海南省2025届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题（含答案）

海南省2025届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
5.已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图是函数的大致图象，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数的图象关于点对称，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.自然常数是数学中非常重要的一个常数，世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉的名字已知函数，则下列命题为真命题的是( )
A. ，
B. ，
C. ，，
D. ，，
10.已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
11.已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数，满足，则的最小值为 ．
13.已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 ．
14.记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，点，
求的解析式；
将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值．
16.本小题分
已知函数．
求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围．
17.本小题分
甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的天中，他们各有天晨跑路程超过．
从上周任选天，设这天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望．
用上周天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响设“下个月的某天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多”为事件，求．
参考数据：．
18.本小题分
已知直线与抛物线交于，两点为坐标原点，且，动直线过点．
求的方程；
求点关于的对称点的轨迹方程；
若与交于，两点均异于点，直线，分别与直线交于点，，证明：．
19.本小题分
记数列的前项和为，已知．
证明：为等比数列；
任意给定，求满足的数对的个数；
若，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.或
15.
由图象知．
因为的图象过点，所以，
又，所以，所以．
又的 图象过点，由“五点作图法”可得，
所以所以．
由题意知，
当时，，
所以，
则，
所以在区间上的最小值为，最大值为．

16.
由题意得，
则．
又因为，所以的图象在点处的切线为，
与两个坐标轴的交点分别为和，
所求的封闭图形的面积为．
的定义域为，因为在定义域内单调递减，所以，
即，
所以．
设，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以的取值范围是．

17.
由题意知的所有可能取值为，，，
且，．
所以的分布列为
．
设下个月的某天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为，
则，均服从二项分布
则
．

18.
由题意，可设点，．
由，得，解得，
所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得，
所以的方程为．
因为点，关于对称，过点，所以．
当绕点旋转时，线段也绕点旋转，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点的轨迹方程为．
设，，，，直线的方程为．
由题可知直线不过点，则．
联立得消去，整理得，
恒成立，则，，
直线的方程为，即．
令，得，则，
同理可得，
所以
，
因此．

19.
当时，，得．
当时，，
两式相减得，
得，整理可得，
所以是首项为，公比为的等比数列．
由可知．
所以，等价于．
若，则，不符合题意；
若，则，也不符合题意；
若，因为，
所以，
所以当时，，，，，均满足题意．
综上，符合题意的有个
．
设，则，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
故当时，，即，得，所以，
同理，，即，得．
综上，．
所以，，，，，
以上个式子相加得：
，
即，
即．

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