北京市第十五中学2024-2025九年级上学期开学考数学试题

北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·北京市开学考）要使二次根式有意义，x的值可以是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．（2024九上·北京市开学考）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·北京市开学考）已知时，则代数式的值（　　）
A．1 B．4 C．7 D．3
4．（2024九上·北京市开学考）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（2024九上·北京市开学考）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．60 B．30 C．14 D．15
6．（2024九上·北京市开学考）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·北京市开学考）想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为4，则s2为（　　）
A．4 B．16 C．196 D．204
8．（2024九上·北京市开学考）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
9．（2024九上·北京市开学考）已知为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段；
（2）过点作直线垂直于；
（3）在直线上截取线段；
（4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点.
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．（2024九上·北京市开学考）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2024九上·北京市开学考）计算：已知，，则　 　．
12．（2024九上·北京市开学考）下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个．
13．（2024九上·北京市开学考）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为　 　．
14．（2024九上·北京市开学考）某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是　 　．
15．（2024九上·北京市开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1． 点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为　 　．
16．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是　 　（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
17．（2024九上·北京市开学考）下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积随半径的变化而变化．其中与的函数关系是正比例函数的是　 　（只需填写序号）．
18．（2024九上·北京市开学考）为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）：
项目 书面测试 实际操作 宣传展示
成绩（分） 96 98 96
若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是　 　.
19．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是　 　．
20．（2024九上·北京市开学考）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是　 　．
21．（2024九上·北京市开学考）计算
（1）
（2）已知，求代数式的值．
22．（2024九上·北京市开学考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．
23．（2024九上·北京市开学考）已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
24．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
25．（2024九上·北京市开学考）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a.12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
26．（2024九上·北京市开学考）如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
27．（2024九上·北京市开学考）如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接．
（1）补全图形；
（2）用等式表示与的数量关系并证明；
（3）连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长．
28．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是 ；
②若点Q为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式有意义，
只需使，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A.≠-2，原结论错误，此选项不符合题意；
B.≠-2，原结论错误，此选项不符合题意；
C.≠，原结论错误，此选项不符合题意；
D.，原结论正确，此选项符合题意.
故答案为：D
【分析】A、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
B、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
C 、根据二次根式的除法法则计算即可求解；
D、根据二次根式的乘法法则计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x2+2x+3=x2+2x+1+2
=(x+1)2+2，
∴原式=（）2+2=5+2=7.
故答案为：．
【分析】
由已知条件变形可得，将所求代数式变形得x2+2x+3=(x+1)2+2，然后整体代入计算即可求解．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和10，∴S菱形=×6×10=30.
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求解．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，AC=1丈=10尺，AB=x，BC=x-1，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，在中，由勾股定理可列关于x的方程．
7．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴s2=4．
故答案为：A．
【分析】根据方差的定义和题意计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的外角和为．
故选：C．
【分析】本题考查多边形的外角和定理．根据多边形的外角和都为，据此可选出答案.．
9．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：①由题意得：，
∴，
∴OC=OB=≠5，原结论错误；
②由①可得：OB=，
∴原结论正确；
③=，
而，
∴，
∴原结论正确；
④由①得：OC=，OA=2，
，原结论错误；
∴正确的结论有：②③.
故答案为：C．
【分析】①由勾股定理求出的值，根据作图得OC=OB可判断求解；②由①可求解；③结合①的结论并根据实数的大小的比较可求解；④根据线段的构成AC=OC-OA可判断求解．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：①如图，过作于，则四边形是矩形，
∴∠EFD=∠AFD=90°，
∴DF＜DE，
∵AB=a，BC=b，
∴DF=AC=AB+BC=a+b，
∴，结论正确，符合题意；
②∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
在△ABE中，，
∴，结论正确，符合题意；
③由②可知：△BDE是等腰Rt△，
∴由勾股定理得：，即，
∴，结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①如图，过作于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，则，在Rt△DEF中，由大角对大边可得：，则可得；
②由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理和三角形三边关系定理"三角形的任意两边之和大于第三边"可得，则可得；
③由勾股定理得可求解.
