北京市石景山区2023-2024高一下学期期末数学试卷

北京市石景山区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷
1．（2024高一下·石景山期末）与角终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·石景山期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2024高一下·石景山期末）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024高一下·石景山期末）已知向量满足，则（　　）
A． B． C．0 D．1
5．（2024高一下·石景山期末）在中，已知，那么一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
6．（2024高一下·石景山期末）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·石景山期末）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·石景山期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·石景山期末）已知为复数，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则或
10．（2024高一下·石景山期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024高一下·石景山期末）化简　 　
12．（2024高一下·石景山期末）若，则　 　.
13．（2024高一下·石景山期末）在中，，，，则的外接圆半径为　 　.
14．（2024高一下·石景山期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　．
15．（2024高一下·石景山期末）已知三角形是边长为2的等边三角形．如图，将三角形的顶点A与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是；
④完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是．
其中所有正确结论的序号是　 　．
16．（2024高一下·石景山期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（2024高一下·石景山期末）已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求．
18．（2024高一下·石景山期末）向量，设函数．
（1）求的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数在区间内的草图；
（2）若方程在上有两个根，求的取值范围及的值．
19．（2024高一下·石景山期末）如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
20．（2024高一下·石景山期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．
（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】因为，所以与角终边相同的角是，
故答案为：D.
【分析】
利用终边相同的角的集合得，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.
由题可得：.
故答案为：A.
【分析】
由扇形面积及弧长公式，联立方程，解出即可求解.
3．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故答案为：A.
【分析】
利用复数的混合运算法则及几何意义即可求解．
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
两式相加得，即，
所以，
故答案为：B.
【分析】
首先解方程组计算出，，再根据向量模的坐标公式即可求解.
5．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，
所以，
即，所以，
又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】
由正弦的和差角公式将化简得，即可判断三角形形状.
6．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】
利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
7．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 ，
且 ，
故答案为：D.
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式，即可求出相应的正弦值.
8．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故，
，故，解得，
故.
将代入可得：，
则，解得.
∵，∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】
根据已知中函数的部分图象，由最大、最小值确定A，半周期确定，代入点确定值，可得答案．
9．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】设复数，
对于A，，A正确；
对于B，，，
，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，即，
则，即，
因此或，即或，D正确.
故答案为：C.
【分析】
设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断A、B、D正确；举例说明判断C错误.
10．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于①，，故①错误；
对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故②正确；
对于③，在上的投影向量为，故③正确；
对于④，设的夹角为，则，其中表示在上的投影数量，
易知，延长DC交AB延长线于Q，当P在线段DC上运动，投影数量最大，
易知为等腰直角三角形，且，
则在中，，
在等腰三角形中，
则
.故④正确.
则正确的个数共有3个.
故答案为：C．
【分析】
正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断①②，由投影向量和投影数量判断③④得答案．
11．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】根据诱导公式即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意可得，故答案为.
【分析】
利用二倍角的余弦公式得出，然后在代数式上除以
1=化为有关角的弦的二次分式齐次式，并在分式的分子和分母中同时除以，利用同角三角函数关系，可转化为关于的代数式进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
【分析】
由正弦定理即可求解．
14．【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】由图及网格纸上小正方形的边长为1，
可得.
则.
则.
故答案为：.
【分析】
建立如图所示坐标系，求出各点坐标，进而得及的坐标表示，再由数量积的坐标公式计算即可.
15．【答案】①③④
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】①，如图，将等边三角形顺时针滚动两次，A再次回落到轴上，故相邻两个A之间的距离为6，
故一个周期为6，①正确；
②，完成一个周期，顶点A的轨迹如下：
可以看出顶点A的轨迹不是一个半圆，是两段圆心角为的弧长，②错误；
③，完成一个周期，顶点A的轨迹长度是，③正确；
④，完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是两个圆心角为，半径为2的扇形面积，
加上一个半径为2的等边三角形，
故面积为，④正确.
