2024-2025上海市闵行区上师闵分校高三上学期数学周测（2024.10）（含答案）

上师闵分校2024学年第一学期高三年级数学周测三
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，集合，则________．
2．不等式的解集是________．
3．已知复数满足（i是虚数单位），则________．
4．已知幂函数的图象过点，则________．
5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轨，终边经过点，则________．
6．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为________（用数字作答）．
7．某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是________．
8．已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为________．
9．总体由编号为01、02、03、…、50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：
9312 4779 5737 8918 4550 3994 5573 9229
6111 6098 4965 7350 9847 3030 9837 3770
2310 4476 9146 0679 2662 2062 0522 9234
若从表中第6行第6列开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是________．
10．已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则________．
11．已知平面向量，，常数．向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是________．
12．已知常数，，函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为________．
二、单选题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分）
13．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等胺三角形 D．等腰直角三角形
15．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（17、18、19题每题14分，20、21题每题18分，共78分）
17．已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
18．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且．
（1）求三棱锥的体积；
（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向处，的南面为居民生活区．为了妥缮处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电．要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：）与它们每天集中的生活垃圾是（单位，吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾是分别约为40吨和50吨．
（1）当时，求的值；
（2）发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少？
20．已知．
（1）求图像的对称中心；
（2）如果的三边，，满足，求边所对的角的取值范围，用区间表示；
（3）如果的定义域取（2）中的结果，求此时的值域．
21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”．
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知平面向量，，常数．向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】已知平面向量,常数.向量,
不妨设对应的点分别为,则,
因为,则三点共线,
又直线方程为,即即在直线上,
设对应的点为,则,则的几何意义为与的距离,
又恒成立,即
由点到直线的距离公式可得:即,即或,
即实数的取值范围是.故答案为:。
12．已知常数，，函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为________．
【答案】
【解析】,则,
所以
其中,根据均值不等式得到,
当且仅当时成立,
设,该函数在上为增函数,当时取得最小值,
此时,此时,两个等号可以同时成立,
故得到,
结合可得到:当且仅当时等号成立.
故答案为:.
二、选择题
13.D 14.B 15.D 16.B
15．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知函数的周期,解得.
由知,当时,函数取得最大值,
,解得,
令,解得
当时,的增区间是.故选D.
16．已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令,则有,故,,
若,则开口向上,对称轴为
且,,在上有两个零点,即函数的零点个数最多有2个.故选:B
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．已知．
（1）求图像的对称中心；
（2）如果的三边，，满足，求边所对的角的取值范围，用区间表示；
（3）如果的定义域取（2）中的结果，求此时的值域．
【答案】（1）,； （2） （3）
【解析】(1)
令,解得,.
所以图像的对称中心为,；
(2)中,,则,
所以的取值范围是.
(3)因为,所以则,
所以,即的值域为.
21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”．
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是 （2） （3）,.
【解析】(1),
当时,,再由
得,所以,所以,
故根据"2阶自伴函数"定义得，不是区间上的"2阶自伴函数";
(2)由函数为区间上的"1阶自伴函数",所以,
且对任意总存在唯一的使得成立；
所以对任意,总存在唯一的,使得,
因为函数为单调递增函数，所以对任意,总存在唯一的,
使得,所以,所以,
所以,则,故;
(3)因为函数在区间的值域为,
因为是在区间上的"2阶伴随函数",
则对任意的,总存在唯一的,使得成立,
所以,即在区间区间上的值域必定包含区间,且的值域在对应的自变量是唯一的,
又因为函数开口向上,对称轴为,
①当时,在区间上单调递增,则必有:,解得:;
②当时,在区间上单调递减,则必有:,解得;
③当时,在上单调递减,在上单调递增,则必有:,解得:,
④当时,在上单调递减,在上单调递增,则必有:,解得:,
综上所述,可得的范围:,.