广东省深圳市宝安区沙井中学2024-2025上学期八年级期中考试数学试卷（含答案）

沙井中学2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列实数、0、，中，无理数是　　
A． B．0 C． D．
2．下列各选项中，关于轴对称的一对点是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
3．下列为勾股数的是　　
A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13
4．下列运算正确的是　　
A．|－|＝ B． C． D．2－＝1
5．如图是一个长、宽、高分别为，，的长方体，一只蚂蚁从顶点出发，沿长方体的表面爬行至点，爬行的最短路程是　　．
A． B． C．4 D．12
6．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　
A． B． C． D．
7．已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　
A． B． C． D．
8．甲、乙两人以各自的交通工具、相同路线，前往距离单位的培训中心参加学习．图中、分别表示甲、乙前往目的地所走的路程随时间（分变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②乙走了后遇到甲；③乙出发6分钟后追上甲；④甲乙相距时，甲走了28分钟．其中正确的是　　
A．只有① B．①③ C．②③④ D．①③④
二．填空题（每题3分，共15分）
9．在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为　　．
10．比较大小：　　（填“”“ ”或“” ．
11．在△中，，，则　　．
12．函数和的图象相交于点，则方程的解为 　　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则的长的最小值为 　　．
三．解答题（共7小题）
14．（12分）计算与化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
15．（7分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于轴对称的△；
（2）△的面积为 　　；
（3）在轴上画出点，使最小．
16．（8分）莲花山公园是深圳市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
17．（8分）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米与哥哥离开学校的时间（分的函数关系．
（1）哥哥步行的速度为　　米分．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①图中的值为　　；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
18．（7分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，，且，点，轴于点，一次函数经过点，交轴于点．
（1）求证；；
（2）求的面积．
19．（10分）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝一夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数（厘米）6 6 12 18 24 30
【探索发现】（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间为横坐标，箭尺读数为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为　　厘米.
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是　　点钟（箭尺最大读数为100厘米）.
20．（9分）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图，现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图，并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图，其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，．
道路
长度（米 40 30 30 18 32 25
任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路的长；
（2）道路　　米；
任务三 方案设计
（3）①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路，；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为 　　米．（保留根号）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列实数、0、，中，无理数是　　
A． B．0 C． D．
【解答】解：、0、是有理数，是无理数，
故选：．
2．下列各选项中，关于轴对称的一对点是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
3．下列为勾股数的是　　
A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13
【解答】解：、，，不是正整数，
该组数不是勾股数，
此选项不符合题意；、，0.4，0.5不是正整数，
该组数不是勾股数，
此选项不符合题意；
、，，不是正整数，
该组数不是勾股数，
此选项不符合题意；
、，该组数是勾股数，此选项符合题意；故选：．
4．下列各式运算正确的是　　
A．|－|＝ B． C． D．2－＝1
【解答】解：、原式，所以选项正确；
、原式，所以选项错误；
、与不能合并，所以选项错误；
、原式，所以选项错误．
故选：．
5．如图是一个长、宽、高分别为，，的长方体，一只蚂蚁从顶点出发，沿长方体的表面爬行至点，爬行的最短路程是　　．
A． B． C．4 D．12
【解答】解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面得到长方形的两边为和，由勾股定理得；
（2）展开前面、上面得到长方形的两边为和，由勾股定理得；
（3）展开左面、上面得到长方形的两边为和，由勾股定理得；
所以最短路径长为，
故选：．
6．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得：
，
点表示的数为，
故选：．
7．已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：．
8．甲、乙两人以各自的交通工具、相同路线，前往距离单位的培训中心参加学习．图中、分别表示甲、乙前往目的地所走的路程随时间（分变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②乙走了后遇到甲；③乙出发6分钟后追上甲；④甲乙相距时，甲走了28分钟．其中正确的是　　
A．只有① B．①③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
④甲乙相距时，当甲走了12分钟，乙还没有出发时，甲乙相距，
的解析式为，分的解析式为，
，
，
当甲乙相距时，甲走了12分钟或28分钟，
故④错误；
③设乙出发分钟后追上甲，则有：，解得，故③正确；
②乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，故②错误；
所以正确的说法有2个，
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为　　．
【解答】解：每列8人，第二列从前面数第3个，表示为，
战士乙应表示为．
10．比较大小：　　（填“”“ ”或“” ．
【解答】解：≈1.732－1＝0.732，≈1.414.
∴.故答案为：
11．在△中，，，则　50　．
【解答】解：，
，
．
故答案为：50．
12．函数和的图象相交于点，则方程的解为 　　．
【解答】解：和的图象相交于点，
由图象得：方程的解为．
故答案为．
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则的长的最小值为 　6　．
【解答】解：在轴的正、负半轴上各取一点、，连接、，使，作直线，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动，
设直线交轴于点，作于点，则，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为6，
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
14．计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于轴对称的△；
（2）△的面积为 　　；
（3）在轴上画出点，使最小．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）△的面积；
故答案为：；
（3）如图，点即为所求．
16．莲花山公园是深圳市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【解答】解：（1）在中，由勾股定理得，
，
（负值舍去），
（米，
答：风筝的高度为17.62米；
（2）设下降到，连接，
由题意得， 米，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
17．兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米与哥哥离开学校的时间（分的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）由可知哥哥的速度为：．
（2）①妹妹骑车到书吧前的速度为200米分，
妹妹所用时间为：．
妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
．
②由（1）可知：哥哥的速度为，
设所在直线为，
将代入得：，
解得．
所在直线为：．
当时，．
返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
妹妹的速度是160米分．
设妹妹返回时的解析式为，
将代入得，
解得，
．
令，则有，
解得，
妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：（米．
兄妹俩离家还有（米，
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
18．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，，且，点，轴于点，一次函数经过点，交轴于点．
（1）求证；；
（2）求的面积．
【解答】（1）证明：是等腰直角三角形
，
，
（2）解：
，
点的坐标为
又一次函数经过点
点的坐标为
在中，边上高的长度就是点纵坐标的绝对值．
的面积为24．
19．刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝一夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数（厘米）6 6 12 18 24 30
【探索发现】（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间为横坐标，箭尺读数为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【解答】解：（1）描出各点如下：
（2）观察可知，它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得，
这条直线所对应的函数表达式为；
（3）当时，，
供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米；
（4）当时，，
解得，
供水时间为15小时，箭尺读数为96厘米；
本次实验记录的开始时间是上午，
当箭尺读数为96厘米时是点钟．
20．【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图，现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图，并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图，其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，．
道路 长度（米
40
30
30
18
32
25
任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路的长；
（2）道路　48　米；
任务三 方案设计
（3）①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路，；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为 　　米．（保留根号）
【解答】解：（1），
．
，
．
米，
道路的长为25米；
（2），，，，
，，
，
又，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案为：48；
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得，的交点到，，，的距离之和最小，
又，
则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
②，，
，
，
在上，即的垂直平分线上，
，
，
又，，
，
，
，
，
故答案为：．