北京市中关村中学2024-2025高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试
数 学
本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D. R
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知ab为正数，则（ ）
A. 有最小值，为2 B. 有最小值，为
C. 有最小值，为4 D. 不一定有最小值
5.下列各组函数是同一个函数的是（ ）
① 与 ② 与
③ 与 ④ 与
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④
6.关于方程的解集T说法正确的是（ ）．
A. T一定为单元素集 B. T一定为空集
C. T为空集当且仅当k=0 D. T可能有无穷多个元素
7.是的（ ）条件.
A 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
8. 已知函数的部分图象如下图所示，则 （ ）
A 3 B. -3
C. 15 D. 9
9. 函数对任意，恒成立，则x的取值范围是（）
A. [-3,1] B.
C. [0,2] D.
10. 已知集合，集合A,B,C满足：
每个集合恰有6个元素
集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和( )．
A.116 B.132 C.126 D. 114
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 函数的定义域是________.
12. 关于x的方程两根的平方和为________.
13. 设函数 的定义域为，则函数的定义域为____________．
14. 除函数以外，再写出一个定义域和值域均为的函数：________
函数在R上单调递增，则a的取值范围是__________
已知定义在R上的偶函数 在 上单调，且，给出下列四个结论：
① 在 上单调递减；
②存在使
③不等式的解集为
④关于x的方程的解集所有元素之和为4
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题：本题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 写出下列不等式的解集（15分）
（1）
（2）
（3）
18.12分请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①
②
③
已知集合，，全集为
若时，求
若_______________________________，求实数a的取值范围.
（15分）设函数
（I）求函数的图象与直线交点的坐标
（II）当，求函数的最小值
（III）判断在上的单调性，并用定义证明.
20.（13分） 一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场。已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为（单位：万件）。公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产。将销量×售价称为“销售额”（记作B）；已知每件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记作C）。定义“净收益”（记作N）为：净收益=销售额-总成本。
（1）请用函数表示净收益是如何决定的
（2）在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益
（3）公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半。公司是否应选择租用高科技设备？为什么？
21（15分） 定义在上的函数满足：①对任意，都有；
②当时，都有.
求证是奇函数；
求证在上单调递减；
若且对所有恒成立，求实数t的范围.
对于正数a,b,c,d，求证（10分）
（2）
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C C B C C D B B D
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 【答案】
12. 【答案】25
13. 【答案】
14. 【答案】
15．【答案】[1,1.5]
16．【答案】③④
三、解答题：本题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 【参考答案】
（3）
a=0时，为一次不等式，，
a>0时，二次函数开口向上，两根为和-3，其中.
因此解集为.
a<0时，二次函数开口向下
时，即时，解集为；
时，即时，解集为；
，即时，解集为
18.【参考答案】
解：，或，
当时，，
，
①③均等价于，（不可选②）
当时，，即，满足，
当时，若，有或，
解得或，
综上所述，实数a的取值范围为
19．【参考答案】
与相交处有
解得x=4或-1，因此交点为和
，在x=2时取到. 因此最小值为7.
答：单调递增；
证：对任意，若，则
因为，所以，所以；
又因为，所以.因此在上单调递增.
20.【参考答案】
在x=6时取到，经检验，在正常定价范围内。因此，定价600元时净收益最大，为400万元。
若租用高科技设备，则净收益变为
在x=5.5时取到，经检验，在正常定价范围内。因此最大净收益为405万元，高于不租用高科技设备的最大净收益。因此租用高科技设备是值得的。
21【参考答案】
令x=y=0，则有，所以；
对任意，.所以是奇函数.
对任意，若则
由于，所以，又因为，所以.
因此，所以函数在上单调递减.
由于在上单调递减且为奇函数，所以在上单调递减，最大值为.
由于对所有恒成立，所以对所有恒成立，即对所有恒成立.
其必要条件是对a=1和a=-1成立，即且，解得.
下面证只要a=1和-1成立，则对任意也成立：.
因此是所求不等式恒成立的充要条件.
22．【参考答案】
证：
（2）法1：注意到因式分解
当且仅当x=y=z时取到，
所以
令则有
法2：由第一问可知，
不等式两边同除可得
两边同时取4/3次方即可得
法3：不妨设，取
若，则（将其设为x），
因此有
若，不妨设，则有，否则因 中前两项之和≤0，第三项严格等于0，其计算结果不可能等于0，与矛盾。
下面证明，只需证.
显然.
不妨设，则，
由于，所以，即.
因此有，所以.
而，所以由（I）可得.证毕
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