第1章 解直角三角形 单元重点综合测试（原卷版+解析版）

第1章 解直角三角形 单元重点综合测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据勾股定理，可得BC的长，根据角的余弦等于角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解；由勾股定理得BC，
COS∠B，
故选：B．
2．（3分）下列不等式成立的是（　　）
A．sin60°＜sin45°＜sin30°
B．cos30°＜cos45°＜cos60°
C．tan60°＜tan45°＜tan30°
D．sin30°＜cos45°＜tan60°
【思路点拔】将特殊角的三角函数值进行比较即可．
【解答】解：A、∵，
∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故选项不成立；
B、∵，
∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故选项不成立；
C、∵1，
∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故选项不成立；
D、∵，
∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故选项成立．
故选：D．
3．（3分）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：在 Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，sinB，
∴∠B＝45°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
故选：B．
4．（3分）如图，电线杆CD与水平地面垂直，高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（　　）
A． B． C． D．hcosα
【思路点拔】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由知
【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，
∵，
∴，
故选：B．
5．（3分）如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡比（坡比是斜坡的铅直距离与水平距离的比）为1：1.5，迎水坡BC的坡比为1：，坝顶宽CD为3m，坝高CF为10m，则坝底宽AB约为（　　）（1.732，保留3个有效数字）
A．32.2 m B．29.8 m C．20.3 m D．35.3 m
【思路点拔】根据坡比的定义可分别求出BF、AE，继而根据AB＝BF+FE+AE即可得出答案．
【解答】解：在Rt△BCF中，∵CF：BF＝1：1.5，CF＝10m，
∴BF＝15m，
在Rt△AED中，∵DE：AE＝1：，DE＝10m，
∴BF＝10m，
故可得AB＝BF+FE+AE＝15+3+1035.3m．
故选：D．
6．（3分）桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝130°，此时，点A到地面的距离为（　　）
A．x米 B．5米
C．米 D．（3+4sin40°）米
【思路点拔】过点O作EF⊥OM，过点A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝40°，进而求出AG＝AO sin40°＝4sin40°，由此得到答案．
【解答】解：如图，过点O作EF⊥OM，过点A作AG⊥EF于点G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，
∵∠AOM＝130°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝40°，
在Rt△AOG中，
AG＝AO sin40°＝4sin40°米，
∴此时，点A到地面的距离为（3+4sin40°）米，
故选：D．
7．（3分）如图所示，格点三角形ABC放置在5×4的正方形网格中，则sin∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形的边角关系得结论．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵BD＝2，AD＝4，
∴AB2．
∴sin∠ABC．
故选：D．
8．（3分）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC＝α，∠A′B′C＝β，则AA′＝（　　）
A．（3sinα﹣3sinβ）m B．（3cosα﹣3cosβ）m
C． D．（3tanα﹣3tanβ）m
【思路点拔】在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AB＝3m，解直角三角形求出AC的长，在Rt△A′B′C中，∠A′B′C＝β，A′B′＝3m，解直角三角形求出A′C的长，再利用AA′＝AC﹣A′C解答即可．
【解答】解：由题意可知：AB＝A′B′＝3m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AB＝3m，
∴sinα，
∴AC＝AB sinα＝3sinα，
在Rt△A′B′C中，∠A′B′C＝β，A′B′＝3m，
∴sinβ，
∴A′C＝A′B′ sinβ＝3sinβ，
∴AA′＝AC﹣A′C＝3sinα﹣3sinβ＝3（sinα﹣sinβ），
故选：A．
9．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2ab，a2+b2ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：5，进而可求解n的值．
