广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校2024-2025九年级上学期数学开学试卷

广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·龙岗开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·龙岗开学考）是下列哪个不等式的解（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·龙岗开学考）对多项式进行因式分解，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·龙岗开学考）分式与互为相反数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·龙岗开学考）在中，，，则（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2024九上·龙岗开学考）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2024九上·龙岗开学考）分解因式：　 　．
10．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是　 　．
11．（2024九上·龙岗开学考）如图，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
12．（2024九上·龙岗开学考）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，　 　．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是　 　．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·龙岗开学考）先因式分解，再计算求值：，其中，．
16．（2024九上·龙岗开学考）如图，在边长为的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上将使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）求的面积．
17．（2024九上·龙岗开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
18．（2024九上·龙岗开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　 　填“是”或“不是”
若某三角形的三边长分别为、、，则该三角形　 　填“是”或“不是”奇异三角形．
（2）探究：在，两边长分别是、，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
20．（2024九上·龙岗开学考）
（1）【特例感知】
如图，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ▲ ；
（2）【类比迁移】
如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
（3）【方法运用】
如图，若，点是线段外一动点，，连接．
若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ▲ ；
若以为斜边作三点按顺时针排列，，连接，当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A、x+3＞0
解之：x＞-3，
∵3＜-3，故A符合题意；
B、∵3+3=6＞0，
∴3不是x+3＜0的解，故B不符合题意；
C、∵3-3=0
∴3不是x-3＞0的解，故C不符合题意；
D、∵3-5=-2＜0，
∴3不是x-5＞0的解，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别将x=3代入各选项中的不等式，根据其值，可对各选项逐一判断；或分别求出各选项中的不等式的解集，再作出判断.
3．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：4x2-1=（2x+1）（2x-1）.
故答案为：B.
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且两项的绝对值都能写成平方形式，据此可以用平方差公式分解因式.
4．【答案】C
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 分式与互为相反数，
∴+=0
3x+2-2x=0
解之：x=-2，
经检验x=-2是原方程的根.
故答案为：C.
【分析】利用互为相反数的两数之和为0，可得到关于x的分式方程，解方程求出方程的解，检验可得方程的根.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设加压前汽缸内气体的体积为，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】抓住题中关键已知条件： 当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加，据此列方程即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，
∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，
∴S△APD=S△EPF=a，S△BQC=S△EQF=b，
∵S平行四边形ABCD=DC·EH=c，
∴S△EDC=DC·EH=c，
∴S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF=c-a-b.
故答案为：B.
【分析】连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，利用平行四边形的性质可证得AB∥DC，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可推出S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，由此可证得S△EPF=a，S△EQF=b；再证明S△EDC=c，然后根据S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF，代入计算可求出结果.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以BD为边，在BD的右侧作等边△BDM，
∴BD=DM，∠BDM=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，DF=DE，以BD为边，
∴∠BDF=∠EDM，
在△BDF和△MDE中
∴△BDF≌△MDE（SAS）
∴BF=ME，
∵垂线段最短，
∴当ME⊥AC时，ME最短，
∴此时BF最短；
如图，过点M作MN⊥BC于点N，
∴∠MNC=90°，
∵∠C=∠MEC=90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME=NC，
∵BC=3，DC=1，
∴BD=BC-CD=3-1=2，
∵△BMD是等边三角形，
∴DN=BD=×2=1，
∴NC=ME=CD+ND=1+1=2；
∴BF=ME=2，
∴BF的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】在BD的右侧作等边△BDM，利用等边三角形的性质可证得BD=DM，∠BDM=60°，∠EDF=60°，DF=DE，由此可推出∠BDF=∠EDM，利用SAS证明△BDF≌△MDE，可证得BF=ME；再利用垂线段最短，可知当ME⊥AC时，ME最短，即此时BF最短；如图，过点M作MN⊥BC于点N，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MNCE是矩形，利用矩形的性质可推出BF=ME；利用已知可求出BD的长；利用等边三角形的性质可求出DN的长，即可等等NC的长，据此可得到BF的最小值.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy2-x2y=xy（y-x）.
故答案为：xy（y-x）.
【分析】观察此多项式含有公因式xy，因此利用提取公因式法分解因式.
10．【答案】2x
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2x.
