广西南宁市第一中学2023-2024高一下学期6月期末模拟试题

广西南宁市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末模拟试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，答对得满分，答错不得分）
1．（2024高一下·南宁期末）设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
2．（2024高一下·南宁期末）在中，，则(　　)
A． B． C． D．
3．（2024高一下·南宁期末）在△ 中， 为 边上的中线，E为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·南宁期末）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·南宁期末）某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、 1000、 800 （单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（　　）
A．108 B．96 C．156 D．208
6．（2024高一下·南宁期末）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A． B．12π C． D．
7．（2024高一下·南宁期末）已知一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是
A．5， B．5，2 C．3，2 D．3，
8．（2024高一下·南宁期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部答对得满分，部分答对得部分分，答错不得分）
9．（2024高一下·南宁期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（　　）
A．若，则.
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2024高一下·南宁期末）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（　　）
A．
B．样本质量指标值的平均数为75
C．样本质量指标值的众数小于其平均数
D．样本质量指标值的第75百分位数为85
11．（2024高一下·南宁期末）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（　　）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答得满分，答错不得分）
12．（2024高一下·南宁期末）已知i是虚数单位，则　 　．
13．（2024高一下·南宁期末）△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为　 　．
14．（2024高一下·南宁期末）半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为　 　.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．（2024高一下·南宁期末）已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求与．
16．（2024高一下·南宁期末）如图，在中，点在边上，，，.
（1）求；
（2）若的面积是，求.
17．（2024高一下·南宁期末）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2500 4000 4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
18．（2024高一下·南宁期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
19．（2024高一下·南宁期末）如图，在三棱锥中，，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
2．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可知，，
设，
则.
故答案为：B
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.先利用正弦定理进行边化角可得：
，设，利用余弦定理可求出，据此可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
4．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，连接，
由题意，
所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是.
故答案为：B.
【分析】连接，证明异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论.
5．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解： 高一、高二、高三学生的数量之比依次为 ，
现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，
由分层抽样性质，得： ，
解得 ．
故答案为：C．
【分析】利用分层抽样性质求解即可。
6．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设上下半径为r，则高为2r，
∴ 。
则圆柱表面积为 ，
故答案为：B.
【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，得到圆柱的高为8，底面直径为8，由此求圆柱的表面积.
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意，这组数据的平均数是3，方差是，
则有，
所以，数据，
平均数：，
方差：.
故答案为：B.
【分析】根据的平均数、方差分别为，利用平均数、方差的性质可得的平均数、方差分别为，利用.
8．【答案】D
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取的中点，连接，
因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面，
平面，所以，，
又底面为正方形，为中点，
所以，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
则为侧面与底面所成的二面角的平面角，
又，，
所以，且为锐角，
所以，即侧面与底面所成的二面角为.
故答案为：D
【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解.
9．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A：根据题意，，
会存在有，所以不一定，则A错误；
对于B：由于，，
会存在有，此时可能不存在，则B错误；
对于C：，，
可能有或等，不一定是，则C错误；
对于D：设，取不在、、、上点，
过作交于，作交于，
，，，
设与确定的平面交于点，连，，，，
，，
所以为二面角的平面角，
四点、、、共圆；
，所以D对．
故答案为：ABC．
【分析】利用面面平行的性质与面面垂直的性质对每一个选项进行判定，同时对于错误的可以利用特殊化进行证明，正确的利用性质定理给予判定即可得到结果.
10．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】对于A：由题意知，解得0.030，故A项正确；
对于B：样本质量指标值的平均数为，故B项错误；
对于C：样本质量指标值的众数是，故C项正确；
对于D：前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，
故第75百分位数位于第4组，设其为，
则，解得，
即第75百分位数为85，故D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示：
∵D，F是对应边的中点，
∴DF，是△ABC的中位线，则BF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正确．
若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．
∵O不在DF上，PO⊥平面ABC，∴PO与平面PDF相交，则平面PDF⊥平面ABC不成立，故C错误，
由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确，
故答案为：ABD．
【分析】对于A.根据D，F是对应边的中点，得到BF∥BC，再由线面平行的判定定理判断；B.利用线面垂直判定定理判断；C.利用面面垂直的判定定理判断；D. 利用面面垂直的判定定理判断；
【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直和面面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
则，
故答案为：.
【分析】先计算出代数形式，然后再求模.