故答案为：①③④
【分析】
①画出顶点A的轨迹，得到相邻两个A之间的距离为6，故①正确；②根据顶点A的轨迹得到②错误；
③利用弧长公式进行求解；④利用扇形面积公式和等边三角形面积，即可求解.
16．【答案】（1）由题结合任意角三角函数定义可得：
（2）由题可得：，
则
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.
（2）由题结合二倍角正切公式可得答案.
（1）由题结合任意角三角函数定义可得：
；
（2）由题可得：，
则.
17．【答案】（1）在中，由正弦定理得：，∴可等价转化为，
其中，故．
∴，
即，
因为，
所以.
（2） 因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以.
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】
（1）根据，利用正弦定理转化为求解；
（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案.
（1）在中，由正弦定理得：，
∴可等价转化为，
其中，故．
∴，
即，
因为，
所以.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以.
18．【答案】（1）由题，.
则周期为；
又，可得相应表格如下：
得函数图象如下：
（2）方程在上根的个数，
即在区间内图象与直线的交点个数.
由（1）可得，.
又由（1）图可得两交点关于在区间内图象对称轴对称，
又由（1）可得在区间内图象对称轴为与.
则时，；时，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；五点法画三角函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】
（1）由题可得表达式，化简后结合周期计算公式可得周期，后由五点作图法可得周期；
（2）由（1）结合图象可得答案.
（1）由题，.
则周期为；
又，可得相应表格如下：
得函数图象如下：
（2）方程在上根的个数，
即在区间内图象与直线的交点个数.
由（1）可得，.
又由（1）图可得两交点关于在区间内图象对称轴对称，
又由（1）可得在区间内图象对称轴为与.
则时，；时，.
19．【答案】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
20．【答案】（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2）解：，
，
，，
，即时，，
因此，当时，的面积的最大值为．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，再结合三角函数的定义和，从而用表示出AB的长.
（2）由三角形的面积公式和辅助角公式，从而将三角形的面积转化为三角型函数，再结合角的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的面积的最大值，并求此时角的大小．
（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2），
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积的最大值为．
北京市石景山区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷
1．（2024高一下·石景山期末）与角终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】因为，所以与角终边相同的角是，
故答案为：D.
【分析】
利用终边相同的角的集合得，即可求解.
2．（2024高一下·石景山期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.
由题可得：.
故答案为：A.
【分析】
由扇形面积及弧长公式，联立方程，解出即可求解.
3．（2024高一下·石景山期末）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故答案为：A.
【分析】
利用复数的混合运算法则及几何意义即可求解．
4．（2024高一下·石景山期末）已知向量满足，则（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
两式相加得，即，
所以，
故答案为：B.
【分析】
首先解方程组计算出，，再根据向量模的坐标公式即可求解.
5．（2024高一下·石景山期末）在中，已知，那么一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，
所以，
即，所以，
又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】
由正弦的和差角公式将化简得，即可判断三角形形状.
6．（2024高一下·石景山期末）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】
利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
7．（2024高一下·石景山期末）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 ，
且 ，
故答案为：D.
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式，即可求出相应的正弦值.
8．（2024高一下·石景山期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故，
，故，解得，
故.
将代入可得：，
则，解得.
∵，∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】
根据已知中函数的部分图象，由最大、最小值确定A，半周期确定，代入点确定值，可得答案．
9．（2024高一下·石景山期末）已知为复数，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则或
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】设复数，
对于A，，A正确；
对于B，，，
，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，即，
则，即，
因此或，即或，D正确.
故答案为：C.
【分析】
设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断A、B、D正确；举例说明判断C错误.
10．（2024高一下·石景山期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于①，，故①错误；
对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故②正确；
对于③，在上的投影向量为，故③正确；
对于④，设的夹角为，则，其中表示在上的投影数量，
易知，延长DC交AB延长线于Q，当P在线段DC上运动，投影数量最大，
易知为等腰直角三角形，且，
则在中，，
在等腰三角形中，
则
.故④正确.
