吉林省松原市前郭县2024~2025度第一学期高三第二次联考（月考）试卷 数学（含解析）

2024～2025学年高三第二次联考(月考)试卷 数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用(约30%),三角函数及解三角形 (含三角恒等吏换)、平面向量(约70%)。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1.已知集合,B=(x|r +3z-4<0}, 则AUB=
A.(0,1) B.(-4, 十0o) C.(0,4) D.(一1,+0o)
2.设r∈R, 则“cos r=1”是“sin r=0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D既.不充分又不必要条件
3.已知角a的顶点在坐标原点O,始边与r 轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋 转后经过点P(3,-4), 则 tan a=
A.7 B. C.-7 口
4.在△ABC中，AB=4,BC=2,且BA ·CB=AC ·CB,则AB ·BC+AB ·CA+BC ·CA的值为
A.-14 B.-16 C.—18 D.-20
5.已知a>0,b>0, 且ab—4b+1=0,则的最小值是
A.2 B.4 C.6 D.8
6.海上某货轮在A处看灯塔B, 在货轮北偏东75°,距离为30√6海里处；在A处看灯塔C,在货轮的北偏 西30°,距离为20 √3海里处，货轮由A处向正北航行到D 处时看灯塔B在东偏南30°,则灯塔C与D 处之间的距离为
A.20 √3海里 B.24 √3海里
C.20 √6海里 D.24√6海里
【高三第二次联考(月考)试卷 ·数学第1页(共4页》】
7.巳知函数 ,T为f(x)的最小正周期，且,若 f(x)在区间(0,π)上恰有3个极值点，则a 的取值范围是
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,∠BCD=60°,∠ADC=150°,BC=A
点E 是线段BC 上的一点，且BE=3EC, 点P 是线段AD 上 的一点，则PB ·PE 的最小值为
凡 B 口
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列等式成立的有
A.tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35°=√3
10.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是
A.若sin A+sin B>sin C,则△ABC 是锐角三角形
B.若△ABC 为锐角三角形，则sin A>cos C
C.若 ,则△ABC是直角三角形
D.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC 是等边三角形 11.已知实数x,y满足x+y+sin x+sin y>0,则下列说法正确的是
A.In(x+y+1)>0 B.2e>(r+y+1) +1
C.e —e->>(r+y)(x-y) D.cos z-cos y>(y-r)(y+r)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(-2,6),b=(-1,2),c=(m,1), 若a⊥c,则向量c在向量b 上的投影向量的坐标为
13.已知函数f(r)=e+)+r-2 和g(r)=ln x+r-3的零点分别为a,b,则a+b= 14.已知a,β 满足,则 sin(a一β)=
【高三第二次联考(月考)试卷 ·数学第2页(共4页)】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分13分)
已知0(1)求)的值；
的值.
16.(本小题满分15分)
在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b c 且bsinB+csin C=a(2sin Bsin C+sin A)。
(1)求角 A的大小；
(2)若c= √2,点D 为边BC 的中点，且 求边BC 的值.
17. (本小题满分15分)
如图，在矩形ABCD中，点E 是边CD 的中点，点F 是边BC上的一点，且CF=2FB.
(1)若点P 满 5,求证：E,F,P 三点共线；
(2)若AD=3,E ·EB=5, 求向量EB 与AF 的夹角的余弦值.
【高三第二次联考(月考)试卷 ·数学第3页(共4页)】
18. (本小题满分17分)
在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b.c,且2sin B=sir.C(sin A—cos A).
(1)若c=10b, 求值；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求证：tanA+tan C≥5+2 √6;
(3)若△ABC的面积为√2+1,求边AB的最小值。
19. (本小题满分17分)
已知函数 f(x)=In x+(a-1)z+2(a∈R).
(1)若a=-2, 求函数 f(x)的图象在x=1 处的切线方程；
(2)讨论 f(r)的单调性；
(3)若不等式e- -In a≥f(x)对任意的r∈(0,+0) 恒成立，求a的取值范围.
【高三第二次联考(月考)试卷 ·数学第4页(共4页)】
数学二
参考答案、提示及评分细则
1.B 由题意可得 ,B=(zlz +3z-4<0)=(-4,1),所以AUB=
(一4,+0) . 故选B.
2.A 若cos x=1,又sin x+cos x=1, 所以sinx=0, 所以“cos x=1”是“sin x=0”的充分条件；若sin x=0,又 sin x+cos x=1, 所以cos x=1或cos x=-1,所以“cos x=1”不是“sin x=0”的必要条件，所以“cos x=1” 是“sinx=0” 的充分不必要条件.故选A.
3.D 设旋转后的角为β,则
;
,所以
(
.
)故
选D.
