辽宁省葫芦岛市绥中县2024-2025九年级上学期12月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年度第一学期第二次学情监测
九年级数学试卷
（本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、三象限 B．函数图象经过点
C．函数图象过，则 D．函数图象关于原点成中心对称
6．某单位决定从A，B、C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
8．如图，AB是⊙O的直径，半径为4，点C、D在⊙O上，，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．2 D．3
9．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，于点E．若，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 4 6 …
y … 8 18 20 18 …
下列四个结论中，①抛物线开口向下；②对称轴是直线；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．①②③
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_______．
12．在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程、共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量_______个．
13．圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是_______（结果用含π的式子表示）．
14．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩_______米．
5．如图，O是等边内一点，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是_______．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（8分）用适当方法解下列方程
（1）； （2）．
17．（8分）某校为进一步培养学生实践创新能力，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，该活动为学生准备了四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．筹备组将四项科学小实验依次制成如图所示的A，B，C，D四张不透明的卡片（卡片形状、大小、质地、背面完全相同），把四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．参与该活动的萌萌同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．
A．自动升高的水 B．不会湿的纸 C．漂浮的硬币 D．生气的瓶子
（1）萌萌从四张卡片中随机抽取一张，抽到“D．生气的瓶子”卡片的概率为_______；
（2）请用列表法或画树状图法求萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率．
18．（10分）如图，已知顶点的坐标分别为，按要求完成下列问题（作图时必须标注出顶点字母）；
（1）画出绕点O旋转的，并写出顶点坐标；
（2）画出绕点O顺时针旋转的；
（3）在（2）的旋转过程中，求点A旋转到点经过的路径长（结果保留π）；
19．（9分）某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果．
（1）若超市每天要获销售利润3080元．又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
（2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
20．（8分）如图是函数与函数在第一象限内的图象，点P是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点C，轴于点B，交的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
21．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作，垂足为点E，且．．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为4，求出图中阴影部分的面积．
22．（12分）[方法探索]
（1）如图1，在等边中，点P在内，且，求PB的长．
小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：
如图1，把绕着点A顺时针旋转得到连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长．解：把绕着点A顺时针旋转得到，连接．
请完成解题过程；
[方法应用]
请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：
（2）如图2，点P在等边外，且，求AB的长；
（3）如图3，在中，，P是外一点，连接PA、PB、PC．已知．求PC的长．
23．（12分）（生活中的数学----自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪）
背景素材：数学来源于生活，九一班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组：在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
乙小组：在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组：在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）．
（1）丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点，求出水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，，求OE的长；
（3）丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过．
求：①这个喷头最多可洒水多少平方米？
②在①的条件下，此时的长．
2024-2025学年度第一学期第二次学情监测
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B C D D A B A
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11． 12．6 13． 14．8 15．①②③⑤
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）解：，
，
，
方程有两个不等的实数根，
；
（2）解：，
，
或，
．
17．（1）；
（2）画树状图为：
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项
目“C．漂浮的硬币”的情况有9种，
所以P（萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”）
18．（1）解：如图，即为所求：；
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：由勾股定理得，，
∴点A旋转到点经过的路径长为，
19．（1）解：设销售单价应定为x元
由题意得，，
解得：．
∵要尽可能让顾客得到实惠
，
答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
（2）解：设所获利润y元，由题得
，
，当时，y有最大值，
答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元．
20．（1）∵点P在函数上，
∴设P点坐标为
点D在函数上，轴，
坐标为，
由题意得，
是BP的中点．
（2），
点在上，，
．
21．（1）证明：如图，连接，
，，
是的直径，，
，
又，，
，即，
又是的半径，是的切线；
（2）解：，
又，是等边三角形，
，
由（1）可知：，
，
于点，，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
22．（1）由旋转得到，
，
为等边三角形
，
，
在中，由勾股定理可得：
（2）如图，连接，把绕着点顺时针旋转得到，
，
为等边三角形，
，即三点共线．
，
作
在中，根据勾股定理可得：
在中，根据勾股定理可得：
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点做于点，
，
，
，
在中，，
，
由旋转的性质可得，
，
则，
在中，
，
，
在中，
23．（1）解：设抛物线的解析式为
由题意得抛物线过点
解得，
水柱所在抛物线的函数解析式为；
（2）．解：水柱所在抛物线的函数解析式为，
当时，，解，
点在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
，
在上，．
，，
的长为6米；
（3）解：①由题意得米，
这个喷头最多可酒水的面积为：（平方米），
答：这个喷头最多可酒水平方米；
②过点作于，
由题意得米，，
，
，
米，米，
米．