则正确的个数共有3个.
故答案为：C．
【分析】
正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断①②，由投影向量和投影数量判断③④得答案．
11．（2024高一下·石景山期末）化简　 　
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】根据诱导公式即可得到答案.
12．（2024高一下·石景山期末）若，则　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意可得，故答案为.
【分析】
利用二倍角的余弦公式得出，然后在代数式上除以
1=化为有关角的弦的二次分式齐次式，并在分式的分子和分母中同时除以，利用同角三角函数关系，可转化为关于的代数式进行计算即可.
13．（2024高一下·石景山期末）在中，，，，则的外接圆半径为　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
【分析】
由正弦定理即可求解．
14．（2024高一下·石景山期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】由图及网格纸上小正方形的边长为1，
可得.
则.
则.
故答案为：.
【分析】
建立如图所示坐标系，求出各点坐标，进而得及的坐标表示，再由数量积的坐标公式计算即可.
15．（2024高一下·石景山期末）已知三角形是边长为2的等边三角形．如图，将三角形的顶点A与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是；
④完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是．
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】①，如图，将等边三角形顺时针滚动两次，A再次回落到轴上，故相邻两个A之间的距离为6，
故一个周期为6，①正确；
②，完成一个周期，顶点A的轨迹如下：
可以看出顶点A的轨迹不是一个半圆，是两段圆心角为的弧长，②错误；
③，完成一个周期，顶点A的轨迹长度是，③正确；
④，完成一个周期，顶点A的轨迹与轴围成的面积是两个圆心角为，半径为2的扇形面积，
加上一个半径为2的等边三角形，
故面积为，④正确.
故答案为：①③④
【分析】
①画出顶点A的轨迹，得到相邻两个A之间的距离为6，故①正确；②根据顶点A的轨迹得到②错误；
③利用弧长公式进行求解；④利用扇形面积公式和等边三角形面积，即可求解.
16．（2024高一下·石景山期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）由题结合任意角三角函数定义可得：
（2）由题可得：，
则
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.
（2）由题结合二倍角正切公式可得答案.
（1）由题结合任意角三角函数定义可得：
；
（2）由题可得：，
则.
17．（2024高一下·石景山期末）已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求．
【答案】（1）在中，由正弦定理得：，∴可等价转化为，
其中，故．
∴，
即，
因为，
所以.
（2） 因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以.
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】
（1）根据，利用正弦定理转化为求解；
（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案.
（1）在中，由正弦定理得：，
∴可等价转化为，
其中，故．
∴，
即，
因为，
所以.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以.
18．（2024高一下·石景山期末）向量，设函数．
（1）求的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数在区间内的草图；
（2）若方程在上有两个根，求的取值范围及的值．
【答案】（1）由题，.
则周期为；
又，可得相应表格如下：
得函数图象如下：
（2）方程在上根的个数，
即在区间内图象与直线的交点个数.
由（1）可得，.
又由（1）图可得两交点关于在区间内图象对称轴对称，
又由（1）可得在区间内图象对称轴为与.
则时，；时，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；五点法画三角函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】
（1）由题可得表达式，化简后结合周期计算公式可得周期，后由五点作图法可得周期；
（2）由（1）结合图象可得答案.
（1）由题，.
则周期为；
又，可得相应表格如下：
得函数图象如下：
（2）方程在上根的个数，
即在区间内图象与直线的交点个数.
由（1）可得，.
又由（1）图可得两交点关于在区间内图象对称轴对称，
又由（1）可得在区间内图象对称轴为与.
则时，；时，.
19．（2024高一下·石景山期末）如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
20．（2024高一下·石景山期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．
（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
【答案】（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2）解：，
，
，，
，即时，，
因此，当时，的面积的最大值为．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，再结合三角函数的定义和，从而用表示出AB的长.
（2）由三角形的面积公式和辅助角公式，从而将三角形的面积转化为三角型函数，再结合角的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的面积的最大值，并求此时角的大小．
（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2），
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积的最大值为．