4.C 因为BA·CB=AC·CB, 所以BA·CB-AC·CB=CB·(BA-AC)=(AB-AC)·(-AB-AC)=
AC-AB =0,所以|AC|=|AB|=4,因为AB+BC+CA=0, 所以(AB+BC+CA) =AB +BC+CA +2(AB·BC+AB·CA+BC·CA)=4 +2 +4 +2(AB·BC+AB·CA+BC·CA)=0,解得AB·BC +AB·CA+BC·C=-18. 故选C.
5.B 因为ab-4b+1=0, 所以 ,所 b>0, 所 以ab>0. 所以 ,即a=1,时等号成立，所以 的最小值是4.故选B.
6.A 在△ABD中，∠DAB=75°,∠ADB=60°,AB=30√6,则∠ABD=45°,由正弦
(
,
解
得
) (
得
)定理得
AD=60. 在△ACD中，AD=60,AC=20√3,∠CAD=30°, 则由余弦定理得CD
所以CD=20√3, 即灯塔C 与D 处之间的距离为20√3海里.故选 A.
7.C 由题意可得：f(x) 的最小正周期 ,又 ,所以x=
为 f(x) 图象的一条对称轴，所以 (k∈Z),解得g=kπ-
,又),所以k=0,,故 ).当x∈(0,m)时，则
5 【二联试卷·数学参考答案 第1页(共6页)】
,若函数f(x) 在区间(0,π)上恰有3个极值点，则
,故w的取值范围是 .故选C.
8.C 以 B 为原点，BC,BA所在的直线分别为x 轴 ，y轴，建立平面直角坐标 系，如图所示：连接 BD, 在△BCD 中，由余弦定理得 BD=A
.所以 BD +CD =
BC ,所以∠BDC=90°.而BC=2CD, 所以∠DBC=30°.连接 DE,在△CDE 中，由余弦定理得
所以CE +DE =CD, 所以∠DEC=90°.在△ABD中，∠ABD=∠ADB=60°, 所以三角形ABD是等边三 角形，所以 AB=BD=2, 所以 A(0,2),D(√3,1),E(√3,0). 设 P(x,y), 令AP=λAD(0≤A≤1), 即 (x,y-2)=λ(J3,-1)=(J3λ,-λ), 所以x=√3λ,y=2-λ, 所以P(J3λ,2-λ), 所以PB·PE=
,所以时，PB ·PE有最小值为
故选C.
9.AD 因为 ,所以tan 25°+tan 35°=√3(1-tan 25°tan 35°)=√3- √3 tan 25°tan 35°,所以tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35°=√3-√3 tan 25°tan 35°+√3 tan 25°tan 35°=√3,故 A正确 ,故B错误；
故 C 错 误 ；
,故D 正确.故选AD.
10.BCD 由正弦定理得a +b >c , 所以 所以C 为锐角，但不能断定△ABC 是否为锐 角三角形，故A 错误；在锐角△ABC中，由,可得 ,且A .由函数y= sin x在x上单调递增，得 ,即sin A>cos C,故 B 正确,由 正弦定理得 ,所以sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos C+
【二联试卷·数学参考答案 第2页(共6页)】 5
cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B,得cos A(sin C+sin B)=0,因为00,
sinC>0,所以cos A=0,因为0<0,—πcos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则需cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1, 所以A-B=0,
B-C=0,C-A=0, 所以A=B=C,△ABC 是等边三角形，故D 正确.故选BCD.
11.ABC 因为x+y+sin x+sin y>0,所以x+sin x>-y-sin y,即x+sin x>-y+sin(-y),令f(x)=x
+sin x,则f(x)>f(-y), 又f'(x)=1+cos x≥0,所以f(x) 在(-0,+一)上单调递增，所以x>
-y, 即x+y>0, 所以In(x+y+1)>In1=0, 故 A正确；设h(x)=2e —(x+1) -1(x>0), 所以
h'(x)=2e -2(x+1), 令φ(x)=h'(x), 所以φ(x)=2e -2>0, 所以φ(x)在(0,+0)上单调递增， 即h'(x)在(0,+0)上单调递增，所以h'(x)>h'(0)=0, 所以h(x)在(0,+0)上单调递增，又x+y> 0,所以h(x+y)>h(0)=0, 即2e*+y>(x+y+1) +1, 故B正确；令u(x)=x -e, 所以u'(x)=2x—
e ,令g(x)=u(x), 所以g'(x)=2-e , 令g'(x)=2-e=0, 解得x=In 2,当x∈(- α,In 2)时，
g'(x)>0, 函数g(x) 单调递增，当x∈(In 2,+一)时，g′(x)<0, 函数g(x) 单调递减，所以g(x)≤ g(In2)=21n 2-2<0,即u(x)<0, 所以u(x) 在(-0,+○)上单调递减，又x>-y, 所以u(x)<
u(-y), 即x -e <(-y) -e-”, 即 e —e>(x+y)(x-y), 故C 正确；因为cos x—cos y>
(y-x)(y+x), 即 x +cos x>y +cos y,令t(x)=x +cos x,又 t(-x)=(-x) +cos ( 一x)=x +
cos x=t(x),所以t(x)=x +cos x为偶函数，所以t(x)>t(y), 即为t(x)>t(-y). 又t'(x)=2x- sin x,令m(x)=2x-sin x,则m'(x)=2—cos x>0,所以m(x) 单调递增，又m(0)=0, 所以当x∈
(-0,0)时，m(x)<0,t(x)<0, 函数t(x) 单调递减；当x∈(0,+ 一)时，m(x)>0,t'(x)>0, 函数
t(x) 单调递增，当-yt(x), 故D 错误.故选ABC.