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，
直线与直线交于点，
的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象，可得到两个函数图象的交点坐标为（-3，2），利用此点的横坐标，可得到不等式的解集.
12．【答案】或或
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
∴AP=t，CQ=2t，
∴PD=6-t，BQ=10-2t，
当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，
如图，当AP=BQ时，
t=10-2t，
解之：；
如图，当PD=CQ时
6-t=2t，
解之：t=3；
如图，当PD=BQ时，
6-t=10-2t，
解之：t=4；
∴t的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】利用两个点的运动方向和速度，可表示出AP，PD，CQ，BQ的长，再利用平行四边形的性质和已知条件可知AD∥BC，再分情况讨论：当AP=BQ时；当PD=CQ时；当PD=BQ时；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=DC=6，
∴，
∴BD=AB-AD=8-6=2，
∴
解之：，
∵ 点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，
∴AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，
∴∠P1AP2=∠BAP+∠PAP1+∠CAP+∠CAP2=2∠BAC=90°，
∴△P1AP2是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，利用已知易证△ADC是等腰直角三角形，可得到AD的长，利用勾股定理可求出AC的长，同时i可得到BD的长，利用勾股定理求出BC的长；再利用三角形的面积公式可求出AH的长；利用轴对称的性质可证得AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，由此可推出△P1AP2是等腰直角三角形，利用勾股定理可表示出P1P2的长；然后根据，代入可得到线段P1P2的取值范围.
14．【答案】（1）方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，方程两边同时乘以（x+1）（x-2），将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验即可.
（2）将原方程先变形，再去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验即可.
15．【答案】解：原式．
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】将（m-2）看着整体，先提取公因式，然后将x，m的值代入计算.
16．【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用已知条件，可知是将△ABC向下平移1个单位，再向左平移4个单位，得到△A'B'C'，然后画出△A'B'C'.
（2）观察图形可知△A'B'C'的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算即可.
17．【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．【答案】（1）解：经过点，．
，
解得，
直线的表达式为；
（2）联立，
解得，
点的坐标为；
（3）把代入，
可得，
解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）分别将点A、B的坐标代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线AB的函数解析式.
（2）将两直线联立方程组，解方程组求出其解，可得到点M的坐标.
（3）将y=0代入y=-2x-3，可求出对应的x的值，观察函数图象，可得到关于x的不等式的解集.
19．【答案】（1）是；是
（2）当为斜边时，则，
则，，
不是奇异三角形；
当为斜边时，，
则有，
是奇异三角形，
答：当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①设等边三角形的三边长为a，
a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形；
②∵22=4，，
∴该三角形是奇异三角形.
故答案为：是；是.
【分析】（1）①设等边三角形的三边长为a，分别求出两边的平方和和第三边的平方，可证得两边的平方和等于第三边的平方的2倍，据此可作出判断.
（2）分别求出两边的平方和和第三边的平方，可证得两边的平方和等于第三边的平方的2倍，据此可作出判断.
（2）利用奇异三角形的定义，分情况讨论：当为斜边时；当为斜边时；分别进行证明，即可求解.
20．【答案】（1）AD=BC
（2）仍然成立．
证明：如图，，
，
即，
在和中，
，
≌，
（3）①
②
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】证明（1）结论：AD=BC.
理由：
如图，和是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：AD=BC.
（2）过点作，使，连接，，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
，
，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故答案为：.
如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，
，，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
故答案为：
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得OA=OB，OD=OC，∠AOD=∠BOC=90°，利用SAS可证得△AOD≌△BOC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用已知条件可证得∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD，据此可推出∠BOC=∠AOD，再利用SAS可证得△AOD≌△BOC，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT=AB，连接BT，AD，DT，BD，利用勾股定理可得到BT和AB，BD和BC的数量关系，可知两边对应成比例且夹角相等，可证得△ABC∽△TBD，利用相似三角形的性质可求出DT的长，利用AT，DT的长可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得到其最大值；②在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，易证△BAC∽△BTD，利用相似三角形的性质可求出DT的长，再利用解直角三角形求出AT、TH、AH的长，在Rt△DTH中，利用勾股定理求出DH的长，然后根据AD=AH+DH，代入计算求出AD的长.
