第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第七节　二项分布、超几何分布与正态分布 2025年高考数学一轮复习基础知识随堂练（含解析）

计数原理、概率、随机变量及其分布
第七节　二项分布、超几何分布与正态分布
1．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2024·佛山模拟)已知随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，则P(X＝1)＝(　　)
A． B．
C． D．
3．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则E(X)＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
4．某班学生的一次数学考试成绩ξ(满分：100分)服从正态分布N(85，σ2)，且P(83≤ξ≤87)＝0.3，P(78≤ξ≤83)＝0.12，P(ξ<78)＝(　　)
A．0.14 B．0.18
C．0.23 D．0.26
5．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是(　　)
A．至少有1个5A级景区 B．有1个或2个5A级景区
C．有2个或3个5A级景区 D．恰有2个5A级景区
6．(多选题)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则(　　)
A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9
7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________.
8．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩(单位：分)服从正态分布N(100，102)，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80≤X≤100为事件A，该同学的成绩70≤X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率"＝________.(结果精确到0.01)
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
高考训练
9．(2024·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f (x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则μ＝(　　)
A．－ B．0
C． D．1
10．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X，已知P(X＝1)＝，且该产品的次品率不超过30%，则这10件产品中次品数n为(　　)
A．1 B．2
C．8 D．2或8
11．(多选题)(2024·潍坊模拟)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0A．a＋b＝1
B．当p＝时，a＝b
C．当0D．当12．某人在今年买进某个理财产品，设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若此人准备在持有该理财产品4个季度之后卖出，则至少有3个季度的收益为正值的概率为________.
13．2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级参加，本次比赛启用了新的排球用球．已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分．第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率均为p(0(1)令η＝，则η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η(2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f (p)，求出f (p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题．
①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的分布列．
②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
答案解析
1、C　解析：ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前2次都没有测到正品，故其概率是.
2、C　解析：随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，则
解得n＝8，p＝，故P(X＝1)＝.
3、A　解析：X的可能取值为1，2，3，其对应的概率为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以E(X)＝1×＝2.故选A．
4、C　解析：因为ξ～N(85，σ2)，P(83≤ξ≤87)＝0.3，所以P(ξ＜83)＝＝0.35.
又P(78≤ξ≤83)＝0.12，所以P(ξ＜78)＝P(ξ≤83)－P(78≤ξ≤83)＝0.23.故选C．
5、B　解析：用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个5A级景区的概率为.
6、BD　解析：A选项，由正态分布的对称性可知，P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，
故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；
B选项，X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；
C选项，E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)D选项，因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝×(0.6)0×(0.4)3＝0.064，
故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确．故选BD．
7、200　解析：设没有发芽的种子数为Y，则有X＝2Y.
由题意可知Y服从二项分布，即Y～B(1 000，0.1)，
则E(Y)＝1 000×0.1＝100，所以E(X)＝2E(Y)＝200.
8、0.28　解析：由题知，事件AB为“该同学的成绩80≤X≤90”，
因为μ－2σ＝100－20＝80，μ－σ＝100－10＝90，
所以P(AB)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)≈＝0.135 9.
又P(A)＝P(μ－2σ≤X≤μ)≈＝0.477 25，
所以P＝≈0.28.
9、C　解析：因为函数f (x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则f (－x)＝f (x)，所以P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，所以μ＝.
10、B　解析：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为X，由P(X＝1)＝，得，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过30%，所以n≤3，应取n＝2.故选B．
11、ABC　解析：对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；
对于B选项，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B，
则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，…，n)，
所以a＝(＋＋＋)＝，
b＝(＋＋＋)＝，所以a＝b，故B正确；
对于C，D选项，a＝，
令f (n)＝，n∈N*，当0故a随着n的增大而增大，故C正确；
当12、　解析：因为P(X>0)＝2P(X≤0)，
所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1，所以P(X≤0)＝，P(X>0)＝，
则至少有3个季度的收益为正值的概率为＋.
13、解：(1)由题可知η＝，Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(ξ<260)，
又μ－2ξ＝260，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以Φ(－2)＝P(ξ<260)≈0.5－＝0.5－0.477 25＝0.022 75.
因为Φ(－2)＝P(η<－2)，根据正态曲线的对称性，知Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(η>2)．
又因为Φ(2)＝P(η<2)＝1－P(η≥2)，
所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.
(2)由题知f (p)＝p3(1－p)＝3p3(1－p)，
则f ′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3(－1)]＝3p2(3－4p)．
令f ′(p)＝0，解得p＝(p＝0舍去)．
当p∈时，f ′(p)>0，f (p)在上单调递增；
当p∈时，f ′(p)<0，f (p)在上单调递减．
所以f (p)的最大值点p0＝，从而p＝.
①X的可能取值为3，2，1，0.
P(X＝3)＝＋，
P(X＝2)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝0)＝＋，
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
②若X＝3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分．因为29>28，所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X＝3)＝.