二次函数与特殊图形重难点突破（含解析） 2024-2025人教版九年级数学上册

二次函数与特殊图形重难点突破
突破29 二次函数与特殊图形(一) 等腰三角形
类型一 等腰三角形→三线合一性质、勾股定理
1.(2022武汉元调)如图，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点 B.点C 在y 轴右侧的抛物线上，且 求点 C 的坐标.
类型二 等腰直角三角形→构三垂直全等
2.(2023广元改)如图，已知二次函数 的图象与x 轴正半轴交于点 B，E为第一象限抛物线上的一点，F为抛物线对称轴l上的一点， 是等腰直角三角形，且 .求点 F 的坐标.
突破30 二次函数与特殊图形(二) 平行四边形
类型一 平行边明确——与竖直线平行
1.(2023洪山)如图,直线 分别交x 轴，y轴于点B，C，抛物线 过B,C 两点,其顶点为 M,对称轴 MN 与直线BC 交于点 N.
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点 P 是线段BC 上一动点,过点 P 作. 轴于点 D，交抛物线于点 Q.是否存在点 P，使四边形MNPQ 为平行四边形 并说明理由.
类型二 平行边明确——与斜线平行
2.在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和原点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图,直线. 交第二象限内的抛物线于点A，交y轴的正半轴于点C，连接OA，PC.若四边形OACP 是平行四边形，求点 C 的坐标.
3.(2023江岸)如图,抛物线 与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左边),与y轴交于点 C.点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以 BC 为边，以点 B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标.
类型三 平行边不明确——可为边可为对角线
4.(2022郴州)如图,抛物线 与x 轴相交于点A(--1,0),B(3,0),与 y轴相交于点C.
(1)直接写抛物线的解析式和对称轴；
(2)将直线 BC 向上平移，得到过原点O 的直线MN，D是直线MN 上任意一点.在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求点 F 与点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
突破31 二次函数与特殊图形(三) 菱形、正方形
类型一 二次函数与菱形
1.(2022烟台)如图,直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 经过A，C两点，对称轴为直线.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 在抛物线对称轴上，Q是坐标平面内一点，是否存在点 P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形 若存在，请求出 P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.
类型二 二次函数与正方形
2.(2023扬州改)在平面直角坐标系中，已知点 A 在y 轴正半轴上.
(1)如图1,已知菱形ABCD 的顶点B,C,D 在二次函数 的图象上，且 轴，求菱形的边长；
(2)如图2，已知正方形 ABCD 的顶点B，D 在二次函数 的图象上，点B，D在y 轴的同侧，且点 B 在点D 的左侧，设点 B，D的横坐标分别为m，n，探究 是否为定值
突破29 二次函数与特殊图形(一)等腰三角形
1.解:∵AC=BC,∴点C 在AB 的垂直平分线上,作 AB 的垂直平分线CH，垂足为 H，与y 轴右侧的抛物线交于点C,与y轴交于点 D,则 AD=BD.
∵A(-1,0),B(0,2),∴AB 的中点.
设OD=t,则AD=BD=2-t,由勾股定理,
得 解得
∴D(0, ),∴直线CD:
联立 解得
∵点C 在y轴右侧，
(另解：本题也可设点C 的坐标，用勾股定理直接列方程计算.)
2.解:易求 B(4,0),
抛物线的对称轴为直线
设直线l与x轴交于点G,过点 E 作ED⊥l于点 D.
∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°,∴EF=BF,
∵∠DFE=90°-∠BFG=∠GBF,
∠EDF=∠BGF=90°,
∴△DFE≌△GBF(AAS),
∴GF=DE,GB=FD.
设点 F(1,m),则DE=m,
DG=DF+FG=GB+FG=3+m,∴E(1+m,3+m).
∵点 E 在抛物线 上，
解得：m=-3(舍去)或m=1,∴F(1,1).
突破30 二次函数与特殊图形(二)平行四边形
1.解:
(2)存在点 P ，使四边形 MNPQ 为平行四边形.理由如下：设点 P(t,-2t+8),∵PD⊥x轴,
∴PD∥y轴,即 PQ∥y轴,则
∴抛物线的顶点为 M(1，9)，对称轴为直线x=1，
∴N(1,6),∴MN=9-6=3,MN∥y轴,
∴PQ∥MN,要使四边形 MNPQ 为平行四边形,必须PQ=MN,由 解得t=1或t=3,当t=1时,点 P 与点 N 重合,点 Q 与点M 重合,舍去;当t=3时,P(3,2),Q(3,5),
∴存在点 P(3,2),使四边形 MNPQ 是平行四边形.
2.解:(1)由题意,得
∴抛物线的解析式为
(2)过点 P 作PQ⊥x轴于点Q,过点 A 作AD⊥y轴于点D,∴∠ADC=∠PQO=90°.
∵OP∥AC,∴∠ACO=∠COP,∴∠DAC=∠POQ.
∵OP=AC,∴△OPQ≌△ACD,∴AD=OQ,PQ=CD.
即 根据点的平移性质，得点 C 的坐标为(o, ).
3.解:当 时，解得 ∴OA=1,OB=4,∴B(4,0),C(0,-2).
∵抛物线的对称轴为直线 ∴设点Q的坐标为 由平行四边形性质可知，当 BQ，CP 为平行四边形对角线时，点 代入 解得 当CQ，PB 为平行四边形对角线时，点 代入 解得 综上所述，点P 的坐标为
4.解：(1)抛物线表达式为 对称轴为直线x=1；
(2)由(1)可得xB=3, xc=0,xF=1,直线 BC:y=x-3,∵MN∥BC,且过原点,∴直线.MN:y=x.
①如图1,当 BC 为对角线时,.
∴xD+1=0+3,∴xD=2,
∴D(2,2),∵y +yF= yc+yB,
∴yp=-3+0-2=-5,∴F(1,-5);
②如图2,当 BC 为边时,
∴|xD-1|=3,∴xD=4或-2,
∴D(4,4)或(-2,-2),此时 F(1,1).
综上所述，存在点 F，使得以 B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.当点 F(1,-5)时,点 D(2,2);
当点 F(1,1)时,点 D(4,4)或(-2,-2).
突破31 二次函数与特殊图形(三)菱形、正方形
1.解:(1)当x=0时,y=4,
∴C(0,4),当y=0时,
∴x=-3,∴A(-3,0),
∵对称轴为直线x=-1,∴B(1,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),
∴抛物线的解析式为
(2)存在点 P 和点Q,使以点 A,C,P,Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形，理由如下：设点 P(-1，n)，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形，
∴PA=PC,即
2.解:(1)设 BC 交y 轴于点E,设菱形的边长为2a,则AB=BC=CD=AD=2a.∵B,C关于y轴对称,∴BE=CE=a,∴B(-a,a ),∴OE=a .
把 代入 得 解得 或a=0(舍去)，
∴菱形的边长为
(2)n-m 为定值.理由如下:过点 B 作BF⊥y轴于点 F,过点 D 作 DE⊥y 轴于点E.
∵点 B,D 的横坐标分别为m,n,
∴B(m,m ),D(n,n ),
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=90°,AD=AB,
∴∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA.
∵∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∵点B,D在y轴的同侧,∴m+n≠0,∴n-m=1.