13．【答案】 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
结合正弦定理可得 ，
可得 ，因为 ，
结合余弦定理 ，
可得 ，
所以A为锐角，且 ，
从而求得 ，
所以△ 的面积为 ，
故答案是 .
【分析】由已知利用正弦定理可得 ，再结合余弦定理可得 ，代入三角形的面积公式，即可求出结果.
14．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，
则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，
因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以，，故，
故三棱锥的高，所以
故答案为：
【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.
15．【答案】（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；
（2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.
（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
16．【答案】（1）在中，因为，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得．
因为，所以，
所以是等边三角形，所以.
（2）解：因为，所以．
因为的面积是，
所以，所以，
在中，，
所以.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等边三角形，进而可求；
（2）由（1）可求，结合三角形的面积公式可求，在中，利用余弦定理可求.
（1）解：在中，因为，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得．
因为，所以，
所以是等边三角形，所以.
（2）解：因为，所以．
因为的面积是，
所以，所以，
在中，，
所以.
17．【答案】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；
样本数据分布在之间的频率为.
设样本数据的中位数为，则，
且有，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）计算出第二组和第四组的频率，得出对应小矩形的高，在图中标出即可；
（2）根据已知，分别求出样本数据分布在以及之间的频率，得出中位数，进而列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据已知得出不同类别骑手的人数，计算平均数即可得出答案.
（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；
样本数据分布在之间的频率为.
设样本数据的中位数为，则，
且有，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.又因为平面，所以.
又因为长方形中，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）连接，由（1）知为三棱锥的高.
因为，
所以.
由（1）知，又因为，所以，所以.
设点到平面的距离为.因为，
所以，所以.
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得线线垂直，进而可证平面，即可求证，
（2）利用等体积法即可求解.
（1）证明：取的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.又因为平面，所以.
又因为长方形中，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）连接，由（1）知为三棱锥的高.
因为，
所以.
由（1）知，又因为，所以，所以.
设点到平面的距离为.因为，
所以，所以.
19．【答案】（1）证明：在三棱锥中，底面，平面，，
又，即，，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：在平面内，过点作，连接，
平面，平面，，
，，平面，
是直线与平面所成的角.
平面，平面，，
在中，，，
，为的中点，且，
又是的中点，在中，，
平面，平面，，
在中，.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面；
（2）过点作，连接，证明出平面，得到与平面所成角为，计算出的边、的长，解三角形即可.
广西南宁市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末模拟试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，答对得满分，答错不得分）
1．（2024高一下·南宁期末）设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
2．（2024高一下·南宁期末）在中，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可知，，
设，
则.
故答案为：B
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.先利用正弦定理进行边化角可得：
，设，利用余弦定理可求出，据此可求出答案.
3．（2024高一下·南宁期末）在△ 中， 为 边上的中线，E为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
4．（2024高一下·南宁期末）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，连接，
由题意，
所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是.
故答案为：B.
【分析】连接，证明异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论.
5．（2024高一下·南宁期末）某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、 1000、 800 （单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（　　）
A．108 B．96 C．156 D．208
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解： 高一、高二、高三学生的数量之比依次为 ，
现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，
由分层抽样性质，得： ，
解得 ．
故答案为：C．
【分析】利用分层抽样性质求解即可。
6．（2024高一下·南宁期末）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A． B．12π C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设上下半径为r，则高为2r，
∴ 。
则圆柱表面积为 ，
故答案为：B.
【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，得到圆柱的高为8，底面直径为8，由此求圆柱的表面积.
7．（2024高一下·南宁期末）已知一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是
A．5， B．5，2 C．3，2 D．3，
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意，这组数据的平均数是3，方差是，
则有，
所以，数据，
平均数：，
方差：.
故答案为：B.
【分析】根据的平均数、方差分别为，利用平均数、方差的性质可得的平均数、方差分别为，利用.
8．（2024高一下·南宁期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取的中点，连接，
因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面，
平面，所以，，
又底面为正方形，为中点，
所以，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
则为侧面与底面所成的二面角的平面角，
又，，
所以，且为锐角，
所以，即侧面与底面所成的二面角为.
故答案为：D
【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部答对得满分，部分答对得部分分，答错不得分）
9．（2024高一下·南宁期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（　　）
A．若，则.