【解答】解：如图，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα，tanβ，2tanα＝tan2β，
∴（）2，
∴（b﹣a）2ab，
∴a2+b2ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCDab：ab＝1：5，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝5．
故选：D．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】作△ABC的外接圆，连接AF，证点F在△ABC的外接圆上，则∠BAF＝∠BCF＝45°，进而得FA⊥DE，则BD∥FA∥CE，由此得S△ADF＝S△ABF，同理S△AEF＝S△ACF，则S△EEF＝S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则S△ABC，b2+c2＝a2，S△BCF，由此得S△EEF，在根据△DEF与△ABC面积比为5：2得，整理得3bc＝a2＝b2+c2，将上式两边同时除以ab得，设，则，整理得x2﹣3x+1＝0，由此解出x可得的值，然后根据三角函数的定义可得tan∠ABC的值．
【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AF，如图所示：
依题意得：∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝∠BFC＝90°，∠DAB＝∠EAC＝∠FBC＝∠FCB＝45°，
∴点F在△ABC的外接圆上，
∴∠BAF＝∠BCF＝45°，
∴∠FAD＝∠BAF+∠DAB＝90°，
即FA⊥DE，
∵∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴BD∥FA∥CE，
∴△ADF和△ABF的公共边AF上的高相等，
∴S△ADF＝S△ABF，
同理：S△AEF＝S△ACF，
∴S△DEF＝S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF，
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴S△ABC，b2+c2＝a2，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2+CF2＝BC2，
即2BF2＝a2，
∴BF2，
∴S△BCFBF2，
∴S△DEF，
∵△DEF与△ABC面积比为5：2，
∴，
整理得：3bc＝a2，
∴3bc＝b2+c2，
将上式两边同时除以ab，得：，
设，则，
∴，
整理得：x2﹣3x+1＝0，
解得：x1，x2，
∵AB＞AC，
∵c＞b，
∴，
即x＜1，
∴x，
即，
在Rt△ABC中，tan∠ABC．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若∠A为锐角，tanA，则sinA＝　　．
【思路点拔】直接根据题意画出图形，进而用同一未知数表示出三角形各边长，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：∵tanA，
∴，
∴设BC＝a，则AC＝2a，
∴ABa，
则sinA．
故答案为：．
12．（3分）sin245°+cos230°﹣tan260°＝　　；若，则锐角α＝　40　°．
【思路点拔】根据特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【解答】解：sin245°+cos230°﹣tan260°
＝（）2+（）2﹣（）2
3
；
∵，
∴α﹣10°＝30°，
∴锐角α＝40°，
故答案为：，40．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　　．
【思路点拔】过点B作AC的垂线，构造出直角三角形，再根据BD平分△ABC的周长及正切的定义即可解决问题．
【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABC中，
AC，
又∵，
∴BM．
在Rt△ABM中，
AM．
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD，
∴AD＝15﹣5＝10，
∴DM＝10．
在Rt△BDM中，
tan∠ADB．
故答案为：．
14．（3分）在“镖形”ABCD中，AB＝4，CB＝8，∠A＝∠B＝∠C＝30°，则点D到AB的距离为　1　．
【思路点拔】延长CD交AB于点E，过点E作EG⊥BC于点G，过点D作DF⊥BA于点F，易证△BCE为等腰三角形，从而得到BG＝CG4，进而求得AE．再在Rt△ADE中，利用∠A＝30°，则cos30，得AD＝2，再利用30°角所对直角边DF为斜边AD的一半得DF长即可得到答案．
【解答】解：延长CD交AB于点E，过点E作EG⊥BC于点G，过点D作DF⊥BA于点F，如图．
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠CEA＝∠B+∠C＝60°，BE＝CE．
又EG⊥BC，
∴BG＝CG＝4，
∴BE．
∴AE＝AB﹣BE．
又∠EDA＝90°，∠A＝30°，
∴AD＝cos30°×AE2．
∴DF1．
即D到AB距离为1．
故答案为：1．
15．（3分）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A﹣C﹣E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD＝6cm，AB＝2BD＝4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM＝60°，∠ABD＝120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD＝150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 　　cm．
