双曲线. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

双曲线. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，且l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率为
B.直线是C的一条渐近线
C.若，则C的离心率为
D.若，则C的渐近线方程为
2．已知F为双曲线的右焦点,过F的直线l与圆相切于点M,且l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率为
B.直线OM是C的一条渐近线
C.若,则C的离心率为
D.若,则C的渐近线方程为
3．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是( )
A.若直线的斜率为k，则
B.使得为等腰三角形的点P有且仅有2个
C.点P到两条渐近线的距离的乘积为
D.已知点，则的最小值为5
4．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
5．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是( )
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
6．方程表示曲线C，给出以下命题是真命题的有( )
A.曲线C可能为圆
B.若曲线C为双曲线，则或
C.若曲线C为椭圆，则
D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则
7．某数学兴趣小组的同学经研究发现,反比例函数的图象是双曲线,设其焦点为M,N,若P为其图象上任意一点,则( )
A.是它的一条对称轴 B.它的离心率为
C.点是它的一个焦点 D.
8．已知直线l经过双曲线(,)的左焦点,且与C交于A,B两点,若存在两条直线,使得的最小值为4,则下列四个点中,C经过的点为( )
A. B. C. D.
9．已知双曲线的左，右两个顶点分别是，，左、右两个焦点分别是，，P是双曲线上异于，的一点，给出下列结论，其中正确的是( )
A.存在点P，使
B.存在点P，使得直线，的斜率的绝对值之和
C.使得应为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若，则
10．已知双曲线,则( )
A.实轴长为1 B.虚轴长为2 C.离心率 D.渐近线方程为
11．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点，，P是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.是公差为-1的等差数列
12．已知双曲线的右顶点为A,左、右焦点分别为、,直线、分别是的斜率大于0、小于0的渐近线,P是上一点,且轴,则下列选项中结论正确的是( )
A.若的斜率是,则,且双曲线的离心率为
B.若,则双曲线的离心率为
C.有可能垂直于
D.一定是直角三角形
13．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，若，且，则( )
A. B.
C.C的离心率为 D.直线的斜率为
14．已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过A作垂直于x轴的直线分别交，于点D，E.若，则下列结论正确的是( )
A.点E的纵坐标为 B.
C. D.双曲线的离心率为
15．已知双曲线，则( )
A.的取值范围是 B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6 D.C的离心率e的取值范围为
16．设F为双曲线的焦点,O为坐标原点,若圆心为,半径为2的圆交C的右支于A,B两点,则( )
A.C的离心率为 B.
C. D.
17．已知,分别是双曲线的左、右焦点,M是左支上一点,且在x在上方,过作角平分线的垂线,垂足为N,O是坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.若,则直线的斜率为
B.若,则
C.若,则
D.若,则
18．已知为双曲线的左、右焦点,过的直线交双曲线C右支于P,Q两点,则下列叙述正确的是( )
A.若,则的周长为B.弦长的最小值为
C.点P到两渐近线的距离之积为 D.点P与直线距离的最小值为1
19．已知,分别是双曲线的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为
B.以为直径的圆的方程为
C.到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.的面积为1
20．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是( )
A.用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
参考答案
1．答案：ABD
解析：对于A，根据题意，，设直线，，
又因为直线l与圆相切于点M，
所以，，，A正确；
对于B，根据题意可知，可得，
所以直线是C的一条渐近线，B正确；
对于C，若，根据题意，联立，解得，
同理联立，解得，
由于，故，即，，
化简得，则C的离心率为，C错误；
对于D，设，依题意知，则，
故，得，，
故，代入，得，
所以，则，，
得，则C的渐近线方程为，D正确；
故选：ABD
2．答案：ABD
解析：对于A,根据题意,,设直线,
又因为直线l与圆相切于点M,
所以,,,A正确;
对于B,根据题意可知,可得,
所以直线是C的一条渐近线,B正确;
对于C,若,根据题意,联立,解得,
同理联立,解得,
由于,故,即,
化简得,则C的离心率为,C错误;
对于D,设,依题意知,则,
故,得,,
故,代入,得,
所以,则,,
得,则C的渐近线方程为,D正确;
故选:ABD
3．答案：AC
解析：对于A，由题意可知，，设，，则直线的斜率，
，
令，，则
，
令，，
则在上单调递减，，则，故A正确.
对于B，当时，满足条件的点P有两个；
当时，满足条件的点P有两个；
易得不存在点P满足，满足为等腰三角形的点P有4个，故B错误.
对于C，双曲线的渐近线方程为，即，
点P到两条渐近线的距离的乘积为，故C正确.
对于D，点Q与在双曲线两侧，当P，Q，三点共线，且点P在线段上时，有最小值，此时，故D错误.故选AC.