11．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
12．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；
②对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角；此逆命题为假命题；
③平行四边形的对角线平分的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，此逆命题为真命题．
故答案为：2．
【分析】根据逆命题的意义“把一个命题的题设和结论交换位置所得的命题就是原命题的逆命题”可求解并结合平行线的性质及判定定理和对顶角相等以及平行四边形的判定和性质即可判断求解．
13．【答案】45
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴S正方形MNPQ=MN2=45.
故答案为：45．
【分析】根据勾股定理并结合网格图的特征和正方形的性质即可求解．
14．【答案】6
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由条形图知，数据6出现了52次，是出现次数最多的数据，
这组数据的众数为6.
故答案为：6．
【分析】根据众数的概念“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合条形图中的信息即可求解.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：①如图，当Q在射线CB上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴，
∴；
②如图，当Q在射线BC上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=90°，
∴，
∴，
综上可得：线段BQ的长为或.
故答案为：或.
【分析】由题意分两种情况：当Q在射线CB上时，用勾股定理求出CQ的值，再根据线段的构成BQ=CQ-BC可求解；②当Q在射线BC上时，用勾股定理求出CQ的值，再根据线段的构成BQ=CQ+BC可求解.
16．【答案】①②
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：①由y2＝x+m得，当x=0时，y2=m，当y=0时，x=-m，
∴直线y2＝x+m与坐标轴的截距相等，
∴直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，则①的结论正确；
②由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，
∴k+b＞0，则②的结论正确；
③观察图可知：两函数的交点横坐标为x=2，且当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，
∴关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，则③的结论不正确.
故答案为：①②．
【分析】①根据直线与坐标轴的截距相等并结合等腰直角三角形的性质即可判断求解；
②观察图可知，当x=1时的函数图象对应的点的位置来判断求解；
③观察图可知，由两函数图象的交点与两函数图象的位置即可判断求解．
17．【答案】②
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】①∵大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，
∴当登山队员由大本营向上登高时， 登山队员 所在位置的气温为：，是一次函数；
②∵铜的密度为，
∴ 铜块的质量为：，是正比例函数；
③∵圆的半径为，
∴圆的面积为：，是二次函数
故答案为：②.
【分析】根据题意分别写出对应函数解析式，再与正比函数定义“形如y=kx（k≠0，k为常数）”比较，即可判断求解.
18．【答案】97
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的最后得分是96×30%＋98×50%＋96×20%＝97（分），
故答案为：97.
【分析】根据加权平均数的公式列算式进行计算，即可得出答案.
19．【答案】1＜n＜7
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线y=2x+3向下平移n个单位后的解析式为：y=2x+3-n，
由题意，联立解方程组：，
解得：，
∴两直线的交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：1＜n＜7．
故答案为：1＜n＜7．
【分析】根据直线平移规律可设直线y=2x+3向下平移n个单位长度的解析式为：y=2x+3-n，求出直线y=2x+3-n与直线y=-x+2的交点，根据交点在第一象限可得关于n不等式组，解不等式组即可求解．
20．【答案】①③④
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①动点P从点B出发，沿的路径匀速运动，
∴动点P从点B出发到点C所得的三角形ABP的面积逐渐增大，
从C运动到D所得的三角形ABP的面积不变，此时S△ABP=AB·BC；
从点D运动到点A所得的三角形ABP的面积逐渐减小，
∴图2中的四边形为等腰梯形，
，
∴结论a=4正确；
②由①得：BC=AD=a=4，
在矩形中，，
S△ABP=AB·BC=×5×4=10，
∴b=S△ABP=10≠20，
∴结论b=20错误；
③点P运动的路程为x，当时，
，
时，点P运动到点D处，
∴结论“当时，点P运动到点D处”正确；
④，
在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y的值等于，
结合图1可知，当时，
∴结论“ 当时，点P在线段或上”正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①先题意并结合图1可得图2为等腰梯形，由等腰梯形的性质可求得a的值；
②由①可求得与的值，再根据三角形的面积公式可求得b的值；
③由①和②的结论并结合图形可知：当时，点P运动到点D处；
④根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上．
21．【答案】（1）解：原式=
.