【思路点拔】如图2，过点A作AQ⊥MN交MN于点Q，过点B作BG∥MN交AQ于点G，过点B作BF⊥MN于点F，如图3，延长BC交MN于点H，在Rt△ABG和Rt△BDF中分别算出AG和BF，求出点A到MN的距离，再在Rt△BDH中，算出BH，AH，再作差即可求得．
【解答】解：如图2，过点A作AQ⊥MN交MN于点Q，过点B作BG∥MN交AQ于点G，过点B作BF⊥MN于点F，如图3，延长BC交MN于点H
旋转前如图3：
∵∠BDM＝60°，∠ABD＝120°，BG∥MN，
∴∠ABG＝∠DBG＝60°，
∵AB＝2BD＝4BC，BD＝6cm，
∴AB＝12cm，BE＝3cm，
∵∠AGB＝∠BFD＝90°，
∴在Rt△ABG和Rt△BDF中，
cm，
cm，
故点A到MN的距离为：cm，
旋转后如图3：
∵∠ABD＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵∠BDM＝60°，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△BDH中，
（cm），
故cm，
点A的位置较原来的位置上升高度为：（cm），
故答案为：．
16．（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6．
（1）四边形KIDG的面积为 　　；
（2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　　．
【思路点拔】（1）首先证明△AEL∽△BCE，求出正方形ABCD的边长，得出tan∠BCE，再求出正方形GDIH的边长为6，根据tan∠DCG＝tan∠BCE，求出IK，由梯形面积公式得四边形KIDG的面积；
（2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q，证明△AEQ∽△CEB，求出OE＝1.2，AQ＝1.6，求出tan∠ACQ，从而可得结论．
【解答】解：（1）根据题意知，四边形FECG是正方形，
∴∠FEC＝∠ECG＝90°，
∵四边形ABCD，DIHG是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠GDC＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠AEL+∠ALE＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEL+∠BEC＝90°，
∴∠ALE＝∠BEC，
∵∠EAL＝∠CBE＝90°，
∴△AEL∽△BCE，
∴，
设BC＝a，则AE＝AB﹣BE＝a﹣6，
∴，
解a＝8，
∴AB＝BC＝CD＝8，
∴AE＝2，
∴tan∠BCE，
∵∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∴tan∠DCG＝tan∠BCE，
∴DGDC＝6，
∴DI＝DG＝6，
∴CI＝DC﹣DI＝2，
又，
∴IK，
∴四边形KIDG的面积为：（IK+DG） DI（3+6）×6，
故答案为：；
（2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q，
在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝8，
∴CE10，
∵∠AQE＝∠B＝90°，∠AEQ＝∠CEB，
∴∠AEQ∽△CEB，
∴，
∴，
∴QE＝1.2，AQ＝1.6，
在Rt△AQC中，
tan∠ACQ，
∵∠GCF＝∠BCA＝45°，且∠DCG＝∠BCE，
∴∠DCF＝∠ACQ，
∴tan∠DCF＝tan∠ACQ，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）tan45°﹣cos60°+tan60°；
（2）．
【思路点拔】（1）（2）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）tan45°﹣cos60°+tan60°
＝1
；
（2）
＝1．
18．（6分）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【思路点拔】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE＝BC，BE＝DC＝61，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE＝BC，BE＝DC＝61（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BC，
在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，
∴DE152.5（米），
∴AB＝AE+BE＝DE+CD＝152.5+61＝213.5≈214（米）．
答：观景台的高AB的值约为214米．
19．（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角∠CAE，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自B处测得建筑物顶部的仰角∠CBE．已知测角仪的高度是1.5m，
（1）若∠CAE＝30°，∠CBE＝45°，AB＝100m，计算出该建筑物的高度．（2）若∠CAE＝α，∠CBE＝β，AB＝x，计算出该建筑物的高度（用含α，β，x的代数式表示）
【思路点拔】（1）根据CE＝x m，则由题意可知BE＝x m，AE＝（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．
（2）根据CE＝y m，则由题意可知BE＝y m，AE＝（y+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．
