第九章　统计与统计案例 第二节　用样本估计总体 2025年高考数学一轮复习基础知识随堂练（含解析）

统计与统计案例
第二节　用样本估计总体
1．(多选题)(2023·新高考全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
2．一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是(　　)
A．15 B．25
C．50 D．75
3．(2024·乌鲁木齐模拟)如图为2012－2022年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是(　　)
A．2012－2022年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B．2017－2022年工业企业利润总额逐年递增
C．2012－2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速
D．2019－2022年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值
4．甲在某次射击训练中10次射击成绩(单位：环)如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是(　　)
A．众数为7和9
B．方差为3
C．平均数为7
D．第70百分位数为8
5．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有(　　)
A．成绩在[70，80)内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
6．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.
高考训练
7．(2024·南昌模拟)如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则(　　)
A．>5， B．5，
C．＝5， D．＝5，
8．(多选题)某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛．经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2)，则下列命题正确的是(　　)
A．成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多10
B．成绩排在第1－50名的50人中，高一人数比高二的多
C．成绩排在第51－150名的100人中，高三人数占比可能超过
D．成绩排在第51－100名的50人中，高二人数肯定多于23
9．用分层随机抽样的方法从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
(2)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取2个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．
答案解析
1、BD　解析：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，…，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于，x1，x2，…，x6的中位数等于，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，…，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，…，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，x1，x2，…，x6的方差为×[(0－5)2＋(1－5)2＋(2－5)2＋(8－5)2＋(9－5)2＋(10－5)2]＝，x2，x3，x4，x5的方差为×[(1－5)2＋(2－5)2＋(8－5)2＋(9－5)2]＝，所以s1>s2，C错误；
D选项，x6>x5，x2>x1，所以x6－x1>x5－x2，D正确．
2、A　解析：这组数据按从小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项，由11×25%＝2.75，11×50%＝5.5，11×75%＝8.25，故第25百分位数是15，第50百分位数是40，第75百分位数是43.
3、C　解析：对于A，由题图可知，2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负值，利润总额较上一年下降，A错误；
对于B，由题图可知，2015年工业企业利润总额增速为负值，利润总额较上一年下降，B错误；
对于C，2012年—2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正，利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速，C正确；
对于D，2019年—2022年中，工业企业利润总额增速都小于电子信息制造业企业利润总额增速，则这几年中工业企业利润总额增速的均值小于电子信息制造业企业利润总额增速的均值，D错误．
4、D　解析：结合数据得众数为7和9，故A正确；
平均数为＝7，故C正确；
方差为×[(－3)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋22＋22＋22]＝3，故B正确；
10次射击成绩从小到大排列为4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，因为10×70%＝7，
所以第70百分位数为＝8.5，故D错误．
5、ABC　解析：根据频率分布直方图得成绩在[70，80)的频率最大，故A正确；不及格的考生人数为10×(0.010＋0.015)×4 000＝1 000，故B正确；根据频率分布直方图，估计考生竞赛成绩的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；0.1＋0.15＋0.2＝0.45＜0.5，0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＞0.5，所以考生竞赛成绩的中位数为70＋≈71.67(分)，故D错误．
6、8．6　解析：设这30个数据从小到大排列后第19个数据为x，由30×60%＝18，得＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.
7、D　解析：由题意可得＝5，x9＝1，x10＝9，则＝50，
故＝×(50－1－9)＝5.
因为x9，x10是波幅最大的两个点的值，所以去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，故.
8、AC　解析：对于A，成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多200×(30%－25%)＝10，故A正确；
对于B，成绩排在第1—50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，高二和高三的总人数为50－18＝32，高二的具体人数不知道，故B错误；
对于C，成绩排在第51—150名的100人中，高一人数为90×(0.3＋0.4)＝63，高二和高三的总人数为100－63＝37，所以高三人数占比有可能超过，故C正确；
对于D，成绩排在第51—100名的50人中，高一学生人数为90×0.3＝27，高二人数最多有50－27＝23，故D错误．
9、解：(1)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．
因为80＋10×＝84，
所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数为84.
(2)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取2个的样本空间Ω包含的样本点个数为n(Ω)＝15.
记事件A＝“调查对象来自不同分组”，
则事件A包含的样本点个数为n(A)＝4×2＝8，
所以P(A)＝.
(3)设男生成绩样本数据为x1，x2，…，x40，其平均数为＝71，方差为＝187.75，
女生成绩样本数据为y1，y2，…，y60，其平均数为＝73.5，方差为＝119，
总样本的平均数为，方差为s2.
由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
得＝＋＝72.5，
s2＝{40[＋(－)2]＋60[＋(－)2]}
＝{40[187.75＋(71－72.5)2]＋60[119＋(73.5－72.5)2]}＝148.
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148.