（2）解：∵x=-1，
∴x+1=，
∴x2+2x=（x+1）2-1
=()2-1
=3-1
=2.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则“”、二次根式的除法法则“”和二次根式的性质进行计算即可求解；
（2）由题意将已知的等式变形得：x+1=，把变形为x2+2x=（x+1）2-1，然后整体代入计算即可求解．
（1）解：
（2）∵
∴
22．【答案】证明：连接DE，BF，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别是的中点，
，
∴，
∴是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质"平行四边形的对角线互相平分"可得，，由线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”即可求解．
23．【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (等腰三角形”三线合一“)．
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，等腰三角形”三线合一“，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由题目中的作图步骤进行作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证出四边形ADCE是平行四边形，然后由等腰三角形”三线合一“性质得∠ADC=90°，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证结论.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (三线合一定理)．
∴．
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
24．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为：；

（2）解：当时，，
∵ 函数的值小于函数的值，
∴当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）当时，，然后结合题意可得关于m的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
25．【答案】（1）解：∵第6和第7个数据分别为167、167，
∴中位数；
∵数据167在这组数据中出现了3次，是出现次数最多的数据，
∴众数为：；
故答案为：，
（2）甲组
（3）、
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（2）解：甲组学生身高的平均值为：，
甲组学生身高的方差为：，
乙组学生身高的平均值为：，
乙组学生身高的方差为：，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）
解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
【分析】（1）根据中位数“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，根据方差越小成绩越稳定进行比较即可求解；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
（1）解：由题意得：中位数，
众数；
（2）解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
26．【答案】（1）证明：矩形中，，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
在△EFM和△CFM中
∴（AAS），
∴，
∵EM∥CN，
∴四边形为平行四边形，
∵于点F，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得：，
答：的长为5．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）由（1）知：四边形是菱形，则EM=CM，设，在Rt△BMC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
27．【答案】（1）解：如图，补全图形：
（2）解：，理由如下：
证明：如图，作交的延长线于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）作交的延长线于，则，由题意用角角边可证△ABP≌△PHQ，由全等三角形的对应边相等可得，结合已知可得，则，作交的延长线于，连接，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形CHQN是正方形，用边角边证△QND≌△QHM，由全等三角形的性质可得，结合已知易得为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（3）由（2）可得：四边形为正方形，，，由正方形的性质结合题意得出，，计算出，再根据线段的构成CM=CH+HM即可求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）解：，
证明如下：如图，作交的延长线于，则，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
，
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28．【答案】（1）解：①∵点，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点P在直线上，则设，
当点Q坐标为时，有，，
∴，
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，
∴，此时点P，Q和点A，B共线，不构成平行四边形ABPQ，不符合题意；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，
∴，
∴，
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，
∵点O和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
设，所在直线表达式为，
将、代入表达式得：，
解得：，
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，，
∴，
解得：，
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上，
∴，
解得：，
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
解得：，
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上，
∴，
解得：，
∴，
综上所述， t 的取值范围或．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①首先根据点A、B的坐标求出AB的值，然后根据平行四边形的性质得到，，设，接下来进行分类讨论：当点Q的坐标分别为，，，时，利用，得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得P的坐标，最后进行分析取舍P的坐标即可；
②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，利用待定系数法求出直线AB的表达式，然后分种情况讨论，根据平行四边形的性质得关于t、m的二元一次方程组，解方程组即可求解.