【解答】解：设CE＝x m，则由题意可知BE＝x m，AE＝（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE，
即tan30°，
∴，
解得x＝50+50，
∴CD＝CE+ED＝（51.5+50）（m）．
答：该建筑物的高度为（51.5+50）m．
（2）设BE＝y，CE＝n，
则，
∴n＝（x+y）tanα＝ytanβ，
∴，
∴，
∴
答：该建筑物的高度为．
20．（8分）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，四边形BEFC是底座．已知BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度．已知CD＝52cm，BC＝8cm，EF＝20cm，DH＝12cm，GH＝16cm．
（1）求BE的长．（精确到0.1cm，1.73）
（2）当∠GHD＝53°时，求点G到地面EF的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【思路点拔】（1）根据BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，可以求得EN的长，然后根据锐角三角函数即可得到BE的长；
（2）先作GM⊥DC于点M，然后根据锐角三角函数可以求得MH的长，从而可以得到点M到地面的距离，即点G到EF的距离．
【解答】解：（1）作BN⊥EF于点N，
∵BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，
∴EN6（cm），
∵cos∠BEN，
∴cos30°，
解得BE≈6.9cm；
（2）作GM⊥DC于点M，
∵GH＝16cm，∠GHD＝53°，cos∠GHM，
∴cos53°，
解得MH≈9.6cm，
∵BN＝EN tan30°＝63.5（cm），CD＝52cm，DH＝12cm，
∴MC＝CD﹣DM＝CD﹣（DH﹣MH）＝52﹣（12﹣9.6）＝49.6（cm），
∴点M到地面EF的距离是49.6+3.5＝53.1（cm），
即点G到地面EF的距离约为53.1cm．
21．（10分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东65°方向，距离辽宁舰70nmile的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东37°方向的D处．
（1）求C处距离辽宁舰有多远；
（2）求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到1nmile）．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【思路点拔】（1）在Rt△ABC中，AC＝AB cos∠BAC，代入计算即可．
（2）在Rt△ACD中，AD，代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝70nmile，∠BAC＝25°，
在Rt△ABC中，AC＝AB cos∠BAC＝70×cos∠25°≈63.7（nmile）．
∴C处距离辽宁舰约有63.7nmile．
（2）在Rt△ACD中，AC＝63.7nmile，∠ADC＝37°，
AD106（nmile）．
∴D处距离辽宁舰约有106nmile．
22．（10分）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO'B′位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，OC⊥OA于点C，∠O'AC＝30°，AC＝10cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B′比原来升高了多少cm？
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质得到AO′＝2CO′，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵O'C⊥OA，
∴∠ACO′＝90°，
∵∠CAO′＝30°，
∴AO′＝2CO′，
∵AO′2＝AC2+CO′2，
∴AO′2＝（10 ）2+（ AO′）2，
∴AO＝AO′＝20cm，
答：OA的长为20cm；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴ODOB，
∵OB＝OA＝20cm，
∴OD＝10cm，
∴BD10 （cm），
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，
∴∠AO′C＝60°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C＝180°，
∴O′B′+O′C﹣BD＝20+10﹣10 （30﹣10 ）cm，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（30﹣10 ）cm．
23．（12分）如图，小明在高楼BC上观测河对岸的斜坡AD．斜坡AD处有一段路在抢修，导致无法通行，BD是一条河流，P是斜坡AD上一照明灯（不计高度）．当小明到达楼层E时，发现E处与坡顶A在同一水平面上，此时在E测得坡底D的俯角为α（即∠DEA＝α），且，当小明到达楼层F处时，在F处测得坡顶A的俯角恰好也为α．现测得EB＝8m，EF＝32m．
（1）求线段BD的长；
（2）求tan∠DAE的值；
（3）小明到达楼顶C处时，在C处测得探照灯P的俯角为45°，CF＝5m，求点P到点A的距离．
【思路点拔】（1）由，EB＝8m，据此即可求解；
（2）作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，由∠EAF＝α，EF＝32m，利用正切函数求得AE的长，据此求解即可；