4．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
5．答案：BCD
解析：A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，，，
，
化简得，由B选项知是黄金双曲线；
D选项，，轴，，且是等腰，
，即，由B选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD.
6．答案：AB
解析：当，即时，方程为，为圆，A正确
当，即或时，方程为双曲型，B正确；
当，即且时，方程为椭圆，C错误；
当，即时，方程为焦点在x轴上的椭圆，D错误；
故选：AB.
7．答案：ABD
解析：反比例函数的图象为等轴双曲线,故离心率为,其中一个焦点坐标应为.
8．答案：ACD
解析：若直线l与C的两支交于顶点A,B,则,
若直线l与C的一支交于A,B两点,则通径最短,,
由题意得,解得,
则C的方程为,
把选项ABCD分别代入方程,则B选项表示的点不在双曲线上,ACD选项表示的点在双曲线上.
故选:ACD.
9．答案：AD
解析：设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，故A正确；
对于B，因为，，所以，又，
所以，，
故，当且仅当时等号成立，又等号不可能成立，故B错误；
对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；
当时，，也为等腰三角形，
故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个；
同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，
因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误；
对于D，由，得，
从而，故D正确．
故选：AD．
10．答案：BCD
解析：由可知,,,故实轴长为,虚轴长为,
离心率,渐近线方程为,即.
故选:BCD
11．答案：BCD
解析：设，，
由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以，所以A选项错误.
根据椭圆和双曲线的定义得：
所以，，
由余弦定理得，
，
，B选项正确.
，，C选项正确.
，，
，D选项正确.故选：BCD.
12．答案：AD
解析：由题意可知,双曲线C的标准方程为,其渐近线方程为,
因为双曲线C的焦点在x轴上,则,
对于A选项,若的斜率是2,即,则,
双曲线C的离心率为,A对;
对于B选项,由题意可得,则,,,
因为,则,
故为等腰三角形,且,因为轴,则A为的中点,
所以,,可得,
此时,双曲线C的离心率为,B错;
对于C选项,若,直线的方程为,
由点到直线的距离公式可得,
所以,,
因为轴,则,,
所以,,则,即,则,
与双曲线C标准方程矛盾,假设不成立,C错;
对于D选项,易知点、,
将代入方程可得,即点,
,,
所以,
,
所以,,故一定为直角三角形,D对.
故选：AD.
13．答案：ACD
解析：如图，由，可设，.因为，所以.设，，则，，，解得，则，，所以，.在中，由，得，则，从而C的离心率为.又，所以直线的斜率为.故选ACD.
14．答案：ABD
解析：对于A，因为A，B关于原点对称，，，
设，，，
因为，所以，，
解得：，，，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为B，E，C三点共线，，，，
所以，则，故C错误；
对于D，因为，在双曲线上，所以，，
，
因为，即，其中，
所以，所以，
则，故D正确.
故选：ABD.
15．答案：AC
解析：对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由，可知，的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为，则，，焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误.
16．答案：ACD
解析：因为,,所以C的离心率为, 故A正确;
设,,联立消去x可得,
则,,,解得.
,
,故B错误;
,当且仅当时取等号, 故C正确;
当F为右焦点时,,
因为,所以,
当且仅当或2时取等号,所以.
显然当F为左焦点时, ,所以, 故D正确.
故选：ACD.
17．答案：AC
解析：
18．答案：ABC
解析：如图,双曲线的渐近线方程为.
对于A项,因,又,
则的周长为
,故A项正确;
对于B项,不妨设直线的直线方程为,与双曲线方程联立,
消去x,整理得：,,
设,,则,显然,故,
则弦长
,
因,则,故,
即时,弦长的最小值为,故B项正确;
对于C项,设到双曲线两渐近线的距离分别为,,
则,因,故得,故C项正确;
对于D项,因双曲线的渐近线与直线平行,
而点到渐近线的距离大于零,且趋近于零,
因渐近线与直线的距离为,
故点到直线距离大于1,故D项错误.
故选：ABC.
19．答案：ACD
解析：A中双曲线,可得焦点在x轴上,,,,a是实半轴长,b虚半轴长,
所以渐近线方程为即,所以A正确;
B中,,可得左焦点,右焦点,所以以为直径的圆的圆心是,半径为,
所以圆的方程为,所以B不正确;
C中,到一条渐近线为的距离,所以C正确;
D中,,设P坐标,,,
,
即①,
又P在双曲线上,所以②,由 ① ②得,,
,D正确．
20．答案：AB
解析：因为马鞍面的标准方程为，
对于A，平行于平面的面中z为常数，不妨设为，
得，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；
对于B，法向量为的平面中z为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故B正确；
对于C，垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故C错误；
对于D，不妨设平面上的点坐标为，
因为平面过原点且法向量为，由，得，
故，代入马鞍面标准方程，得，
当时，方程为，不是物物线，故D错误.
故选：AB.
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