（1）①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q在直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称
∴
∵
∴
∴的最小值为；
（2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设
设所在直线表达式为，
∴，解得
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
综上所述， t 的取值范围或．
北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·北京市开学考）要使二次根式有意义，x的值可以是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式有意义，
只需使，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
2．（2024九上·北京市开学考）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A.≠-2，原结论错误，此选项不符合题意；
B.≠-2，原结论错误，此选项不符合题意；
C.≠，原结论错误，此选项不符合题意；
D.，原结论正确，此选项符合题意.
故答案为：D
【分析】A、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
B、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
C 、根据二次根式的除法法则计算即可求解；
D、根据二次根式的乘法法则计算即可求解.
3．（2024九上·北京市开学考）已知时，则代数式的值（　　）
A．1 B．4 C．7 D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x2+2x+3=x2+2x+1+2
=(x+1)2+2，
∴原式=（）2+2=5+2=7.
故答案为：．
【分析】
由已知条件变形可得，将所求代数式变形得x2+2x+3=(x+1)2+2，然后整体代入计算即可求解．
4．（2024九上·北京市开学考）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式
5．（2024九上·北京市开学考）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．60 B．30 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和10，∴S菱形=×6×10=30.
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求解．
6．（2024九上·北京市开学考）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，AC=1丈=10尺，AB=x，BC=x-1，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，在中，由勾股定理可列关于x的方程．
7．（2024九上·北京市开学考）想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为4，则s2为（　　）
A．4 B．16 C．196 D．204
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴s2=4．
故答案为：A．
【分析】根据方差的定义和题意计算求解即可。
8．（2024九上·北京市开学考）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的外角和为．
故选：C．
【分析】本题考查多边形的外角和定理．根据多边形的外角和都为，据此可选出答案.．
9．（2024九上·北京市开学考）已知为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段；
（2）过点作直线垂直于；
（3）在直线上截取线段；
（4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点.
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：①由题意得：，
∴，
∴OC=OB=≠5，原结论错误；
②由①可得：OB=，
∴原结论正确；
③=，
而，
∴，
∴原结论正确；
④由①得：OC=，OA=2，
，原结论错误；
∴正确的结论有：②③.
故答案为：C．
【分析】①由勾股定理求出的值，根据作图得OC=OB可判断求解；②由①可求解；③结合①的结论并根据实数的大小的比较可求解；④根据线段的构成AC=OC-OA可判断求解．
10．（2024九上·北京市开学考）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：①如图，过作于，则四边形是矩形，
∴∠EFD=∠AFD=90°，
∴DF＜DE，
∵AB=a，BC=b，
∴DF=AC=AB+BC=a+b，
∴，结论正确，符合题意；
②∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
在△ABE中，，
∴，结论正确，符合题意；
③由②可知：△BDE是等腰Rt△，
∴由勾股定理得：，即，
∴，结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①如图，过作于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，则，在Rt△DEF中，由大角对大边可得：，则可得；
②由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理和三角形三边关系定理"三角形的任意两边之和大于第三边"可得，则可得；
③由勾股定理得可求解.
11．（2024九上·北京市开学考）计算：已知，，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
12．（2024九上·北京市开学考）下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；
②对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角；此逆命题为假命题；
③平行四边形的对角线平分的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，此逆命题为真命题．
故答案为：2．
【分析】根据逆命题的意义“把一个命题的题设和结论交换位置所得的命题就是原命题的逆命题”可求解并结合平行线的性质及判定定理和对顶角相等以及平行四边形的判定和性质即可判断求解．
13．（2024九上·北京市开学考）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为　 　．
【答案】45
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴S正方形MNPQ=MN2=45.
故答案为：45．
【分析】根据勾股定理并结合网格图的特征和正方形的性质即可求解．
14．（2024九上·北京市开学考）某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是　 　．
【答案】6
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由条形图知，数据6出现了52次，是出现次数最多的数据，
这组数据的众数为6.