广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·龙岗开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2024九上·龙岗开学考）是下列哪个不等式的解（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A、x+3＞0
解之：x＞-3，
∵3＜-3，故A符合题意；
B、∵3+3=6＞0，
∴3不是x+3＜0的解，故B不符合题意；
C、∵3-3=0
∴3不是x-3＞0的解，故C不符合题意；
D、∵3-5=-2＜0，
∴3不是x-5＞0的解，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别将x=3代入各选项中的不等式，根据其值，可对各选项逐一判断；或分别求出各选项中的不等式的解集，再作出判断.
3．（2024九上·龙岗开学考）对多项式进行因式分解，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：4x2-1=（2x+1）（2x-1）.
故答案为：B.
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且两项的绝对值都能写成平方形式，据此可以用平方差公式分解因式.
4．（2024九上·龙岗开学考）分式与互为相反数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 分式与互为相反数，
∴+=0
3x+2-2x=0
解之：x=-2，
经检验x=-2是原方程的根.
故答案为：C.
【分析】利用互为相反数的两数之和为0，可得到关于x的分式方程，解方程求出方程的解，检验可得方程的根.
5．（2024九上·龙岗开学考）在中，，，则（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
6．（2024九上·龙岗开学考）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设加压前汽缸内气体的体积为，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】抓住题中关键已知条件： 当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加，据此列方程即可.
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，
∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，
∴S△APD=S△EPF=a，S△BQC=S△EQF=b，
∵S平行四边形ABCD=DC·EH=c，
∴S△EDC=DC·EH=c，
∴S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF=c-a-b.
故答案为：B.
【分析】连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，利用平行四边形的性质可证得AB∥DC，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可推出S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，由此可证得S△EPF=a，S△EQF=b；再证明S△EDC=c，然后根据S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF，代入计算可求出结果.
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以BD为边，在BD的右侧作等边△BDM，
∴BD=DM，∠BDM=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，DF=DE，以BD为边，
∴∠BDF=∠EDM，
在△BDF和△MDE中
∴△BDF≌△MDE（SAS）
∴BF=ME，
∵垂线段最短，
∴当ME⊥AC时，ME最短，
∴此时BF最短；
如图，过点M作MN⊥BC于点N，
∴∠MNC=90°，
∵∠C=∠MEC=90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME=NC，
∵BC=3，DC=1，
∴BD=BC-CD=3-1=2，
∵△BMD是等边三角形，
∴DN=BD=×2=1，
∴NC=ME=CD+ND=1+1=2；
∴BF=ME=2，
∴BF的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】在BD的右侧作等边△BDM，利用等边三角形的性质可证得BD=DM，∠BDM=60°，∠EDF=60°，DF=DE，由此可推出∠BDF=∠EDM，利用SAS证明△BDF≌△MDE，可证得BF=ME；再利用垂线段最短，可知当ME⊥AC时，ME最短，即此时BF最短；如图，过点M作MN⊥BC于点N，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MNCE是矩形，利用矩形的性质可推出BF=ME；利用已知可求出BD的长；利用等边三角形的性质可求出DN的长，即可等等NC的长，据此可得到BF的最小值.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2024九上·龙岗开学考）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy2-x2y=xy（y-x）.
故答案为：xy（y-x）.
【分析】观察此多项式含有公因式xy，因此利用提取公因式法分解因式.
10．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是　 　．
【答案】2x
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：2x.
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
11．（2024九上·龙岗开学考）如图，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，
直线与直线交于点，
的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象，可得到两个函数图象的交点坐标为（-3，2），利用此点的横坐标，可得到不等式的解集.
