江苏省无锡市天一中学2024-2025九年级上学期数学期末模拟试卷（含答案）

2024-2025学年第一学期无锡市天一中学初三数学期末模拟考试
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ ▲ ）
A．x＋2＝3 B．x＋y＝1 C．x2－2x－3＝0 D．x2＋＝1
2．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是 （ ▲ ）
A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(2，3) D．(－2，3)
3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a－b的值为 （ ▲ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．5
4．已知⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP＝2cm，则点P （ ▲ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
5．已知二次函数y＝(x－1)2，(0，y1)，(2，y2)，(3，y3)为该二次函数图像上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 （ ▲ ）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为 （ ▲ ）
A．150° B．130° C．120° D．60°
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为 （ ▲ ）
A．3 B．4 C．8 D．6
8．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF，以B为圆心，BA为半径作弧，以E为圆心，ED为半径作弧，已知⊙O的半径为2，则边AF，CD与，围成的阴影部分面积为 （ ▲ ）
A．6－π B．6－π C．12－π D．12－π
9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C 是AB上一点，CB=3 ，OC=5 ，将扇形OAB绕点C逆时针旋转，得到扇形DEF，若点O刚好落在上的点E处，则AF的值为 （ ▲ ）
A． B． C． D．
10． 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，将△ADC沿着对角线AC平移到△A'D'C', 在移动过程中，A'D'与CD交于点E，连接BE、 C'E、BC'则下列结论：①A A'= E D'； ②连接BA'，则BA'＋BC'的最小值为8；③当∠BC'E= 30°时，AA'的长为；④△BC'E的面积最大值为4 .其中正确的为 （ ▲ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0： ▲ ．
12．将二次函数y＝2x2＋1的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为 ▲ ．
13．圆锥的底面半径r为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积为 ▲ cm2．
14． 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如下表，则当x＝5时，y的值为 ▲ ．
x … －1 0 1 2 3 …
y … 15 10 7 6 7 …
15．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 ▲ cm．
16．如图，已知⊙O的弦AB＝8，以AB为一边作正方形ABCD，CD边与⊙O相切，切点为E，则⊙O半径为 ▲ ．
17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，CD⊥AB，垂足为点D，则BC＋2AD的最大值为 ▲ ．
18．如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，PO＝5，点A、B在⊙O上，且满足BP＝BA，则线段PA的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分10分）解方程：（1）x2－8x＋10＝0； （2）x(x－3)＝2x－6．
20．（本题满分8分）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数．
21．（本题满分10分）已知一元二次方程x2－2x＋m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．
22．（本题满分10分）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
23．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）直接写出：OA＝　 　，OB＝　 　；
（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．
24．（本题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AC＝2，CD＝4，求BD的长．
25．（本题满分8分）某社区准备在一块长30米，宽24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度．
26．（本题满分10分）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图(1)，在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图(2)，已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件
①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是锐角(保留作图痕迹，不写作法)．
（3）若△ABC为钝角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝2，DB＝4，直接写出AC的取值范围．
27．（本题满分10分）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当＝，＝时，求的值；
（3）如图3，当AD＝mBD，CD＝nBC时，连接BP，PQ，直接写出的值．
28．（本题满分10分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，BC=16，AB=4，动点E在边AD上以1个单位每秒的速度从A向D运动，动点F在边BC上以a个单位每秒的速度从C向B运动，两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x秒，四边形ABFE的面积为S，S与x的函数关系如图2所示．
（1）求a的值
（2）如图3，将四边形AEFB沿着EF翻折得四边形点A'EFB'，其中点A对应点为A'，点B的对应点为B'，①当B'正好落在CD上时，求DB'的长度．②探究运动过程中，∠BB'C的度数并直接写出结论．初三数学阶段性练习参考答案及评分标准 2024.12
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．x(x－3)＝0 （答案不唯一） 12．y =2(x＋3)2＋1 13．48π 14．15
15．40－40 16．5 17．8.5 18．≤PA≤7
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）解：（x－4）2＝6 3分
∴x1＝4＋，x2＝4－． 5分
（2）解：x(x－3)－2(x－3)＝0 1分
(x－2)(x－3)＝0 3分
∴x1＝2，x2＝3． 5分
20．解：设这个数为x
由题意知，x2－10＝x＋10 2分
解得x1＝5，x2＝－4． 7分
答：设这个数为5或－4． 8分
21．（1）证明：由题意知，a＝1，b＝－2，c＝m；
b2－4ac＝（－2）2－4×1×m＝4－4m 2分
∵方程有两个实数根
∴4－4m≥0 3分
∴m≤1 5分
（2）由题可知：x1＋x2＝2 6分
又∵x1＋3x2＝3
∴x1＝，x2＝ 8分
∴m＝x1·x2＝×＝ 10分
22．解：（1）∵FC∥DE，
∴△BFC∽△BED， 2分
∴＝，即＝，
∴BC＝3； 5分
（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4－3＝2.4（m），
∵∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，∴＝， 7分
∴＝，解得：AG＝1.2（m）， 9分
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 10分
23．（1）OA＝4，OB＝3； 4分
（2）∵△AOE∽△DAO
∴＝ ∴＝ 解得OE＝ 7分
∴E（，0）或E（－，0）（2分＋1分） 10分
24．（1）连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB
∵∠B＝∠CDA
∴∠CDA＝∠ODB 1分
∴∠CDA＋∠ODA＝∠ODB＋∠ODA
即∠BDA＝∠ODC 2分
∵AB为⊙O的直径
∴∠BDA＝90° 3分
∴∠ODC＝90°
∴OD⊥DC 4分
∴DC是⊙O的切线 5分
（2）∵∠B＝∠CDA，∠C＝∠C
∴△CDA∽△CBD 6分
∴＝＝＝2
设AB＝x，由：＝可得：＝，解得x＝6 8分
RT△BDA中，由：＝2，BD2＋AD2＝AB2＝62
解得：BD＝ 10分
25．设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，由题意得，
x(30＋4x＋24＋4x)＝80， 4分
解得x1＝－8（不合题意，舍去），x2＝， 9分
答：小路的宽度为米． 10分
26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD， 2分
∴＝，∴CD2＝AD DB， 3分
∴点D是点C的“关联点”． 4分
（2）如图：以AB为直径作⊙O 5分
过D作AB的垂线交⊙O于M 6分
以D为圆心，DM为半径作⊙D
在⊙D上，⊙O外取一点C，则点C即为所求（注意保证∠CAB＜90°） 7分
（3）2－2＜AC＜2或2＜AC＜2＋2 10分
27．（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，∴∠BAP＝30°， 2分
∵直线l是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴BC＝2； 4分
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC， 5分
∵∠BAQ＋∠ADB＝90°，∠FCD＋∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴△BAQ∽△DCF 6分
∴＝＝ 7分
∴＝ 8分
（3）＝ 10分
28．（1）连接AC,过A作AH⊥BF于H，
由题可得：S△ABC＝16
即×16×AH＝16 ∴AH＝12 2分
当x＝6时，×(6＋16－a)×12＝60 a＝2 4分
（2）①设AC交EF于M，则△MAE∽△MCF
∴＝＝ 5分
所以EF过定点M
以M为圆心，MB为半径作圆交CD于B'
情况1.B'与C重合，DB'＝4 6分
情况2.DB'＝ 8分
② 45°或135° 10分