（3）作PG⊥BC，设EG＝HI＝a，证明△DPH∽△DAI，利用相似三角形的性质求得a＝2，据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意得∠EDB＝∠DAE＝α，
∵，EB＝8m，
∴，即，
∴BD＝12（m）；
（2）作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，
∴IE＝BD＝12，ID＝BE＝8，
∵∠EAF＝α，EF＝32m，
∴，
∴AE＝48（m），
∴AI＝AE﹣IE＝48﹣12＝36，，
∴；
（3）解：如图，作PG⊥BC，则四边形BDHG、EIHG是矩形，
设EG＝HI＝a，
∵∠PCG＝45°，
∴PG＝CG＝5+32+a＝37+a，
∴PH＝PG﹣HG＝37+a﹣12＝25+a，
∵PH∥AI，
∴△DPH∽△DAI，
∴，即，
∴a＝2，
∴，
∴（m）．
∴点P到点A的距离为．
24．（12分）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度
【测角原理】如图1，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成．铅垂线OA始终与地面垂直，零刻度线始终与度盘顶线PQ垂直．测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的零刻度线重合，然后转动顶线PQ，使其对准目标点，此时通过OA指向的度数即可确定仰角的大小．
【数学证明】如图2，直线CD为水平地面，旗杆MN⊥CD，OB为零刻度线方向，请根据材料说明∠BOA的大小即为仰角∠MOE的大小．
【理论设计】在图2中，若∠BOA＝α，测角仪的支杆OA＝a，点O离MN的距离OE＝b，请据此表示出线段MN的长度（用含α，a，b的字母表示）．
【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案．测量时，先在点A处测得仰角∠MOE为65°，然后沿直线NA后退6m至点B处，测得仰角∠MO′E为55°，其中支杆OA的长为1米．请根据测量数据，求出旗杆MN的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
【思路点拔】【数学证明】根据题意可得：OE⊥MN，MN⊥AN，OA⊥AN，从而可得∠OEN＝∠ENA＝∠OAN＝90°，进而可得四边形OANE是矩形，然后根据矩形的性质可得∠AOE＝90°，再根据题意可得：OB⊥PQ，从而可得∠QOB＝90°，最后利用等式的性质即可解答；
【理论设计】根据题意可得：∠MOE＝∠BOA＝a，OA＝EN＝a，然后在Rt△MOE中，利用锐角三角函数的定义求出ME的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
【实践操作】根据题意可得：O′B＝OA＝EN＝1米，O′E＝BN，OO′＝BA＝6m，然后设OE＝x米，则O′E＝BN＝（x+6）米，分别在Rt△MOE和Rt△MO′E中，利用锐角三角函数的定义求出ME的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：【数学证明】由题意可得：OE⊥MN，MN⊥AN，OA⊥AN，
∴∠OEN＝∠ENA＝∠OAN＝90°，
∴四边形OANE是矩形，
∴∠AOE＝90°
由题意可得：OB⊥PQ，
∴∠QOB＝90°，
∴∠AOE﹣∠BOE＝∠QOB﹣∠BOE，
∴∠AOB＝∠MOE；
【理论设计】由题意得：∠MOE＝∠BOA＝a，OA＝EN＝a，
在Rt△MOE中，OE＝b，
∴ME＝OE tanα＝btanα，
∴MN＝ME+EN＝a+btanα，
∴线段MN的长度为a+btanα；
【实践操作】由题意得：O′B＝OA＝EN＝1米，O′E＝BN，OO′＝BA＝6m，
设OE＝x米，
∴O′E＝BN＝OO′+OE＝（x+6）米，
在Rt△MOE中，∠MOE＝65°，
∴ME＝OE tan65°≈2.1x（米），
在Rt△MO′E中，∠MO′E＝55°，
∴ME＝O′E tan55°≈1.4（x+6）米，
∴2.1x＝1.4（x+6），
解得：x＝12，
∴ME＝2.1x＝25.2（米），
∴MN＝ME+EN＝25.2+1≈26（米），
答：旗杆MN的高度约为26米．
第1章 解直角三角形 单元重点综合测试
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列不等式成立的是（　　）
A．sin60°＜sin45°＜sin30°
B．cos30°＜cos45°＜cos60°
C．tan60°＜tan45°＜tan30°
D．sin30°＜cos45°＜tan60°
3．（3分）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）如图，电线杆CD与水平地面垂直，高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（　　）
A． B． C． D．hcosα
5．（3分）如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡比（坡比是斜坡的铅直距离与水平距离的比）为1：1.5，迎水坡BC的坡比为1：，坝顶宽CD为3m，坝高CF为10m，则坝底宽AB约为（　　）（1.732，保留3个有效数字）
A．32.2 m B．29.8 m C．20.3 m D．35.3 m
6．（3分）桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝130°，此时，点A到地面的距离为（　　）
A．x米 B．5米
C．米 D．（3+4sin40°）米
7．（3分）如图所示，格点三角形ABC放置在5×4的正方形网格中，则sin∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC＝α，∠A′B′C＝β，则AA′＝（　　）
A．（3sinα﹣3sinβ）m B．（3cosα﹣3cosβ）m