因为aLc,a=(-2,6),c=(m,1), 所以a ·c=-2m+6=0, 解得m=3, 所以 ),即向量c在向量b上的投影向量的坐标为
13.2 令u(x)=e+1,φ(x)=Inx-1,q(x)=x,h(x)=2-x, 则函数u(x)=e +1和φ(x)=Inx-1 的图象 与函数h(x)=2-x 交点的横坐标分别为a、b,又易得u(x)=e +1 和φ(x)=In x-1的图象关于q(x)=
x对称，设u(x)=e + 和φ(x)=In x-1与h(x)=2-x 的交点坐标分别为(a,2-a),(b,2-b), 可知交
点坐标也关于直线q(x)=x 对称，所以a=2-b, 即a+b=2.
14. 因为 中
,相加得sin a+sin β+cos a+cos β+2sin acos β+ ,相减得sin a+cos β—cos α-sin β+ 2sin acos β-2cos asin β=2(sin a-sin β)+2(sin acos β-cos asinβ)=2(sin a-sin β)+2sin(a-β)=
5 【二联试卷·数学参考答案 第3页(共6页)】
,所以,所以
,解得
15.解：(1)因为 ,所以,因为
所以 ………… … … … ……… ………2分
因为,所以
………………… …… … ………………… …………… …… ……………4分
所以
……………… …………… …………… ……7分
(2)由题意知
又 ,所以,所以,…………………………10分
所以
16.解：(1)因为bsin B+csin C=a(2sin Bsin C+sin A),
由正弦定理得 +c =a(2bsin C+a)=2absin C+a ,所以b +c -a =2absinC, 由余弦定理得b+c -a =2bccos A=2absin C,所以ccos A=asin C,
由正弦定理得 sin Ccos A=sin Asin C,又sin C>0,所以cos A=sin A,所以tan A=1,
(
…
) (
.
)又A∈(0,π),所以
(2)因为点D为边BC 的中点，所
… …
…
…
…7分
解得|AC|=3 或 |AC|=-5 ( 舍 ) , … … …
. .
... …12分
【二联试卷·数学参考答案 第4页(共6页)】 5
所以BC=√5.………………… …… ………………… ……………………………………………15分
,所以EP=Ap-AE=3AB+3AD-(AD+÷AB)=4AB-号AD,
,……………………………………4分
所以EP=PF, 所以E,F,P 三点共线.…… … ……7分
(2)解：由题意知
所以|AB|=4.……………… ………………………………… …… …11分
所以EB·AF=(1AB-Ab)·(AB+÷Ab)=_AB -5AB·AD-号AD =1×4- ×3 =5,
所以 .…… ………… … …………15分
18.(1)解：若c=106, 由正弦定理得sin C=10sin B,又2sin B=sin C(sin A-cos A),
所以 ,……………………………………………………… …2分
中
又sin A+cos A=1, 解得 (舍),………………… … ………4分
或
所以 ………… … … …… …5分
(2)证明：因为2sin B=sin C(sin A-cos A),所以2sin[π—(A+C)]=sin Asin C-cos Asin C, 即2sin(A+C)=sin Asin C—cos Asin C,
所以2cos AsinC+2cos Csin A=sin Asin C-cos Asin C, 所以3cosAsin C+2cos Csin A=sinAsin C,
又 sin A≠0,sin C≠0,所以1,即,……………… ……………7分
又△ABC 为锐角三角形，所以
5 【二联试卷·数学参考答案 第5页(共6页)】
所以 .…………………………………………………11分
(3)解：因为2sin B=sin C(sin A-cosA),由正弦定理得2b=c(sin A—cos A),
所以 ,……………………………………………………………………………12分
因为△ABC的面积
所以 ,…… …… ……14分
因为2b=c(sin A-cos A)>0,且0所以当 ,即 时，c 取得最小值 ,即边AB 的最小值为2 √2.… … 17分
19.解：(1)若a=-2, 则f(x)=Inx-3x+2, 所以 所以 ,又 f(1)=-3+2=-1,
所以函数f(x)的图象在x=1 处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1), 即 2 分
(2)由题意知 ,…… …… … ……… ……… …5分
当a-1≥0,即a≥1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,+0)上单调递增；…………………… …………7分
当a-1<0, 即 a<1 时，令f(x)>0, 解得 ,令f'(x)<0, 解得 ,所以 f(x) 在
上单调递增，在上单调递减.…… ……… ……… … …… ……10分
(3)不等式 e- -In a≥f(x)对任意的x∈(0,+0) 恒成立，即e - -ln a≥In x+(a-1)x+2 x
