河南省南阳市第三中学2024—2025上学期12月份月考九年级数学试卷(含部分答案)

南阳市第三中学2024—2025学年上学期12月份月考九年级
数学试卷
一、选择题（共10小题30分）
1. 在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值的变化情况是（　　）
A. 都缩小为原来的 B. 都扩大为原来的2倍 C. 都没有变化 D. 不能确定
2. 下列关于二次函数的说法正确的是( )
A. 图象是一条开口向下抛物线 B. 图象与轴没有交点
C. 当时，随增大而增大 D. 图象顶点坐标是
3. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 二次函数，当时随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，点P从的顶点B出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点A．作于点D，点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、填空题（共5小题15分）
11. 若，则________．
12. 如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为________．
13. 如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则___________．
14. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝a﹣b，N＝4a+2b．则M、N的大小关系为M____N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15. 如图，在等腰直角三角形中，，，直角三角板（含角）的顶点在边上移一动（点不与，重合），直角三角板的这一条直角边始终经过点，斜边与边交于点．当为等腰三角形时，的长为________．
三、解答题（共8小题）
16. （1）计算：．
（2）解方程
17. 如图，，点为内一点，连接，，，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18. 已知二次函数．
（1）当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
19. 五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）
20. （1）知识重现：如图1，在中，，，，的对边分别为，，．
∵，，
∴，，
∴．
拓展探究：如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离．（结果保留根号）
21. 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为3m． 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最大高度为4m，如图所示．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；
（2）张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的张师傅是否被淋湿？
（3）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时， 才能使喷出的水流都落在水池内？
22. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 0 …
其中，________，________．
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；
（4）探究与应用：①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是________，②结合图象，直接写出关于的不等式解集．
23. 综合与实践：
（１）问题发现：如图，在中，，是外角平分线，则与的位置关系如何，并加以证明．
（2）问题解决：如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，求和线段的值．
（3）拓展迁移：如图，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点、（点在点上方），若，请直接写出的长为 ．
南阳市第三中学2024—2025学年上学期12月份月考九年级
数学试卷 简要答案
一、选择题（共10小题30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（共5小题15分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】1
【13题答案】
【答案】##0.2
【14题答案】
【答案】>
【15题答案】
【答案】或
三、解答题（共8小题）
【16题答案】
【答案】（1）；（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）①；②当时，
（2）
【19题答案】
【答案】旗杆AB的高度约为17米．
【20题答案】
【答案】（1），过程略；（2）
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）6米．
【22题答案】
【答案】（1）1，
（2）略 （3）性质一：函数图象关于轴对称；性质二：函数最小值为（答案不唯一）
（4）①②当且时，．
【23题答案】
【答案】（1）ADBC，证明略；（2），；（3）4或．