C． D．（3tanα﹣3tanβ）m
9．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若∠A为锐角，tanA，则sinA＝　 　．
12．（3分）sin245°+cos230°﹣tan260°＝　 　；若，则锐角α＝　 　°．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　 　．
14．（3分）在“镖形”ABCD中，AB＝4，CB＝8，∠A＝∠B＝∠C＝30°，则点D到AB的距离为　 　．
15．（3分）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A﹣C﹣E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD＝6cm，AB＝2BD＝4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM＝60°，∠ABD＝120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD＝150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为 　 　cm．
16．（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6．
（1）四边形KIDG的面积为 　 　；
（2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）tan45°﹣cos60°+tan60°；
（2）．
18．（6分）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
19．（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角∠CAE，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自B处测得建筑物顶部的仰角∠CBE．已知测角仪的高度是1.5m，
（1）若∠CAE＝30°，∠CBE＝45°，AB＝100m，计算出该建筑物的高度．（2）若∠CAE＝α，∠CBE＝β，AB＝x，计算出该建筑物的高度（用含α，β，x的代数式表示）
20．（8分）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，四边形BEFC是底座．已知BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度．已知CD＝52cm，BC＝8cm，EF＝20cm，DH＝12cm，GH＝16cm．
（1）求BE的长．（精确到0.1cm，1.73）
（2）当∠GHD＝53°时，求点G到地面EF的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
21．（10分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东65°方向，距离辽宁舰70nmile的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东37°方向的D处．
（1）求C处距离辽宁舰有多远；
（2）求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到1nmile）．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（10分）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO'B′位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，OC⊥OA于点C，∠O'AC＝30°，AC＝10cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B′比原来升高了多少cm？
23．（12分）如图，小明在高楼BC上观测河对岸的斜坡AD．斜坡AD处有一段路在抢修，导致无法通行，BD是一条河流，P是斜坡AD上一照明灯（不计高度）．当小明到达楼层E时，发现E处与坡顶A在同一水平面上，此时在E测得坡底D的俯角为α（即∠DEA＝α），且，当小明到达楼层F处时，在F处测得坡顶A的俯角恰好也为α．现测得EB＝8m，EF＝32m．
（1）求线段BD的长；
（2）求tan∠DAE的值；
（3）小明到达楼顶C处时，在C处测得探照灯P的俯角为45°，CF＝5m，求点P到点A的距离．
24．（12分）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度
【测角原理】如图1，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成．铅垂线OA始终与地面垂直，零刻度线始终与度盘顶线PQ垂直．测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的零刻度线重合，然后转动顶线PQ，使其对准目标点，此时通过OA指向的度数即可确定仰角的大小．
【数学证明】如图2，直线CD为水平地面，旗杆MN⊥CD，OB为零刻度线方向，请根据材料说明∠BOA的大小即为仰角∠MOE的大小．
【理论设计】在图2中，若∠BOA＝α，测角仪的支杆OA＝a，点O离MN的距离OE＝b，请据此表示出线段MN的长度（用含α，a，b的字母表示）．
【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案．测量时，先在点A处测得仰角∠MOE为65°，然后沿直线NA后退6m至点B处，测得仰角∠MO′E为55°，其中支杆OA的长为1米．请根据测量数据，求出旗杆MN的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）