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A：根据题意，，
会存在有，所以不一定，则A错误；
对于B：由于，，
会存在有，此时可能不存在，则B错误；
对于C：，，
可能有或等，不一定是，则C错误；
对于D：设，取不在、、、上点，
过作交于，作交于，
，，，
设与确定的平面交于点，连，，，，
，，
所以为二面角的平面角，
四点、、、共圆；
，所以D对．
故答案为：ABC．
【分析】利用面面平行的性质与面面垂直的性质对每一个选项进行判定，同时对于错误的可以利用特殊化进行证明，正确的利用性质定理给予判定即可得到结果.
10．（2024高一下·南宁期末）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（　　）
A．
B．样本质量指标值的平均数为75
C．样本质量指标值的众数小于其平均数
D．样本质量指标值的第75百分位数为85
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】对于A：由题意知，解得0.030，故A项正确；
对于B：样本质量指标值的平均数为，故B项错误；
对于C：样本质量指标值的众数是，故C项正确；
对于D：前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，
故第75百分位数位于第4组，设其为，
则，解得，
即第75百分位数为85，故D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.
11．（2024高一下·南宁期末）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（　　）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示：
∵D，F是对应边的中点，
∴DF，是△ABC的中位线，则BF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正确．
若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．
∵O不在DF上，PO⊥平面ABC，∴PO与平面PDF相交，则平面PDF⊥平面ABC不成立，故C错误，
由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确，
故答案为：ABD．
【分析】对于A.根据D，F是对应边的中点，得到BF∥BC，再由线面平行的判定定理判断；B.利用线面垂直判定定理判断；C.利用面面垂直的判定定理判断；D. 利用面面垂直的判定定理判断；
【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直和面面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答得满分，答错不得分）
12．（2024高一下·南宁期末）已知i是虚数单位，则　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】，
则，
故答案为：.
【分析】先计算出代数形式，然后再求模.
13．（2024高一下·南宁期末）△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为　 　．
【答案】 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
结合正弦定理可得 ，
可得 ，因为 ，
结合余弦定理 ，
可得 ，
所以A为锐角，且 ，
从而求得 ，
所以△ 的面积为 ，
故答案是 .
【分析】由已知利用正弦定理可得 ，再结合余弦定理可得 ，代入三角形的面积公式，即可求出结果.
14．（2024高一下·南宁期末）半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，
则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，
因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以，，故，
故三棱锥的高，所以
故答案为：
【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．（2024高一下·南宁期末）已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求与．
【答案】（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；
（2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.
（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
16．（2024高一下·南宁期末）如图，在中，点在边上，，，.
（1）求；
（2）若的面积是，求.
【答案】（1）在中，因为，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得．
因为，所以，
所以是等边三角形，所以.
（2）解：因为，所以．
因为的面积是，
所以，所以，
在中，，
所以.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等边三角形，进而可求；
（2）由（1）可求，结合三角形的面积公式可求，在中，利用余弦定理可求.
（1）解：在中，因为，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得．
因为，所以，
所以是等边三角形，所以.
（2）解：因为，所以．
因为的面积是，
所以，所以，
在中，，
所以.
17．（2024高一下·南宁期末）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2500 4000 4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
【答案】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；
样本数据分布在之间的频率为.
设样本数据的中位数为，则，
且有，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）计算出第二组和第四组的频率，得出对应小矩形的高，在图中标出即可；
（2）根据已知，分别求出样本数据分布在以及之间的频率，得出中位数，进而列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据已知得出不同类别骑手的人数，计算平均数即可得出答案.
（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；
样本数据分布在之间的频率为.
设样本数据的中位数为，则，
且有，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
18．（2024高一下·南宁期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.又因为平面，所以.
又因为长方形中，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）连接，由（1）知为三棱锥的高.
因为，
所以.
由（1）知，又因为，所以，所以.
设点到平面的距离为.因为，
所以，所以.
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得线线垂直，进而可证平面，即可求证，
（2）利用等体积法即可求解.
（1）证明：取的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.又因为平面，所以.
又因为长方形中，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）连接，由（1）知为三棱锥的高.
因为，
所以.
由（1）知，又因为，所以，所以.
设点到平面的距离为.因为，
所以，所以.
19．（2024高一下·南宁期末）如图，在三棱锥中，，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明：在三棱锥中，底面，平面，，
又，即，，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：在平面内，过点作，连接，
平面，平面，，
，，平面，
是直线与平面所成的角.
平面，平面，，
在中，，，
，为的中点，且，
又是的中点，在中，，
平面，平面，，
在中，.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面；
（2）过点作，连接，证明出平面，得到与平面所成角为，计算出的边、的长，解三角形即可.