山西省太原市2024-2025高二上学期11月期中学业诊断数学试题（含答案）

2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午7：30-9：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.过点和的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF的边长是2，矩形框ABCD中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC和BF上移动，则MN的长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点
C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为
10.已知正四棱锥中，，是PB的中点，是底面ABCD的中心，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.直线DE与AP所成角的余弦值为
C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为
D.点到直线DE的距离为
11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为
B.的最小值为
C.的最大值为
D.的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）
12.直线在轴上的截距为______.
13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.
14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.
四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分8分）
已知的三个顶点，，.
（1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程；
（2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程.
16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.
（1）用向量，，表示向量；
（2）求OE的长.
17.（本小题满分10分）
已知圆与圆.
（1）若圆与圆相内切，求的值；
（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
18.（本小题满分10分）
如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
19.（本小题满分13分）
椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF与GH交于点，以EF所在的直线为轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，记，.
（1）若，，求椭圆的方程；
（2）证明：动点的轨迹为椭圆；
（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ距离为定值.
2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题
参考答案及评分建议
一.单项选择题：D A B C A D B C
二.多项选择题：9.B C D 10.A C D 11.A B D
三.填空题：12.1 13. 14.
四.解答题：15.解：（1）设是边AB的中点，则，…2分
边AB上的中线CD的一般式方程为；……4分
（2），，，边AB上的高所在直线的斜率，…6分 边AB上的高所在直线的斜截式方程为.……8分
16.（1）解：连接OD，则；……4分
（2）由（1）得，
，.……8分
17.解：（1），，，……2分
，，，，……4分
圆与圆相内切，，，；……5分
（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分
故圆心到直线的距离，.……10分
18.（1）证明：设是AD的中点，连结OP，OB，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
，平面ABCD，
平面平面ABCD；
（2）由（1）得，，，以为原点，OA，OB，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，
设是平面PAB的一个法向量，
则令，则，……6分
设是平面PCD的一个法向量，
则令，则，……8分
，平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分
19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，
则，，
椭圆的方程为；…3分
（2）解法一：设，，，
由题意得，，，，，
整理得，
当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；
当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分
解法二：设，，由题意得，，
则，即，
当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；
当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分
（3）由题意可得椭圆的方程，
当直线PQ的斜率不存在时，设其方程为，则，
点到直线PQ距离为；……9分
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，，，
由得，
，，
，即，……12分
点到直线PQ距离为，
综上所述，点到直线PQ距离为定值.……13分