∈(0,+一)恒成立，即e +x-2≥ln(ax)+ax 对任意的x∈(0,+ 一)恒成立.… … ………12分
设g(x)=In x+x,则原不等式恒成立等价于 g(e - )≥g(ax) 在(0,+α)上恒成立，又
所以g(x) 在(0,+一)上单调递增，又g(e - )≥g(ax),a>0, 所以e - ≥ax 在(0,+一)上恒成立，
所以在(0,+一)上恒成立，……………………………… ………………………………14分
令 ,所以,令h'(x)<0, 解得00, 解
得x>1, 所以 h(x) 在(0,1)上单调递减，在(1,+一)上单调递增，所以,所以(
即a 的取值范围为 17分
【二联试卷·数学参考答案 第6页(共6页)】 52024~2025学年高三第二次联考（月考）试卷
7.已知函数fx)=2ain(ax十p)(w>0,ll<受)，T为f(x)的最小正周期，且f}T）=f(3T小，若
f(x)在区间(0，)上恰有3个极值点，则w的取值范因是
数
学
A[借)
a(得]
c(]
[唱)
考生注意：
8如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,∠ECD=60°，∠ADC=150°，BC-
1.本武卷分选择和非选择斯两部分。满分150分，考试时问120分钟。
2答题前，考生务必月直径0,5毫来黑色墨水鉴字笔警岛封线内项目年写清楚。
4,CD=2,点E是线段BC上的一点，且BE=3EC,点P是绿段AD上
3
3.考生作答时，请将茶案答在答通卡上。选择题每小题选出答常后，用2B铅笔记答题卡上对应题
日的答蒙标号浍思：非法择類请用直径0,5老来黑色水盆宇笔在答题卡上各题的答斯区战内
的一点，则P·P应的最小值为
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4,本卷命延范周：第合、常用逻群月语、不等式、函数、导数及其应用（釣30%），三角西致及解三前形
A是
B将
(含三所恒等变换)、平而向量（约70%）。
c
n最
显
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共和分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合盟目要求。全部
求的。
如
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列等式成立的有
多
1.已知集合A=31-号>0}B=xl2+3红-0则AUB=
Atan25+tan35+5tan25an35°-√3
A(0,1)
B〔-4，十∞)
C.(0,4)
D.(-1,+o)
2.设x∈R,则“sx=I”是“sinx=0”的
B号s15'-号n15-
超
A充分不必要条件
B必要不充分条件
c2os10°sin20°-1
c0920"
C充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知角a的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角 的终边绕着原点按顺时针方向旋
D.sin 10 co1
转若后经过点P(3,一4)，则an
10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是
A若sin2A十simB>sinC,则△ABC是锐角三角形
A7
B
C.-7
n-7
B若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosC
4在△ABC中，AB=4,BC=2,且A,C克=A花.C克，则A克.B心+A:C+C.Ci的值为
b十e
C若a一co斜sC·则△ABC是直角三角形
A-14
B.-16
C.-18
D.-20
D.若cos(A一B)cos(B-C)os(C-A)=l,则△ABC是等边三角形
瓦已匆>0，b>0,且ab-46+1-0,则合+96的最小值是
11.已知实数x,小y满足x十y十inx十si血y>0,则下列说法正骑的是
A.h(x+y+1)>0
B2e中>(x十y+1)2+1
A.2
B.4
C.6
D.8
Ce-e>(r十y)(x-y)
D.cos z-cosy>(y-)(y+z)
6.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°，距离为30v6海里处：在A处肴灯塔C,在货轮的北偏
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
西30°，臣离为20海里处，费轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D
12.已知向盘a=(一2,6).b=(一1.2)，e=(1,1),若4⊥c,则向量c在向最b上的投影向量的坐标为
处之间的距离为
A.203海里
B243海里
13.已知函数f(x)=e1十x一2和g(x)=lb十x一3的卷点分别为a,b.则a十b=
C.20√6海里
D.246海里
14.已知a,8满足sina十cos月-号os十sin-了则si加(。一)=
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