故答案为：6．
【分析】根据众数的概念“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合条形图中的信息即可求解.
15．（2024九上·北京市开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1． 点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：①如图，当Q在射线CB上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴，
∴；
②如图，当Q在射线BC上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=90°，
∴，
∴，
综上可得：线段BQ的长为或.
故答案为：或.
【分析】由题意分两种情况：当Q在射线CB上时，用勾股定理求出CQ的值，再根据线段的构成BQ=CQ-BC可求解；②当Q在射线BC上时，用勾股定理求出CQ的值，再根据线段的构成BQ=CQ+BC可求解.
16．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是　 　（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
【答案】①②
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：①由y2＝x+m得，当x=0时，y2=m，当y=0时，x=-m，
∴直线y2＝x+m与坐标轴的截距相等，
∴直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，则①的结论正确；
②由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，
∴k+b＞0，则②的结论正确；
③观察图可知：两函数的交点横坐标为x=2，且当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，
∴关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，则③的结论不正确.
故答案为：①②．
【分析】①根据直线与坐标轴的截距相等并结合等腰直角三角形的性质即可判断求解；
②观察图可知，当x=1时的函数图象对应的点的位置来判断求解；
③观察图可知，由两函数图象的交点与两函数图象的位置即可判断求解．
17．（2024九上·北京市开学考）下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积随半径的变化而变化．其中与的函数关系是正比例函数的是　 　（只需填写序号）．
【答案】②
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】①∵大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，
∴当登山队员由大本营向上登高时， 登山队员 所在位置的气温为：，是一次函数；
②∵铜的密度为，
∴ 铜块的质量为：，是正比例函数；
③∵圆的半径为，
∴圆的面积为：，是二次函数
故答案为：②.
【分析】根据题意分别写出对应函数解析式，再与正比函数定义“形如y=kx（k≠0，k为常数）”比较，即可判断求解.
18．（2024九上·北京市开学考）为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）：
项目 书面测试 实际操作 宣传展示
成绩（分） 96 98 96
若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是　 　.
【答案】97
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的最后得分是96×30%＋98×50%＋96×20%＝97（分），
故答案为：97.
【分析】根据加权平均数的公式列算式进行计算，即可得出答案.
19．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是　 　．
【答案】1＜n＜7
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线y=2x+3向下平移n个单位后的解析式为：y=2x+3-n，
由题意，联立解方程组：，
解得：，
∴两直线的交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：1＜n＜7．
故答案为：1＜n＜7．
【分析】根据直线平移规律可设直线y=2x+3向下平移n个单位长度的解析式为：y=2x+3-n，求出直线y=2x+3-n与直线y=-x+2的交点，根据交点在第一象限可得关于n不等式组，解不等式组即可求解．
20．（2024九上·北京市开学考）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①动点P从点B出发，沿的路径匀速运动，
∴动点P从点B出发到点C所得的三角形ABP的面积逐渐增大，
从C运动到D所得的三角形ABP的面积不变，此时S△ABP=AB·BC；
从点D运动到点A所得的三角形ABP的面积逐渐减小，
∴图2中的四边形为等腰梯形，
，
∴结论a=4正确；
②由①得：BC=AD=a=4，
在矩形中，，
S△ABP=AB·BC=×5×4=10，
∴b=S△ABP=10≠20，
∴结论b=20错误；
③点P运动的路程为x，当时，
，
时，点P运动到点D处，
∴结论“当时，点P运动到点D处”正确；
④，
在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y的值等于，
结合图1可知，当时，
∴结论“ 当时，点P在线段或上”正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①先题意并结合图1可得图2为等腰梯形，由等腰梯形的性质可求得a的值；
②由①可求得与的值，再根据三角形的面积公式可求得b的值；
③由①和②的结论并结合图形可知：当时，点P运动到点D处；
④根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上．
21．（2024九上·北京市开学考）计算
（1）
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）解：原式=
.

