点 使得 被 平分．