12．（2024九上·龙岗开学考）如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，　 　．
【答案】或或
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
∴AP=t，CQ=2t，
∴PD=6-t，BQ=10-2t，
当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，
如图，当AP=BQ时，
t=10-2t，
解之：；
如图，当PD=CQ时
6-t=2t，
解之：t=3；
如图，当PD=BQ时，
6-t=10-2t，
解之：t=4；
∴t的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】利用两个点的运动方向和速度，可表示出AP，PD，CQ，BQ的长，再利用平行四边形的性质和已知条件可知AD∥BC，再分情况讨论：当AP=BQ时；当PD=CQ时；当PD=BQ时；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=DC=6，
∴，
∴BD=AB-AD=8-6=2，
∴
解之：，
∵ 点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，
∴AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，
∴∠P1AP2=∠BAP+∠PAP1+∠CAP+∠CAP2=2∠BAC=90°，
∴△P1AP2是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】 过点A作AH⊥BC于点H，连接AP2，AP1，AP，利用已知易证△ADC是等腰直角三角形，可得到AD的长，利用勾股定理可求出AC的长，同时i可得到BD的长，利用勾股定理求出BC的长；再利用三角形的面积公式可求出AH的长；利用轴对称的性质可证得AP1=AP2=AP，∠BAP=∠PAP1，∠CAP=∠CAP2，由此可推出△P1AP2是等腰直角三角形，利用勾股定理可表示出P1P2的长；然后根据，代入可得到线段P1P2的取值范围.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，方程两边同时乘以（x+1）（x-2），将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验即可.
（2）将原方程先变形，再去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出整式方程的解，检验即可.
15．（2024九上·龙岗开学考）先因式分解，再计算求值：，其中，．
【答案】解：原式．
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】将（m-2）看着整体，先提取公因式，然后将x，m的值代入计算.
16．（2024九上·龙岗开学考）如图，在边长为的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上将使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）求的面积．
【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用已知条件，可知是将△ABC向下平移1个单位，再向左平移4个单位，得到△A'B'C'，然后画出△A'B'C'.
（2）观察图形可知△A'B'C'的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算即可.
17．（2024九上·龙岗开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．（2024九上·龙岗开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：经过点，．
，
解得，
直线的表达式为；
（2）联立，
解得，
点的坐标为；
（3）把代入，
可得，
解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）分别将点A、B的坐标代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线AB的函数解析式.
（2）将两直线联立方程组，解方程组求出其解，可得到点M的坐标.
（3）将y=0代入y=-2x-3，可求出对应的x的值，观察函数图象，可得到关于x的不等式的解集.
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　 　填“是”或“不是”
若某三角形的三边长分别为、、，则该三角形　 　填“是”或“不是”奇异三角形．
（2）探究：在，两边长分别是、，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
【答案】（1）是；是
（2）当为斜边时，则，
则，，
不是奇异三角形；
当为斜边时，，
则有，
是奇异三角形，
答：当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①设等边三角形的三边长为a，
a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形；
②∵22=4，，
∴该三角形是奇异三角形.
故答案为：是；是.
【分析】（1）①设等边三角形的三边长为a，分别求出两边的平方和和第三边的平方，可证得两边的平方和等于第三边的平方的2倍，据此可作出判断.
（2）分别求出两边的平方和和第三边的平方，可证得两边的平方和等于第三边的平方的2倍，据此可作出判断.
（2）利用奇异三角形的定义，分情况讨论：当为斜边时；当为斜边时；分别进行证明，即可求解.
20．（2024九上·龙岗开学考）
（1）【特例感知】
如图，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ▲ ；
（2）【类比迁移】
如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
（3）【方法运用】
如图，若，点是线段外一动点，，连接．
若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ▲ ；
若以为斜边作三点按顺时针排列，，连接，当时，直接写出的值．
【答案】（1）AD=BC
（2）仍然成立．
证明：如图，，
，
即，
在和中，
，
≌，
（3）①
②
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】证明（1）结论：AD=BC.
理由：
如图，和是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：AD=BC.
（2）过点作，使，连接，，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
，
，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故答案为：.
如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，
，，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
故答案为：
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得OA=OB，OD=OC，∠AOD=∠BOC=90°，利用SAS可证得△AOD≌△BOC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用已知条件可证得∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD，据此可推出∠BOC=∠AOD，再利用SAS可证得△AOD≌△BOC，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT=AB，连接BT，AD，DT，BD，利用勾股定理可得到BT和AB，BD和BC的数量关系，可知两边对应成比例且夹角相等，可证得△ABC∽△TBD，利用相似三角形的性质可求出DT的长，利用AT，DT的长可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得到其最大值；②在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，易证△BAC∽△BTD，利用相似三角形的性质可求出DT的长，再利用解直角三角形求出AT、TH、AH的长，在Rt△DTH中，利用勾股定理求出DH的长，然后根据AD=AH+DH，代入计算求出AD的长.