（2）解：∵x=-1，
∴x+1=，
∴x2+2x=（x+1）2-1
=()2-1
=3-1
=2.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则“”、二次根式的除法法则“”和二次根式的性质进行计算即可求解；
（2）由题意将已知的等式变形得：x+1=，把变形为x2+2x=（x+1）2-1，然后整体代入计算即可求解．
（1）解：
（2）∵
∴
22．（2024九上·北京市开学考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．
【答案】证明：连接DE，BF，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别是的中点，
，
∴，
∴是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质"平行四边形的对角线互相平分"可得，，由线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”即可求解．
23．（2024九上·北京市开学考）已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (等腰三角形”三线合一“)．
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，等腰三角形”三线合一“，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由题目中的作图步骤进行作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证出四边形ADCE是平行四边形，然后由等腰三角形”三线合一“性质得∠ADC=90°，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证结论.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (三线合一定理)．
∴．
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
24．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为：；

（2）解：当时，，
∵ 函数的值小于函数的值，
∴当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）当时，，然后结合题意可得关于m的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
25．（2024九上·北京市开学考）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a.12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）解：∵第6和第7个数据分别为167、167，
∴中位数；
∵数据167在这组数据中出现了3次，是出现次数最多的数据，
∴众数为：；
故答案为：，
（2）甲组
（3）、
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（2）解：甲组学生身高的平均值为：，
甲组学生身高的方差为：，
乙组学生身高的平均值为：，
乙组学生身高的方差为：，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）
解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
【分析】（1）根据中位数“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，根据方差越小成绩越稳定进行比较即可求解；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
（1）解：由题意得：中位数，
众数；
（2）解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
26．（2024九上·北京市开学考）如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
【答案】（1）证明：矩形中，，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
在△EFM和△CFM中
∴（AAS），
∴，
∵EM∥CN，
∴四边形为平行四边形，
∵于点F，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得：，
答：的长为5．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）由（1）知：四边形是菱形，则EM=CM，设，在Rt△BMC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
27．（2024九上·北京市开学考）如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接．
（1）补全图形；
（2）用等式表示与的数量关系并证明；
（3）连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：如图，补全图形：
（2）解：，理由如下：
证明：如图，作交的延长线于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）作交的延长线于，则，由题意用角角边可证△ABP≌△PHQ，由全等三角形的对应边相等可得，结合已知可得，则，作交的延长线于，连接，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形CHQN是正方形，用边角边证△QND≌△QHM，由全等三角形的性质可得，结合已知易得为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（3）由（2）可得：四边形为正方形，，，由正方形的性质结合题意得出，，计算出，再根据线段的构成CM=CH+HM即可求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）解：，
证明如下：如图，作交的延长线于，则，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
，
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是 ；
②若点Q为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
【答案】（1）解：①∵点，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点P在直线上，则设，
当点Q坐标为时，有，，
∴，
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，
∴，此时点P，Q和点A，B共线，不构成平行四边形ABPQ，不符合题意；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
当点Q坐标为 时，有，，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，
∴，
∴，
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，
∵点O和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
设，所在直线表达式为，
将、代入表达式得：，
解得：，
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，，
∴，
解得：，
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上，
∴，
解得：，
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
解得：，
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上，
∴，
解得：，
∴，
综上所述， t 的取值范围或．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①首先根据点A、B的坐标求出AB的值，然后根据平行四边形的性质得到，，设，接下来进行分类讨论：当点Q的坐标分别为，，，时，利用，得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得P的坐标，最后进行分析取舍P的坐标即可；
②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，利用待定系数法求出直线AB的表达式，然后分种情况讨论，根据平行四边形的性质得关于t、m的二元一次方程组，解方程组即可求解.
（1）①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q在直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称
∴
∵
∴
∴的最小值为；
（2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设
设所在直线表达式为，
∴，解得
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
综上所述， t 的取值范围或．